人教版高中数学必修五学案 不等式 章末复习

章末复习

【学习目标】1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学

知识2能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等

式、证明不等式3体会“三个二次”之间的内在联系

在解决问题中的作用4.能熟练地运用图解法解决线性

规划问题5会用基本不等式证明不等式，求解最值问

题.

|知识梳理------------------整合知识深化要点

1.不等式的性质

性质1：如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么a>b9BPa>b<^b<a.

性质2：如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b,b>c<^a>c.

性质3：如果a>b,那么a+c>b+c.

性质4：如果a>b,c>0,那么ac>bc,

如果a>b,c<0,那么ac<bc.

性质5：如果a>b,c>d,那么a+c>h+d.

性质6：如果a>b>Ofc>d>0,那么ac>bd.

性质7：如果那么〃〃沙〃N1).

性质8：如果a>/x>0,那么缶之册(〃右N",〃22).

2.三个二次之间的关系

设大幻二加+公+^〃>。)，方程ax2+〃x+c=0的判别式/=〃一4〃C

判别式J>0J=0zf<0

解不等式有两个不等的实有两个相等的实

求方程yu)=o的解没有实数解

加)>0或数解Xl，X2数解Xl，X2

火力<0的画函数y=«r）的示

步骤2J£V

意图0际大2攵2X

5}

得不等式益）>0{x|x<Xl或X>X1]R

的解集

危）V。{小1<第5}00

3.线性规划问题求解步骤

①把问题要求转化为约束条件；

②根据约束条件作出可行域；

③对目标函数变形并解释其几何意义；

④移动目标函数寻找最优解；

⑤解相关方程组求出最优解.

4.基本不等式

利用基本不等式证明不等式和求最值的区别

①利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件.

②利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.

|题型探究------------------启迪思维探究重点

题型一“三个二次”之间的关系

例1若关于x的不等式加+版+2>0的解集是（一/I）,则a+6=

答案T4

解析".'X|=-T,及=；是方程加+匕x+2=0（n<0）的两个根，

〃

〃

一

4一-2

常

8解

。

9一+-3-

.'.a-rb——14.

反思感悟（1）“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化.

（2）用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.

跟踪训练1若关于x的不等式0?-6%+«2<0的解集是（1,机），则m=

答案2

解析因为or2—6x+/<o的解集是（1,〃?），

所以1,m是方程or2-6x+/=0的根，且/〃>1,a>0,

fm>1,

由41+机=*m=2,

可得

aa=2.

、1•=a,

题型二一元二次不等式的解法

例2解关于x的不等式/一m+a2)x+a3>omeR).

解原不等式可化为(X—〃)(x—〃2)>0.

当a<0时，a<a2,原不等式的解集为｛x|x〈a或心>层｝；

当。=0时，a1=a,原不等式的解集为“|xW0,x^R]；

当0<a〈l时，a1<a,原不等式的解集为｛RxV?或大>〃｝；

当。=1时，a2=a,原不等式的解集为｛x|x关1,x£R｝；

当时，a<a2,原不等式的解集为｛小Va或尤>〃2｝；

综上所述，当a<0或。>1时，原不等式的解集为｛x[x<〃或x>cr｝\

当0<〃<1时，原不等式的解集为｛x|x</或x>。｝；

当。=1时，原不等式的解集为｛x|x/1,xWR｝;

当。=0时，原不等式的解集为｛RxWO,x£R｝.

反思感悟对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再

对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏.

跟踪训练2(2018•江苏省如东高级中学期中)已知常数〃£R,解关于x的不等式以2—2x+

a<0.

解(1)若。=0,则原不等式为-2x<0,故解集为｛x|x>0｝.

(2)若a>0,J=4-4a2.

1—、/]-71-a?

①当，>0,即0<4<1时，方程QX2—1¥+〃=0的两根为X]=---+----,X2=---2----,

...当0<“<1时，原不等式的解集为一行正工■■

②当/=0,即。=1时，原不等式的解集为Q

③当/<0,即“>1时，原不等式的解集为。.

(3)若a<0,4=4—44.

①当/>0,即-1~<0时，原不等式的解集为“卜<1+中踵或X>1一守k｝.

②当/=0,即a=-1时，原不等式化为(x+l)2>0,

...当。=一1时，原不等式的解集为｛x|xWR且xW-l｝.

③当/<0,即"一1时，原不等式的解集为R.

综上所述，当时，原不等式的解集为。;

当0<“<1时，原不等式的解集为%];

IIaa

当。=0时，原不等式的解集为“卜>0｝；

当一1<时0时，原不等式的解集为卜卜<1+『乙或QI一中三-；

当4=一1时，原不等式的解集为｛x|x@R且》之一1｝；

当a<-\时，原不等式的解集为R.

题型三线性规划问题

'X—4yW—3,

例3已知变量x,y满足约束条件,3x+5yW25,求z=2x+y的最大值和最小值.

解如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域.

''x=l

设4)：2x+y=0,/：2x+y=z,则z的几何意义是直线y=-2x+z在y轴上的截距，显然，

直线越往上移动，对应在)，轴上的截距越大，即z越大；直线越往下移动，对应在y轴上的

截距越小，即z越小.

上下平移直线4),可得当4)过点A(5,2)时，zn1ax=2X5+2=12；

当4)过点8(1,1)时，Zmin=2X1+1=3.

反思感悟(1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确.

(2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵横距越大，z越大还是

越小.

跟踪训练3某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料,

甲种规格每张3m2,可做文字标牌I个，绘画标牌2个：乙种规格每张2m2,可做文字标牌

2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小.

解设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x+2y)个，绘画标牌(2x+y)个，

2+月5,

x+2y24,

由题意可得《x20，

y20,

yCN.

所用原料的总面积为z=3x+2y,

作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.

在一组平行直线3x+2y=z中，

经过可行域内的点A时，z取得最小值，

直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点为4(2,1),

即最优解为(2,1).

所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.

题型四利用基本不等式求最值

例4函数y="r(a>0,1)的图象恒过定点A,若点A在直线1=0(nw?>0)上,

则A+5的最小值为-

答案4

[

解析y=a~\a>09的图象恒过定点

•.•点A在直线inx+ny—1=0上，

••nt+n~~1,

当且仅当m=〃=3时，取等号.

方法二5+、=(%+〃)

=2+扛6+2

机+相=1,

当且仅当，〃m即机=〃=；时取等号.

jnn9

.6+{U=4.

反思感悟条件最值的求解通常是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为

常数的式子，然后利用基本不等式求最值.

12

跟踪训练4设x,”都是正数，且十+彳=3,求2x+y的最小值.

xy

解彳+；=3,.,船+3=L

，2x+y=(2x+y)X1=(2x+y)x|(j+^

J”/华卜耒+2寸用

当且仅当《=华，即y=2%时，取等号.

xy

I?24

又•••一+-=・，

xy3,.•x=3w,y=3T-

Q

.'.2x+y的最小值为Q.

I达标检测检测评价达标过关

1.（2018・全国1）已知集合4={M『一%一2>0},则［RA等于（）

A.{x|—l<x<2}B.{x|-1WXW2}

C.{x\x<~\}U{x\x>2}D.{小W-1}U{#22}

答案B

解析方法一A={x|（x—2）（x+l）>0}={x|x<—1或x>2},所以［RA={X|—1WxW2},故选

B.

方法二因为A="|f—工-2>0},所以（RA={Mf—x-2W0}={M-lWxW2},故选B.

2.已知实数x,y满足条件卜W1,若目标函数z=mr—y（机WO）取得最大值时的

、2x—2y+lW0,

最优解有无穷多个，则实数用的值为（）

A.1B.gC.一；D.—1

答案A

解析作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分（包含边界）所示，

由图可知当直线y=g—z（wWO）与直线2x~2y+\=O重合，即m=\时,

目标函数z=/nr—y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.

3.若不等式加+从一2>0的解集为卜|一24<—：],则等于（）

A.-18B.8C.-13D.1

答案C

解析V—2和一"是方程ax2+bx—2=0的两根.

4,

[=—9,.•.“+/>=-13.

4.若不等式4（o—2）x2+2（6J—2）x—1<0对一切R恒成立，则a的取值范围是.

答案（-2,2]

解析不等式4（a-2）『+2（°—2）x—1<0,当“一2=0,即”=2时，不等式恒成立，符合题

J=4(a-2)2+16(a-2)<0,

当。一2#0时，要使不等式恒成立，需

a-2<0,

解得一2<a<2,所以a的取值范围为（-2,2].

5.已知人x）=32「一k3x+2,当xWR时，/（x）恒为正，求k的取值范围.

解危）=（3户一%3，+2>0,；.层号吆=3'+半,3*+京223^|=2啦