新教材苏教版高中数学 选择性必修第一册 同步试题 1

1.1直线的斜率与倾斜角

一、单选题

1.若直线/经过点2）,且在x轴上的截距的取值范围是（3,5）,则其斜率的取值范围是（）

A.WB.[-i°]

C.（-0°，T）U（g,+8）D.（-oo,-l）u^-y,+ooj

【答案】A

【解析1设直线的斜率为则直线方程为厂2=秘—1）,

221

令y=0,得直线/在x轴上的截距为1—：,则3＜1—彳＜5,解得

kk2

所以直线/的斜率的取值范围为1-1,-；）.故选：A

2.已知42,4）,8（1,0）,动点尸在直线x=-l上，当|「力|+归用取最小值时，点尸的坐标为（）

A.^-1,—jB.^-1,—C.（-1,2）D.（-1」）

【答案】A

【解析】点8关于直线x=-1对称的点为B、（-3,0）.|P4|+|PS|=|P/|+网＞网,

当且仅当当力、P、用三点共线时，等号成立.

4—0

此时伊旬+归回取最小值，直线的方程为y=不丁n（x+3）,

2-（-3）

即y=g（x+3）,令X=-1,得y=1.所以点尸的坐标为：（-词故选:A.

3.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线

已知A48C的顶点/（2,0）,8（0,4）,若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标为

A.(-4,0)B.(-3,-1)C.(-5,0)D.(-4,-2)

【答案】A

f2+m4+〃)

【解析】设C(m,n),由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为[[一,丁)代入欧拉线方程得:

言J手+2=0整理得：m-n+4=0①

4-01

AB的中点为(1,2),*,«=--=-2AB的中垂线方程为夕-2=彳(》-1),

0—22

[x—2y+3=0fx——1

即x-2y+3=0.联立,。八解得,

[x-y+2=0[了=]

.♦.△ABC的外心为(-1,1).

贝ij(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,整理得：m2+n2+2m-2n=8②

联立①②得：m=-4,n=0或m=0,n=4.

当m=0,n=4时B,C重合，舍去.，顶点C的坐标是(-4,0).故选A

4.已知直线/的斜率为左，倾斜角为a,若45。<0<135。，则上的取值范围为().

A.(T，l)B.(-«>,-l)U(1,+co)

C.[-1,1]D.(y，TU[l,+8)

【答案】B

【解析】直线倾斜角为45。时，斜率为1,

直线倾斜角为135。时，斜率为-1,

TT7T

因为斤=tana在[0,])上是增函数，在(彳,万)上是增函数，

所以当45。<(/<135。时，%的取值范围是(-8,_1川(1,日).故选：B

5.已知直线亦+勿+1=0与直线4x+3y+5=0平行，且"+方+1=0在y轴上的截距为g,则6的值为

()

A.-7B.-1C.1D.7

【答案】A

【解析】因为直线水+力+1=0与直线4x+3y+5=0平行，

所以4b=3a,乂直线ar+方+1=0在歹轴上的截距为g,

所以;6+1=0,解得6=-3,所以a=-4,所以。+6=-7,故选A.

6.直线/过点M(-L2),且与以尸(-4,-1),。(3,0)为端点的线段相交，则直线/的斜率的取值范围是()

A.B.(-00,-2]U[L+«0C.[-2,1]D.gu[l,+oo)

【答案】D

【解析】•••直线/过点〃(-2,2),且与以尸(-4,-1),0(3,0)为端点的线段相交，如图所示:

所求直线/的斜率k满足kp\,<k^k<kMQ,

.2+1.2—01..,1.-ir.1

kpM=.4=1，G=,7=°，则％1或左V?，

—1+4—1—JZZ

.♦.左oo,-gU[L+°o),故选：D.

7.若直线/过点(T-l)和(2,5),且点(1009,6)在直线/上,则6的值为()

A.2019B.2018C.2017D2016

【答案】A

【解析】因为直线/过点(T-1)和(2,5),

由直线的两点式方程，得直线/的方程为*=?=氾W，化简得：

y=2R+1,

由于点(1009,b)在直线/上，将点(1009,6)代入方程y=2x+1,

得6=2x1009+1,解得：6=2019.故选：A.

8.已知直线/：(，〃+3)x+(m—2力-加一2=0,点5(2,-2),若直线/与线段48相交，则加的取

值范围为()

3

A.(~℃>>­4][4,+oo)B.(—2,2)C.[—->8]D(4,4-00)

【答案】C

【解析】直线/方程变形得：用+(3%-2歹-2)=0.

4

由仁丁=2°0得：，.••直线/恒过点C仁口，

3元一2歹一2=01<557

k-522__U

标k-4-7,kBc-4-6'

---rZ----，

55

113

由图可知直线/的斜率k的取值范围为：k£暇或k、,

-,.加+3

又卜=-----

m-2

）z+3,11m+3、3cn-ci、3,〜

.・------<----或P------>—,口口2V机K8或——</w<2,

m—26m-272

4

又加=2时直线的方程为x=l，仍与线段48相交，

「3-

.♦.加的取值范围为一展8.

故选：C.

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.直线工-歹-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8

B.过（占，匕），（4，％）两点的直线方程为曰=三?

Z2—Z1X2~E

C.直线x-2y-4=0与直线2x+y+l=0相互垂直.

D.经过点（1,2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0

【答案】AC

【解析】直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是;X4/4=8,故A正确;

-2

V—V.x—x.

当工2=汇/或丁2="时，式子-----=------无意义，故B不正确；

%一%Z一项

直线x-2y-4=0与直线2x+y+l=0的斜率之积为9(-2)=-1,故线x-2y-4=0与直线2x+y+l=0

垂直，故C正确；

经过点（1,2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0或y=2x,故D错误，故选：AC.

10.下列四个命题中，错误的有（）

A.若直线的倾斜角为。，则sin®>0

B.直线的倾斜角。的取值范围为0494万

C.若一条直线的倾斜角为0,则此直线的斜率为tan。

D.若一条直线的斜率为tan。，则此直线的倾斜角为6

【答案】ABCD

【解析】因为直线的倾斜角的取值范围是［0,0）,即，«0,乃），所以sinONO,

当夕片］时直线的斜率《=tan。，故A、B、C均错误；

对于D：若直线的斜率％=tan,=^,此时直线的倾斜角为故D错误；

故选：ABCD

11.（多选）下列说法中，错误的是（）

A.任何一条直线都有唯一的斜率

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大

C.任何一条直线都有唯一的倾斜角

D.若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

【答案】ABD

【解析】4错，因为倾斜角为90。的直线没有斜率；B错,因为0。<6（<90。时，k>0,90。<”180。时，k<0；

C显然对；若两直线的倾斜角为90。，则它们的斜率不存在，。错.

12.（多选）下列说法正确的是（）

A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率

B.一条直线的倾斜角可以为一30。

C.倾斜角为0。的直线有无数条

D.若直线的倾斜角为钝角，则直线的斜率小于0

【答案】CD

【解析】根据斜率的定义，知当直线与x轴垂直时，斜率不存在，故A说法错误；

因为直线的倾斜角a的取值范围是｛a|0。4a4180。｝,所以直线的倾斜角不可能是一30。，故B说法错误;

所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0。，故c说法正确；

显然钝角的正切值是负数，D说法正确.故选：CD.

三、填空题

13.设点设在―加+3),B(2,m-l),C(—l,4),若直线/C的斜率等于直线8c的斜率的3倍，则实数〃?的值为

【答案】4

【解析】依题意知直线/C的斜率存在，则〃?工-1,由的c=3凝°得

—m+3—4ZH—1—4-

(=3一二—/［、，所以m=4.故答案为：4

加一(一1)2-(-1)

14.已知两点/(-1,2),8(根,3),且加€-^-1,73-1,则直线45的倾斜角。的取值范围是

712.71

【答案】65T

【解析】设4一.一1,3)闯百-L3),

k_3-2_JT

所以*一百।,直线对应的倾斜角为斗.

-------3

e&=C=乎,直线型对应的倾斜角为？

TT27ryr27r

所以a的取值范围是£,彳.故答案为：彳

_63」1_63_

15.设直线/的斜率为上且则直线的倾斜角a的取值范围是.

【答案】［0,J)U(手㈤

44

【解析】

由图得当—1V左＜1时，aw[O,：）U（-方）故答案为：[0二）U（里•，力

4444

16.下列命题中，错误的是.（填序号）

①若直线的倾斜角为a,则ae（0,乃）；

②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；

③若直线的倾斜角为a,则直线的斜率为tana.

【答案】①②③

【解析】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为a,则ae[0,;r）,所以①错误；对于②

中，当倾斜角ae[0,1）,直线的倾斜角越大，则直线的斜率/越大，且无＞0；当倾斜角“eg,m，直线的

倾斜角越大，则立线的斜率上越大，但左＜0,所以②错误；对于③中，根据直线斜率的概念，可得当

且aw1时，直线的斜率为A=tana,所以③错误.故答案为：①②③.

四、解答题

17.已知过原点。的一条直线与函数y=lo&x的图像交于48两点，分别过点4,B作少轴的平行线与函

数y=log2X的图像交于C,。两点.

（1）证明：点O,C,。在同一条直线上；

（2）当直线8c平行于x轴时，求点力的坐标.

[解析】（1）设点A、B的横坐标分别为演、x2由题设知，*＞1,Z＞1.则点A、B纵坐标分别为logs占、

logs2.

因为A、8在过点。的直线匕所以，购土=至玉

再x2

点C、。坐标分别为（王,噢2王），。2，log?/）.

由于噫寸管=3吗不，噫置|=

0C的斜率「地—，8的斜率—=

X]x]x2x2

由此可知,k{-k2,即0、C、。在同一条直线上.

（2）由于3c平行于x轴知log?X|=logs%,即得10gm=；唾42,

X2=x：.代入x?log.芭=xtlog8x2得xllog8*=3x,logs*.

由于演＞1知log1fx尸0，.■.x＞3x1.考虑再＞1解得再=JL

于是点A的坐标为（0，10gli0）.

18.过/（/+2,/_3）,8（3-〃?-毋,2〃?）两点的直线/的倾斜角为45。，求机的值.

【解析】因为直线的倾斜角为45。，所以直线的斜率％=tan45o=l,

（m2—3）—2〃？

又％=/，'八/------示=1，整理得〃/+3加+2=0，

解得加=-1或勿2=-2,

当m=-l时，。+2）-（3-加-加）=0,不符合，

当用=一2时，（相a=5*0,符合，综上：m=-2.

19.已知直线/过点（2,3）,且在x轴上的截距是在N轴上截距的2倍，求直线/的方程.

【解析】方法一：当/在两坐标轴上的截距不为0时，设其在》轴上的截距为6,则/的方程为卷+4=1，

2bb

将点（2,3）代入该方程，解得6=4,所以/的方程为x+2y-8=0.

3

当/在两坐标轴上的截距均为0时，即/过原点，满足题意，此时/的方程为即3x-2y=0.综上，

直线/的方程为3x-2y=0或、+2y8=0.

方法二：易知直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为^-3=左（工-2）,kAO.

3

令x=0,得＞=3—2左，令y=0,得x=2——.

k

由2（3—2%=2—；，即4/一4左一3二0,解得右：或％=—不

k