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向量的数量积（1）学科：高中数学

教材版本：人教（2019）A版一、复习回顾前面我们已经学习了向量的线性运算（加法、减法和数乘），你能总结一下我们是如何研究这些运算的吗？问题1：物理背景

→

概念

→

性质

→

应用比如：力力的合成向量向量的加法一、复习回顾类比数的运算，你认为接下来还可以研究向量的什么运算？向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？问题2：二、借助物理背景，抽象概念

在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功

功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？二、借助物理背景，抽象概念思考：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；1.向量的夹角：

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作

，，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角．ba确定夹角时应注意什么？向量夹角的范围呢？问题3：OBAθab1.向量的夹角：注意：1.向量的夹角：

2.向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积（innerproduct）），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．问题4：两个向量的数量积是向量还是数量？它的大小与哪些量有关？符号由哪个量决定？2.向量的数量积：注意：a·b=|a||b|cosθ．四、典例剖析，巩固新知例1

已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=，求a·b．解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×=5×4×(-)=-10．例2设|a|=12，|b|=9，a·b=-54，求a与b的夹角

．

三、几何角度，深化认知问题4：a·b=|a||b|cosθ．其中|a|cosθ，类比

你会联想到什么呢？A13.投影及投影向量的定义：

3.投影及投影向量的定义：过点A作直线OB的垂线，垂足为A1,

问题5：三、几何角度，深化认知设e是与向量b方向相同的单位向量，那么三、几何角度，深化认知问题6：三、几何角度，深化认知问题7：

降维或向量b在向量a上的投影向量

与向量a的数量积.四、典例剖析，巩固新知例3

已知在正方形ABC

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