九年级数学下册专题02 反比例函数与特殊三角形存在性问题（原卷版）（人教版）

专题02反比例函数与特殊三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题例．如图，双曲线的图像经过矩形的边的中点，若且四边形的面积为．

(1)求双曲线的解析式；(2)求点的坐标：(3)若点为轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标【变式训练1】．如图，正方形的顶点，点，反比例函数的图象经过点．

(1)试说明反比例函数的图象也经过点；(2)如图，正方形向下平移得到正方形，边在轴上，反比例函数的图象分别交正方形的边、于点、．①求的面积；②在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式训练2】．如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点B．

(1)求k的值．(2)将正方形分别沿直线翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点E，F，求线段所在直线的解析式．(3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直按写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练3】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；(2)连接、，求的面积；(3)观察图象直接写出时x的取值范围是；(4)直接写出：P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时点P的坐标．类型二、直角三角形存在性问题例．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点．(1)求m和k的值；(2)x轴上是否存在一点D，使为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F．

(1)求反比例函数的解析式；(2)连接、、，求的面积；(3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图像上，反比例函数，且，，的图像经过点A，且与边相交于点E．

(1)若，求点的坐标；(2)连接，．①若的面积为24，求的值；②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【变式训练3】．如图，矩形的边分别在轴、轴的正半轴上，．反比例函数的图象经过的中点，交边于点，连接．(1)求的值与点的坐标；(2)轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点是轴上的一点，以点为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标．类型三、等腰直角三角形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，且满足．

(1)求，的值及反比例函数的解析式；(2)若，求点的坐标，判断四边形的形状并说明理由；(3)若点是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．(1)求反比例函数的表达式；(2)连接，，，求的面积；(3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练2】．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，且顶点B的坐标为，．(1)求反比例函数的表达式及E点坐标；(2)如图2，连接，，试判断与的数量和位置关系，并说明理由；(3)如图3，连接，在反比例函数的图象上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，说明理由．【变式训练3】．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函