第三章勾股定理 单元卷 2023-2024学年苏科版数学八年级上册

本章综合提升考点一勾股定理1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C',则四边形ABC'A'的面积是()A.15B.18C.20D.222.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线AD交BC于点D,E为AB的中点,若BC=12,AD=8,则DE的长为.3.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AD=2,BC=4,则.AB²+CD²4.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为.5.如图,AB与CD相交于点O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,探究线段AB、AC、BD之间的等量关系，并说明你的理由.考点二勾股定理逆定理6.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1、2、3、4、5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是()A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,47.如图,在△ABC中,AAC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线,则(CD8.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD²=AD⋅BD.求证：△ABC是直角三角形.考点三勾股数9.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214b815243548c1017263750则当a=20时,b+c的值为()A.162B.200C.242D.28810.若8,a,17是一组勾股数,则a=.11.已知:整式A=n²−1尝试：化简整式A.发现：A=B²,求整式B.联想：由上可知，B²=n²−1²+直角三角形三边n²-12nB勾股数组Ⅰ/8勾股数组Ⅱ35/考点四勾股定理的应用12.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何?”意思是：一根竹子，原来高一丈(一丈为十尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子?()A.4尺B.4.55尺C.5尺D.5.55尺13.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何?”(注：丈，尺是长度单位，1丈=10尺)这段话翻译成现代汉语即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是尺.14.一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛,再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km.若轮船速度为25km/时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间.考点五方程思想15.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=8,求AB的长.考点六探究性问题16.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三、股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理.(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S₁+S₂=S₃的有个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S₁、S₂,，直角三角形面积为S₃,，请判断.S₁、S₂、S₃的关系并证明.(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，4个小正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，已知∠1=∠2=∠3=α，则当α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a²+b²+c²+d²②b与c的关系为，a与d的关系为.本章综合提升1.A2.53.204.275.AB²=AC²+BD².理由如下：过点A作AE‖CD,截取AE=CD,连接BE、DE,如图所示,则四边形ACDE是平行四边形，：DE=AC,∠ACD=∠AED,∵∠AOC=60°,AB=CD,∴∠EAB=60°,CD=AE=AB,∴△ABE为等边三角形,∴BE=AB,∵∠ACD+∠ABD=210°,∴∠AED+∠ABD=210°,∴∠BDE=360°−∠AED+∠ABD−∠EAB=360°−210°−60°=90°,∴BE²=DE²+BD²,∴AB²=AC²6.B7.6.58.证明:∵CD是AB边上的高,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴在Rt△ADC中,AC²=AD²+CD²,在Rt△BDC中,BC²=BD²+CD²,∴AC²+BC²=AD²+BD²+2CD²∴CD²=AD⋅BD,∴AC²+BC²=AD²+BD²+2AD⋅BD=AD+BD²=AB²,即AC²+BC²=AB²,∴△ABC是直角三角形，且9.B10.1511.尝试:A=n²−1²+2n²=n⁴−2n²+1+4n²=n⁴+2n²+1,发现：∴n⁴+2n²+1=n²+1²,A=B²,B>0,∴E=n²+1,联想:当2n=8时,n=4,∴n²+1=4²+1=17;当12.B13.1214.由题意AD=60km,在Rt△ABD中,AD²+BD²=AB²,得60²+BD²=100²,∴BD=80km,∴CD=BC−BL15.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB-AC=2,BC=8,∴AC²+BC²=AB²,即AB−2²+8²=AB²,16.(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c².(或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方