2023-2024学年安徽省马鞍山二中高一6月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省马鞍山二中高一6月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，复数z满足iz=3−iA.10 B.10 C.3 2.下列说法正确的是(

)A.若a=b，则a=±b B.零向量的长度是0

3.某高中为了解三个年级学生的课业负担情况，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查．则最合理的抽样方法是(

)A.抽签法 B.简单随机抽样 C.分层随机抽样 D.随机数法4.在▵ABC中，若BC=A.60∘ B.30∘ C.60∘或5.如图，在△ABC中，D为靠近点A的三等分点，E为BC的中点，设AB=a，AC=b，以向量A.12a+16b B.16.如图，矩形ABCD中，AB=3，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCA.66 B.77 C.7.西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为163A.8π B.12π C.16π8.已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=3EA.0 B.23 C.43 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是(

)．A.若m//α，n//α，则m//n B.若m⊥α，n⊥α，则m//n

C.10.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的是A.FB−FD=AE B.AD⋅A11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA.三棱锥A1−EFG的体积为定值

B.存在点G，使平面EFG//平面BDC1

C.当点G与B1重合时，二面角三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.用比例分配的分层随机抽样的方法抽取50个样本，第一层22个，样本平均数为16，第二层28个，样本平均数为18，由此可估计总体平均数为

．13.敬亭山，位于安徽省宣城市北郊，是中国历史文化名山，原名昭亭山，晋初为避帝讳，易名敬亭山．李白在《独坐敬亭山》中写道：众鸟高飞尽，孤云独去闲．相看两不厌，只有敬亭山．相传该诗题写于太白独坐楼(如图(1)).为了测量该楼的高度AB(如图(2))，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30∘,∠14.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M在线段BC上，且CM=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1)若b=1，且(2)若c=2，且2a+c与2c16.(本小题15分)在▵ABC中，内角A,B,C(1)求(2)已知角A的平分线交BC于点M，若AM17.(本小题15分)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=12BC(1)求证：AE(2)求B1E18.(本小题17分)如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，(Ⅰ)求证：AH(Ⅱ)求点C到平面AB(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N，使MN//平面A19.(本小题17分)

已知a1，a2是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作OA1=a1，OA2=a2，以O为原点，分别以射线OA1、OA2为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如图(1).我们把这个由基底a1，a2确定的坐标系xOy称为基底{a1,a2}坐标系xOy.当向量a1，a2不垂直时，坐标系xOy就是平面斜坐标系，简记为{O;a(1)计算|(2)质点甲在Ox上距O点4米的点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿xO的方向，乙沿O ①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用e1，e ②若t时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

根据复数代数形式的除法运算化简，在计算其模．【解答】

解：因为iz=3所以z=故选：A2.【答案】B

【解析】【分析】

根据向量的相关概念逐一判断即可．【解答】

解：A：a=b仅表示a与故a=±bB：根据零向量的定义可判断B正确；C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误．故选：B．3.【答案】C

【解析】【分析】

根据分层抽样的定义判断即可．【解答】

解：依题意为了解三个年级学生的课业负担情况，由于三个年级作业情况差异比较明显，故最合理的抽样方法是分层随机抽样．故选：C4.【答案】B

【解析】【分析】

直接利用正弦定理即可求解．【解答】

解：由正弦定理得：BCsinA解得：sinA因为BC=故选：B5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查用基底表示平面向量，属于基础题．

利用向量的加减法运算法则，化简求解即可．【解答】

解：因为

DE=DA+AE，

DA=−13a6.【答案】C

【解析】【分析】

取AF的中点G，连接AC交BD于O点，异面直线BD与FC所成角即直线BD与OG所成角.【解答】

解：取AF的中点G，连接AC交BD

则OG//CF，且OG=12由平面ABCD⊥平面ADEFAF⊂平面ADEF知，AF⊥所以AF⊥A所以CF=12BG=cos∠由两直线夹角取值范围为[0,π2]，则直线BD与OG故选：C方法点睛：将异面直线平移到同一个平面内，利用余弦定理解三角形，求得异面直线的夹角．7.【答案】B

【解析】【分析】

画出图形，利用已知条件转化求解球的半径，即可得到半球的表面积．【解答】

解：设半球的半径为R，连接AC,BD交于点则OA=O∵内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为163∴四棱锥S−ABCD所以这个半球的表面积S=故选：B．

8.【答案】D

【解析】【分析】

设∠DAB=θ，求得cosθ=12，得到θ=π3，以【解答】

解：由BE=3设∠D可得A=14×因为θ∈[0以AC与BD交点O为原点，以AC,BD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设F0,t，且−1≤t≤当t=1时，故选：D．

9.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了线面、面面平行的性质定理和判定定理，熟练的掌握定理是关键，属于基础题．

利用面面平行、面面垂直的判定定理和线面垂直、线面平行的性质定理对四个选项分别分析解答．【解答】

解：对于A选项，若m//α，n//α，则m//n或m对于B选项，若m⊥α，n⊥α，则对于C选项，若m//α,m⊂β，则α//β对于D选项，若m⊥n，m⊥α，则n/​/α或n⊂10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查平面向量的运算、投影以及数量积，属于基础题．

由图可得FB−FD=EA，判断A；根据向量的数量积判断B；根据向量的投影判断C；由图易得|AE|=|A【解答】

解：对A，FB−FD=EA，故A错误;

对B，∵∠F=∠FAB=2π3，AF=AB=

EF，

∴∠FAE=∠FEA=π6，则∠EAB=π2，又∵AD//EF，∴∠DAF=π3，

AD⋅AF=|AF|·AD·cosπ11.【答案】AC【解析】【分析】

根据锥体的体积公式判断A，通过反证，利用平面A1DCB1与平面EFG和平面BDC1的交线PG、DH是否能平行来判定B，取EF的中点P【解答】

解：对于A，随着G的移动，但是点G到平面A1EF故VA1−对于B，如图所示，连接A1D∩EF平面A1DCB1与平面EFG若存在G点使平面EFG//平面BD则四边形PGHD为平行四边形，即P此时G应在CB1延长线上，故不存在线段B1C上一个动点G，使平面EF对于C，取EF的中点P，连接A1P，PG，又所以A1P⊥EF，G又A1B1⊥平面AA1DA1P=即二面角G−EF−A对于D，连接AD1，BC1，EC1，BF所以EF所以四边形EFBC1为平面EFG截正方体所得截面，又如下平面图形，过点E作EN⊥BC1则BM=1所以SE当点G为B1C中点时，平面EFG截正方体所得截面的面积为故选：A12.【答案】17.12

【解析】【分析】

根据平均数公式计算可得．【解答】

解：依题意可得总体平均数为22×故答案为：17.1213.【答案】13【解析】【分析】

根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系计算即得．【解答】

解：在▵BCD中，由正弦定理B在Rt▵A故答案为：1314.【答案】14【解析】【分析】

在线段CD上取一点E，使得CE=13CD，在线段DD1上取一点F，使得D1F【解答】

解：如图，在线段CD上取一点E，使得CE=13CD，在线段D因为CMBC又A1B/因为ME⊄平面A1BD,B同理，因为EF⊄平面A1BD,A又ME∩EF=E，所以平面MEF因为ME所以线段MN的最大值为故答案为：15.【答案】解：(1)因为b//a又b=1，所以t2+t2(2)因为a=又c=2，且2a所以2a+c即−2×所以cosθ

【解析】(1)依题意设b=(2)首先求出a，依题意可得2a16.【答案】解：(1)因为cosC所以sinA又因为sinB所以sinA可得3因为C∈(0,π)，可得又因为A∈(0(2)因为a=6，交A的内角平分线交BCS△又因为S▵所以34b由余弦定理得：cosA整理得(b+c)2−所以a+b+c=

【解析】(1)根据题意，利用正弦定理化简求得3(2)根据题意，利用S▵AB17.【答案】解：(1)如图，在等腰梯形ABCD中，连接D所以AB=AD=故四边形ABED所以▵BAE沿着AE翻折成▵B所以AE⊥B1M，A所以AE⊥平面

(2)由(1)及线面垂直性质得AE⊥B1M，平面B1M⊂平面B1A所以B1E与平面AE由已知条件，可知AB=A所以▵B1A所以B1E与平面AE

【解析】(1)在等腰梯形ABCD中，连接D(2)由(1)可得AE⊥B1M，由面面垂直的性质得到B1M18.【答案】(Ⅰ)证明：∵PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，

∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂面PAC，

∴BC⊥面PAC，又AH⊂面PAC，∴AH⊥BC；

(Ⅱ)解：如图，

以A为坐标原点，过A平行于CB的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(1,2,0)，H(0,1,1)，P(0,0,2)，

M(0,12,12)，C(0,2,0)【解析】本题考查了直线与平面平行的性质，考查了空间几何距离问题，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

(Ⅰ)要证AH⊥面PBC，只要证AH垂直于面PBC内的两