第5章6 正余弦函数的图像-人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型练习（机构专用）

正余弦函数的图像

考向一五点作图法

1、用〃五点法〃作y=2sinx的图像时,首先描出的五个点的横坐标是（）

兀冗3

A.0,一，肛一7i,27r

224,2’4

C.0,肛2»,3»,47r

【答案】A

JT3

【解析】由五点作图法可知，首先描出的五个点的横坐标为：x=o,5，万，万万，

故选：A.

2、利用五点法作函数_r.1的简图时，第三个点的坐标是（）

yv—cponcoAr,Ar1c1un,乙儿

B.（71,1）C.（71,0）D.（71,-1）

【答案】D

【解析】根据五点法作图中起关键作用的五点的特征加以判断.

3、函数片1-sinx,xe[0,2m的大致图象是（

A./

c.D.

2w

【答案】B

【解析】根据五点得到（。/）,-，0，（肛1）,-n,2,（2肛1）,得到选B.

I2/7

4、1己〃=$1111,b=sin2,c=sin3，则()

A.c<b<aS.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】画出/（x）=sinx的图像，如下图所示，其中

5、函数p=-COS*X>0）的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（）

n

A.（y,1）B.（7,1）

C.(0,l)D.(2»,1)

【答案】B

【解析】画出y=-cosx（x>0）的图像如下图所示，由图可知，与y轴最近的最高点的坐

标为（兀,1）.故选B.

（71）

6、点M7,一掰在函数>=sinx的图象上，则加

7

【答案】-1

【解析】将点M的坐标代入y=sin》，求得m的值。

7、用五点法作下列函数的图像.

(1)y=1—sinx,xe[0,24];(2)y=；+cos\—n.4].

【答案】（1）图见解析（2）图见解析

【解析】（1）列表如下：

71371

兀

X0*2~22兀

y10121

作图如下:

(2)列表如下：

7171

X-Tl-0兀

2~2

J_3_j_

y

22~222

作图如下：

,、|COSX(->T<X<(

8、已知函数用)=/(0“引

(1)作出该函数的图象；

(2)若/(无)=；，求X的值.

TTJrTT

【答案】(1)见解析；(2)I的值为-丁或?或?、.

Joo

,\|cosx（-^<x<0）

【解析】（1）作出函数小）=的图象,如图①所示.

（2）因为/（x）=3,所以在图①基础上再作直线y=%,如图2所示，

JT

则由图象，知当一时，］=—§,

TT

当OWxW乃时，X=—^X=—.

66

TTTT

综上，可知X的值为-行或=或?.

366

考向二解不等式

1、在（0,2万）内使sinx>cosx成立的x的取值范围是（）

呜总

【答案】A

【解析】•「sinx>|cosX,/.sinx>0，,xe(O,4)在同一坐标系中画出y=sinx,

xe(O,万)与y=|cosX,%«0,万)的图像，如图.

(冗3兀।

观察图像易得使sinx>|cos乂成立的xelI.

故选A.

2.利用余弦曲线，写出满足cos%>0,XG［O,2砌的x的区间是________.

【答案】［呜卜传，2：

【解析】画出y=cosX在［0,2兀］的图像如下图所示，由图像可知,cosx〉0对应的工的

-兀)(3兀-

取值范围是0,-luly,27T.

3、已知/(x)是定义在(0,3)上的函数，Ax)的图像如图所示，那么不等式/(x)cosx<。

的解集是()

A.(0,DU(2,3)B.(0,l)o

D.(0,l)U(l,3)

【答案】B

7w>o7«<o

【解析】易得：Wcosx<0^<cosx>0

0<x<30<x<3

1<x<30<x<l

n-

V5<x<兀成<Q<x<-

2

0<%<30<x<3

「.0<X<1或］<x<3,即xe(O,l)u15,3

本题正确选项：B

4.不等式错+2cos应0的解集是.

【答案】卜一点“+2后无WrW，+”“，无cz|

【解析】由S+2cosx>0，得cosxN-坐.

画出余弦函数的图象，如下图，

由图象得在一个周期［-TT,川上，不等式COSX>-幸的解集为%—字WxW\J,

2□oJ

故原不等式的解集为卜|一泰十2上兀4W/兀+2kn,无£z}.

故答案为卜一，十2上兀WxW赳+2kn,无wz}.

5、求函数y=In（2sinx-逝）+Jl-2cosx的定义域.

【答案】｛x|TgT+2k左Vx〈手-SJT+2左》次eZ｝

,叵

【解析】由题设可得｛s'.一"，即｛2,借助正弦曲线解五酸〉先得：

1-2CO5%>0,12

cosx<—

2

Ji37r1

——b2k7i<x<2k7iH------,keZ,借助余弦曲线解cosx<—得

442

rr57rTC37r

——FIkn<x<2k7iH-------,keZ，求其交集可得——F2kn<x<IknH-------,keZ，故所求

3334

函数的定义域是1+2^,2^+^KGZ)O

乎田。加上的x的取值范围.

6、根据正弦曲线求满足sinx>-

、3_

解析：在同一坐标系内作出函数片sinx与片--丁的图象，如图所示.

、345

观察在一个闭区间［0,2川内的情形，满足sin贬的xw0,于U于，2TT，所

、3

以满足sin机--y在［0,2川上的x的范围是

7、观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间：

(1)sinx>0；

(2)sinx<0；

(3)cosx>0；

(4)cosx<0.

【分析】由正弦函数与余弦函数图象即可写出即可.

【解答】解：根据正弦函数与余弦函数图象，则

(1)sinx>0oxe(2A77,%+2A7r),keZ；

(2)sinx<0oxe(;r+2A7r,2；T+2A7r),kwZ；

冗兀

(3)cos%>0o%w(---\-2kn,——卜2k兀)，左wZ；

22

(4)cosx<0xG(―+2k7i,—+lk7i),k^Z.

22

8、(1)解三角不等式：cosx...—,xe7?;

2

（2）解三角不等式：COSX.—,%€[——,7l\.

22

【分析】利用余弦函数的图象和性质，解三角不等式，求得不等式的解集.

【解答】解：（1）由COSX.,可得2Qr-匹触2^+-,故不等式的解集为

233

7171

[――+2k兀,—+2k7i]（keZ）.

（2）由cosx.A,可得2%r--融2k兀J，又因为xe[--，汨，故不等式的解集为

2332

L3,3J'

考向三零点问题

1、方程=COSX在（3。,+8）内（）

A.没有根B.有且仅有一个根

C.有且仅有两个根D.有无穷多个根

【答案】C

【解析】在同一坐标系中作出函数丁=国及函数y=cosX的图象，如图所示.

发现有2个交点，所以方程k|=cosx有2个根.

2、（多选）关于函数/（x）=l+cosx,xe（j,27）的图象与直线y=也为常数）的交点情

况，下列说法正确的是（）

A.当f<0或r..2时,有0个交点

B.当/=0或』,,/<2时，有1个交点

2

C.当0<f,,』时，有2个交点

2

D.当0<"2时，有2个交点

【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确

定结果.

【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：

①对于选项A:当/<0或心2时，有0个交点,故正确.

②对于选项3:当，=0或3”r<2时，有1个交点，故正确.

2

③对于选项c:当/=3时，只有一个交点，故错误.

2

④对于选项。：当f<2,只有一个交点，故错误.

2

故选：AB.

3、函数y=2+sinx,xG[0,2m的图象与直线y=2的交点个数是（)

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】在同一坐标系中作y=2+sinx与y=2的图象，再观察交点个数.

4、函数y=sinx的图象和尸改》的图象在［0,2兀］内的交点坐标为

匡回和匡-回

【答案】

【解析】作出函数、=sinx和y=COSX在［0,2兀］上的图像如下

从图像上可得：函数y=sinx的图象和＞=85%的图象在［0,2兀］内的交点坐标为

和L

142J

5.方程3'=sinx(xe[-2»,2»])的实数解有个.

【答案】2

【解析】在区间［-2兀,2可上,分别画出y=3、和y=sinx的图像如下图所示，由图可

知，两个函数图像在区间［一2兀,2可上有两个交点，也即3、=sin%(%e［-2»,2油的实数

解有2个故填：2.

6、函数/(x)=|lgx|-cosx在(YO,+00)内的零点个数为.

【答案】6

【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数y=|lgx|和y=cosx的图像如图，结合图像的对

称性可以看出两函数y=|lgx|和y=cosx的图像应有六个交点，即函数/(%)=-cosx

在(-为,〜)内有六个零点，应填答案6。

考向四正余弦函数的综合运用

1、用"五点法"作出函数yWsinx，龙«-肛不)的简图，并回答下列问题：

(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间.

①y>i;②y<L

(2)若直线y=a与y=1-2sin%,Xe(一»,不)的图像有两个交点，求a的取值范围.

【答案】(1)①当xe(—汉。)时,y>l；②当尤e(O,»)时，"1(2)(―1,1)U(1,3)

【解析】列表如下：

(1)由图像可知，图像在直线y=1上方部分时>>1,在直线y=1下方部分时y<1,

所以①当XC(一阳0)时，y>1；②当xe(o,»)时，y<l.

(2)由图像可知，当直线y=a与y=l—2sinx,xe(一肛乃)的图像有两个交点时，

1<。<3或—1<”1,所以。的取值范围是(-U)U(L3).

2、若函数/(x)=2sin(2%+2)+1.

6

(I)在所给坐标系中画出函数y=/(x)在一个周期内的图象；

(n)求满足了(X)..石+i的云的取值范围.

【分析】(I)用五点法法作函数y=Asin(ox+°)在一个周期上的简图.

(n)根据三角函数的图象和，性质,解不等式即可得到结论.

【解答】解：(工)列表如下：

(II)2sin(2x+—)+1..A/3+1,可彳导：sin(2x+—

662

TT__.7T2万.

——b2kr强/XH——------k2k兀,k&Z,

363

BP—+左磅k—+k/r,kwZ,

124

二.不等式的解集为{x|三黜—+k7t,keZ}.

124

3、在同一平面直角坐标系内画出正弦函数y=sinx