不等式中级水平

、一/

H(

n―7------T------------7=n3)

\7X/+0+“・+x”

故r=T的/平均值是调和平均值.

2、在r=0点:由已证明过的⑺式：M(0)=^/xjX2...xn=Gn(4)

故r=0的/平均值是几何平均值.

3、在r=7点：由(2)式得:

Xj^++xj/_盯+

M(l)=t“2+…+_a

n-

\7

故r=l的-平均值是算术平均值.

4、在r=2点：由(2)式得：

X/2++・・・+X

M(2)=n

故r=2的有平均值是平方平均值.

5、推论：根据嘉平均函数在实数空间是连续且单调递增,，由-1<0<7<2可得:

凡4G”40”(7)

当且仅当Xj=x2=...=xn时取等号.

以上是由是平均不等式推导的均值定理,在处理更高次方时，即r>2时，(2)式仍

适用.

三、加权不等式

1、加权不等式:若勿⑷2,…,%,且<0/+。2+…+%=1，则。,•就是权重,

当做>0(jt=7,2,...,n)时，恒有：

get]+a)2a2+...+(onan>a?-a?•...•a；”(8)

成立.

(8)式就是加权不等式.

aaa

2、对〃=2时：此时(8)式为：(oIal+G)22-i°''2

取%=g=g,上式变为：为；叱N如与

这是二元的均值不等式.

a,2)

3、对〃=3时：此时(8)式为：(OJUJ+a)2a2+(o3a3al•a^•a^0

a+a+a

取0/=。2=。3=(，上式变为：i23^a]a2a3

这是三元的均值不等式.

4、评价：此加权不等式为均值加权,由于权重3的灵活配置，加权不等式比均值不等

式更加灵活，也更加高效.

四、加权琴生求薪

1、琴生不等式:对于向下凸函数,函数的均值不小于均值的函数值.用数学式子表达为:

/(X/)+.〃X2)+...+/(X“)>X1+X2+...+Xn

n—JIn/\^/

左边是函数的平均值，右边是平均值的函数值.

对于向上凸函数,只需在函数前面加一个负号就可以直接采用(9)式.

2、加权琴生不等式:若函数12,…，芍,)在3切区间连续，且在SR)区间为向下凸

函数,若勿,且%+。2+…+%=]，对于一切巧，了2,…，X"G(a，b)，

贝I)：(o1f(x1)+...+a)nf(xn)kf((D1x1+...+(Dnxn)(10)

当吗==…=0"='时，(1。)式就化为(9)式.

n

因此，(10)式是更普遍的琴生不等式.

3、推论：设函数f,在区间[a,句eK时，/是一个连续函数，贝人

⑴对一切x,ye[a,切，恒有：=/(x)+；/(y)N/(土了)(11)

(2)对一切x,ye[a,切,4€(0,1),恒有：

2/(x)+(/-2)/(j)^/ax+(/-2)j)(72)

4、向下凸函数判据：设函数/,在区间时，/是一个连续函数.

(1)如果八到了㈠)之八一)成立,则/•为向下凸函数.

⑵如果/”(x)N0,则/为向下凸函数.

五、柯西不等式

1、柯西不等式:设勺,3……也为实数，贝U：

(a/+...+a“2)(bj+...+)>(d]b]+...+o-nbn(73)

这就是著名的柯西不等式.

2、推论1:设叼,。2,…,与NO,bl,b2,...,bn0,则:

+%+…+Q”)S/+3+•“+，”)>+小a2b2+…T(14)

3、推论2:设％,。2,%N。，与也，…也NO，则:

堂+堂+...+堂之(为+。2+…+(15)

瓦b2bnbI+b2+...+bn

(75)式被称为权方和不等式.

4、推论3:设。/，敢,…,与NO,bI,b2,...,bn>0,则:

『看+…令a*2+.SA•咛'(%)

5、推论4:设叼,。2,NO,bI,b2,...,bn0,则:

aaa

l!21n>⑷+42+…+>”/

bbab

与2nll+a2b2+...+anbH

六、伯努利不等袤

1、伯努利不等式:设工/,*2,…,X”>—1，贝！I：

(7+Xj)(l+x2)...(/+xn)>1+Xj+x2+：.+x„(78)

2、当X/=*2x”=x时:

(l+x)n>l+nx(19)

可见，(19)式是(78)式的特例，(78)式更普遍.

七、切线法不等式I即：设限法

1、切线法:设/(x)为实值向下凸函数，四xe(m,n),直线y=ox+)与/相

切于(如〃)，假设：在xe(/n,〃)区间，始终有：

/(x)^ax+b(20)

则I：(20)式就称为切线不等式.

当时，前面加负号就可以采用(20)式

2、指数不等式:ex^x+l(x>-/)

函数为：f(x)=ex,为向下凸函数.

贝1：f\0)=e°=l,f(0)=e°=l,

在x=0处的切线方程为：y=f'(0)(x-0)+f(0)=x+l

故：在x>-I区间，由(20)式得：f(x)>x+l,即：ex>x+l(21)

(21)式就是指数不等式.

3、对数不等式:lnx<X—7(x>。)

函数为：f(x)=lnx,为向上凸函数.

设8(%)=-/(幻=-111X，则g(x)为向下凸函数.

贝！I：g'(l)=--=-1,g(/)=-lnx\x=]=0,

XX=1

在x=1处的切线方程为：y=g'(l)(x-I)+g(l)=-(x-l)

故：在x>0区间，由(20)式得：g(x)>-(x-7),

即：-lnx^-(x—1),即：Inx<x—1(22)

(22)式就是对数不等式.

八、定义符号

对于3个对称变量的不等式，为了简化书写，便于计算，我们定义两个简化求和符号.

(1)定义：£为单轮换求和：展开项数为3.

eye

ZP(x,y,z)=P(X,y,z)+P(y,z,x)+P(z,x,y)(23)

eye

(23)式为单轮换求和定义式.

根据定义：

单个求和:zx=x+y+z;

eye

^x2=x2+y2+z2;

eye

^x3=x3+y3+Z3.

eye

双积求和:^xy-xy+yz+zxi

eye

Z*2y=x2y+y2z+^x;

eye

^x3y=x3y+y3z+z3x；

eye

2丁^x3y2=x3y2+,y3z2+,z3x2.

eye

三积求和:Z孙z=xyz+yzx+zxy=3xyz;

eye

^x2yz=x2yz+y2zx+z2xy=xyz(x+y+z)=xyz^x；

eyeeye

ZX2y2z=X2y2z+y2z2x+z2x2y=xyzkxy+yz+zx)=xyz^xy；

eyeeye

Xx3yz=x3yz+y3zx+z3xy=xyz(x2+y2+z2)=xyz^x2.

eyeeye

⑵定义：Z为双轮换求和：展开项数为6.

sym

^P(x,y,z)=P(x,y,z)+P(y,z,x)+P(z,x,y)+P(x,z,y)+P(z,y,x)+P(y,x,z)

sym

=^iP(x,y,z)+'XtP(x,z,y)(24)

eyeeye

(24)式为双轮换求和定义式.

根据定义：

单个求和：Z-SX+^y=2(x+y+z)=2^x;

symeyeeyeeye

Z=ZX?+Xy2=2(，+y2+/)=2g；

symeyeeyeeye

Z=Zd+Zy3=2(/+y3+)=2g1.

symeyeeyeeye

双积求和:22xj=xj+xz=2(xj+jz+zx)=2xj；

symeyeeyeeye

^x2y=X2y+X2z+y2z+y2x-¥Z2y=^X2(y+Z)=^xy(x+y)；

symeyeeye

333

XX、=xy+XZ+yZ+y3%+不、+23y

sym

=£/(“2；)=2到(，+/)=2*03+/).

eyeeyeeye

三积求和:Z孙z=6xyz.

sytn

X，yz=x2yz+x2zy+y2zx+y2xz+z2xy+z2yx=2xy^xx

symeye

^x2y2z=x2y2z+x2z2y+y2^x+y2x2z+^x2y+z2y2x=2xyz^xy；

symeye

(3)和的平方:

(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)

「Y

简写为：Z”=£/+2工xy

、eyeyeyeeye

(4)和的立方:

(x+y+z)3=x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+xy2+yz2+zx2)+6xyz

(丫

简写为：E*=Zx'+3Zx2y+6xyz=^X5+3^(X2J+XJZ)；

、eyeyeyesymeyesym

九、舒尔不等式

1、舒尔不等式:设x,_y,zNO,对任何r>0,恒有：

xr(x-y)(x-z)+yr(y-z)(y-x)+zr(z-x)(z-y)^O

简写为：^xr(x-y)(x-z)>0(25)

eye

(25)式这就是舒尔不等式.

2,对r=I的特例：

(1)/+y3+z3+3xyz>^x2y

sym

简写为：^x3+3xyz^^x2y,或Zd+xyzAZ—y(26)

eyesymeyesym

由于：x(x-y)(x-z)=x3-x2y-x2z+xyz

所以：£直工一了)(工一2)=工工3—工/。+2)+2型

eyeeyeeyeeye

-Z，(y+z)+3xyz

eyesym

代入(25)式得(26)式.

(2)(j+z-x)(z+x-j)(x+j-z)<Ayz(27)

由于：(j+z-x)(z+x-j)(x+j-z)

=[z-(x-j)][z+(x-j)](x+j-z)=[z2-(x-j)2](x+j-z)

=z2(x+j)-(x-j)2(x++z(x-j)2

=z2x+z2y-(x-y)(x2-y2)-z3+z(x2-2xy+y2)

=T^X+Z^-^X3-x2y-y2x+y3)-z3+z{x2-2xy+y2)

+》2y-2型

eyesym

所以(27)式为：-+2y-2xyz4xyz

eyesym

即：£/+3到之»£了2丁，这正是(26)式.

eyesym

(3)4(x+J+Z)(JCJ+jz+zr)<(x+j+z^+Pxyz

简写为：-^)(Sxy)<,x)J+9xyz(28)

eyeeyeeye

不等式左边：

4(x+y+z)(孙+yz+zx)=4(x2y+xyz+zx2+xy2+y2z+xyz+xyz+yz2+z2x)

(、

2

=4y^txy+3xyz

\sym7

不等式右边：

(x+y+z)’+9到z=Zx'+3工*2y+75到％

eyesym

(A

代入(28)式得：4E，y+3xyz42>'+3£x2y+15xyz

、sytnyeyesyin

即：^x2y+3xyz,即：^x3+3xyz>^x2y,这正是(26)式.

symeyeeyesym

(4)2(xy+yz+zx)-(x2+y2+z2)<9xyZ(29)

x+y+z

简写为：2X盯一2,2等

eyeeye2^”

eye

由(x+y+z)[2(xy+yz+>)-(x2+y2+z2)]<9xyz得左边为：

2(x4-J+Z)(XJ+jz+zr)-(x+j+z)(x2+j2+z2)

=2^x2y+3xyz-^x3~^x2y

、symyeyesym

移项合并得：x3+3xyz>x2y,这正是(26)式.

eyesym

(5)x2+y2+z2+3^x2y2z2>2(xy+yz+zx)

简写为：^x2+3^x2y2z2>^xy(30)

eyesym

由x+y+z^.3^j^z代入(29)式得：

2(xy+jz+zr)-(x2+j2+z2)^<9J^L_=3^Jx2y2z2

x+y+z3^1xyz

即：x2+y2+z2+3^x2y2z2>2(xj+jz+zx).

对于r>1时，与此类似推导.

十、缪尔海德不等式

1、缪尔海德不等式:设勾,。2，。3，6/，，2，%为实数，且。/之出之叼之。，bl>b2>b3>0,

aI>bl,aI+a2'^.b1+b2,al+a2+a3=bl+b2+b3；

设x,y,z>0,则有：

x-yW+x3严+y3z%+/+x%+z3产+产产户

>xb,.zb,+xblzb!ya,+yb,◎zb,+yb,z2/+z,述yh,+z'ybixb}

简写为：Z”产+NZ/P（31）

symsym

这就是缪尔海德定理.

2、推广为一般式：^工产盯,…吃小之？々"”％…”（32）

symsym

十一、赫尔德不等式

1、赫尔德不等式:设勺,。2，与，%，。2，%，3，。2，，3为正实数，则有:

3333

(a/+a2+a3)(b/+b2+b3)(c/+c2，+c/)>(alb1c1+a2b2c2+a3b3c3),

(3V3V3\C3y

简写为:Zd2X」Yaibici(33)

\i=l八I八I73=7

n(m、m(〃

2、推广为一般式:n之陶(34)

i=71j=/,j=l\i=I

3,推论：(l+a])(l+a2)-(7+aH)5:(/+!^aJa2...alt)"(35)

十二、排序不等式

1、正序和:前面缪尔海德不等式的前提就是一个数列的有序化,即数是按从大到小、

或者从小到大排列，这种按一定增减性排列的数就是有序数.当有序数列｛与｝和

包｝的增减性相同时：

Sn=a1bI+a2b2+...+anbn

称为正序和.

2、反序和:当有序数列｛册｝是从小到大排列，｛图｝是从大到小排列时：

Sn=a1bI+a2b2+...+allbn

称为反序和.当然，若｛册｝时从大到小排列，｛%｝是从小到大排列时，S“也是反

序和.

3、乱序和:当数列｛%｝无序排列，或者也｝无序排列，或者两者都无序排列时：

Sn=albl+a2b2+...+anbn

称为乱序和.

4、排序不等式:正序和N乱序和N反序和(36)

(36)式称为排序不等式.

十三、切比雪夫不等式

1、切比雪夫不等式:设勺,盯,…,X”和力,>2,…，％为任意两组实数，若｛与｝与｛%｝的

升降同序.即：

x

若X/4*24—4n，则力<，24—<yn；

若X/N*22—NX"，则力N力N—NJw.

1"(1nV7"、

贝!I：一心,，2一£巧一^^(37)

yl〃M人y)

(37)式称为切比雪夫不等式.

练习

［练习1］设a,),c是一个三角形的三边长，求证：二+―也+—=<2.

b+cC+Qa+b

［练习2］设a,ac>0,求证：一乙+—也+―Jz』.

b+cc+aa+b2

［练习3］设x,y,z>7,且—I1—=2,求证：Jx+y+zN\Jx—1+Jy—l+［z—1.

xyz

［练习4］设勺,“2，…，“为任意实数，证明不等式：

"+—4——-+...+—m—7<&-

1+Xj7+X?+x2I+X/+・・・+xn

［练习5］设x,yNO,且x+y=2,求证：x2y2(x2+y2)<2.

,2L2I

［练习6］设且。+8=7,求证：----+---->—.

a+1b+13

［练习7］设a,b,c>0,且a)c=1,求证：-------F----------+-----------41.

a+b+1b+c+1c+a+7

［练习8］设x,y,z>0,且孙z=1,求证：

1.V.一、3

-----------1------------1-----------N-.

(7+j)(/+z)a+z)(l+x)(/+x)(7+j)4

［练习9］设。，仇c>0,求证：一^+―万N亚.

1-a21-b21-c22

［练习10］已知招y>7,求证：xy~J(x+y—xy)<l.

［练习11］对实数…,X“，求,一与|+,-*2|+…+|*-的最小值.

［练习12］若函数/(x,y,z)在实数区间［凡加为向下凸函数，x,y,z&{a,b］,求证：

f(x)+f(y)+f(z)+3/(^^)N2/(空)+2/(号)+2〃签)

n

［练习13］设尸⑺二册^+%1/1+…+与》+他为正系数的多项式，且£出之1,求证:

i=0

P(-)>P(x).

X

参考解答：

［练习1］设a,5,c是一个三角形的三边长，求证：二+」—+，工<2

b+cc+aa+b

解析：采用“设限法”.

对于三角形有：两边之和大于第三遍，即：b+c>a,即：当〉;

22

b+cb+cab+c

即：+--->—+-----,即：>+c>—(a+)+c)

22222

于是：①

2(a+5+c)

c+a1/,».、a+b1,.,、

—(a+5+c)(Qz+5+C)

22

上面三式相加得：

abcabc

----+----+----<---------------------1-----------------------1----------------------=2

111

b+cc+aa+b—(a+b+c)—(a+b+c)—(a+b+c)

222

证毕.

本题的①式就是对某个量设限，即将已限制在某个范围内，以此得解.

b+c

［练习2］设a,b,c>0,求证：-+—+—

b+cc+aa+b2

解析：采用“柯西不等式”.

由柯西不等式得:

［(b+c)+(c+a)+(a+b)］\-^—+—^—+-^—\>(l+l+l)2=9

\b+cC+Qa+bJ

艮P：2(a+8+c)(---H--—I——--9

(b+cc+aa+bJ

a+b+ca+b+ca^b+c9a.bc八9

即：------+-------+------->—,即：----+1+------+7+-------+7N—

b+cc+aa+b2b+cc+aa+b2

目口。bc3