人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》教学学案

2.3寨函数

三维目标定向

K知识与技能》

(1)了解幕函数的概念；

2

(2)会画函数y=的图象，并了解它们的变化情况。

K过程与方法』

通过画y=X,y==%3,y=%T,y=*2的图象，由特殊到一般，归纳出事函数的图

象和性质。

K情感、态度与价值观U

通过大量实例，感受基函数的概念，体会塞函数在客观现实中的应用，学会应用数学的方

法，形成一定的数学应用意识.

教学重难点：基函数的图象和性质。

教学过程设计

一、实例剖析

引例：(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜X千克，那么她需要支付丫=元；

(2)如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=；

(3)如果立方体的边长为x,那么立方体的体积y=；

(4)如果一个正方形场地的面积为x,那么这个正方形的边长为y=；

(5)如果某人xs内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度＞=km/So

问题：以上函数具有什么共同特征？

共同特征：函数解析式是累的形式，且指数是常数，底数是自变量。

二、幕函数的图象和性质

(-)定义：函数y=x"叫做事函数。(其中x为自变量，a为常数)

探究1:你能指几个学过的基函数的例子吗？

探究2：你能说出幕函数与指数函数的区别吗？

名称

式了

aXy

指数函数：y=a*底数指数基值

幕函数：y=x"指数底数/值

探究3：如何判断一个函数是累函数还是指数函数？

看看自变量x是指数（指数函数）还是底数（累函数）。

练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是基函数？

(1)>=与；(2)y-2x2；(3)y=x2+x；(4)y=；(5)y=2*。

2、已知基函数y=f（x）的图象经过点（3,、Q）,求这个函数的解析式。

3、如果函数/（x）=（m2—加一1）・力"是塞函数，求实数小的值。

（-）幕函数性质的探究：

对于基函数，我们只讨论a=，时的情况，

2

2

即：y=x,y=x2,y=x3,}>=X-1,y=%2

探究4：结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何研究幕函数呢？

作具体基函数的图象一观察图象特征-总结函数性质

[

探究5：在同一平面直角坐标系内作出基函数y=x,y=x2,y=x3,y=x~],y=x2的图

象:

探究6：性质:

1_

y=x23l

y=xy=x'y=*2y=x~

定义域RRR［。,+8）{x|"0}

值域R[0,+8)R[0,+8){y|"0}

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数

[0,+8)增(-8,0)，

单调性增函数增函数[0,+8)增

(-00,0]减(0,+8)减

公共点(1,1)

三、例题

例1：证明基函数/（幻=«在［0,+8）上是增函数。

（备用）例2：在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率

v（单位：cn?/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比。

(1)写出气流速率V关于管道半径，•的函数解析式；

(2)若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s,求该气体通过半径为r的

管道时，其流量速率v的表达式；

(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率。

四、练习：P79,习题2.3。

幕函数

--教学目标：

1.知识技能

(1)理解基函数的概念；

(2)通过具体实例了解基函数的图象和性质，并能进行初步的应用.

2.过程与方法

类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研塞函数的图象和性质.

3.情感、态度、价值观

(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

(2)体会基函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

二.重点、难点

重点：从五个具体的幕函数中认识的概念和性质

难点：从幕函数的图象中概括其性质

5.学法与教具

(1)学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解基函数的定义和性质；

(2)教学用具：多媒体

三.教学过程：

引入新知

阅读教材P90的具体实例(1)~(5),思考下列问题.

(1)它们的对应法则分别是什么？

(2)以上问题中的函数有什么共同特征？

让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论

答：1、(1)乘以1(2)求平方(3)求立方

(4)求算术平方根(5)求一1次方

2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y=x"，其中％是自变量，。是常数.

探究新知

1.嘉函数的定义

一般地，形如y=x°(xeR)的函数称为幕孙函数，其中x是自变量，a是常数.

如y=x2,y=/,y=xW等都是塞函数，塞函数与指数函数，对数函数一样，都是基本

初等函数.

2.研究函数的图像

(1)y=x(2)y=x^(3)y=x2

(4)y-%-1(5)y=x3

提问：如何画出以上五个函数图像

引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后,

教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.

让学生通过观察图像，分组讨论，探究基函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学

生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幕函数的性质.

通过观察图像，填P外探究中的表格

1

y=xl

y=£y=x^y=x^y=x~

定义域RRR{x|x>0){x|xw0}

奇偶性奇奇奇非奇非偶奇

在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限

单调增减性单调递增单调递增单调递增单调递增单调递减

定点(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)

3.基函数性质

（1）所有的幕函数在（0,+8）都有定义，并且图象都过点（1,1）（原因：

（2）x>0时，塞函数的图象都通过原点，并且在［0,+8］上，是增函数（从左往右看,

函数图象逐渐上升）.

特别地，当x>l,x>l时，xe(0,1),y=f的图象都在y=x图象的下方，形状

向下凸越大，下凸的程度越大(你能找出原因吗？)

当/a<l时，xG(0,1),y=V的图象都在y=x的图象上方，形状向上凸，a越

小，上凸的程度越大(你能说出原因吗？)

(3)a<0时，基函数的图象在区间(0,+8)上是减函数.

在第一家限内，当X向原点靠近时，图象在丁轴的右方无限逼近y轴正半轴，当X慢慢地

变大时，图象在X轴上方并无限逼近X轴的正半轴.

例题：

1.证明幕函数/(x)=«在［0,包上是增函数

证：任取冷泡€［0,+8),且X］则

/(%)-/(彳2)=H

.(A-后)(G+嘉)