专题2-2 勾股定理（考题猜想巧用勾股定理解决折叠问题）原卷版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（人教版）

专题2-2勾股定理（考题猜想，巧用勾股定理解决折叠问题）折叠问题是中考的热点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理等知识进行解答。【方法总结】利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：1.运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；2.

在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；3.利用勾股定理列方程求出x；4.进行相关计算解决问题技巧1：巧用对称法求折叠中线段的长【例题1】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）已知如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则（

）cmA．3 B．4 C．5 D．6【变式1】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，折叠长方形纸片的一边，使点D落在边的处，，，求的长．【变式2】．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上．(1)如图（1），当折痕的另一端在边上且时，求的长(2)如图（2），当折痕的另一端在边上且时，①求证：．②求的长．【变式3】（22-23八年级下·浙江金华·期中）如图，将矩形纸片折叠，点A与点D重合，点C与点B重合，将纸片展开，折痕为，在边上找一点P，沿将折叠，得到，点D的对应点为点Q.

问题提出：（1）若点Q落在EF上，，连接.①是三角形；②若是等边三角形，则的长为.深入探究：（2）在（1）的条件下，当时，判断的形状并证明；拓展延伸；（3）若，，其他条件不变，当点Q落在矩形内部（包括边）时，连接，直接写出的取值范围.技巧2：巧用方程思想求折叠中线段的长【例题2】（22-23八年级下·四川德阳·期中）如图，矩形如图放置在平面直角坐标系中，其中，若将其沿着对折后，为点A的对应点，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．4.5【变式1】（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是．【变式2】（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图（1），已知直线与x轴、y轴分别交于点A，C，以为边在第一象限内作矩形．(1)求点A，C的坐标；(2)如图（2），将对折，使得点A与点C重合，折痕分别交于点D，E，求直线的解析式；(3)在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得与全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由．【变式3】．（21-22八年级下·广东佛山·期末）如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使，分别落在轴，轴的正半轴上，连接，且，．

(1)求所在直线的解析式；(2)将纸片折叠，使点与点重合（折痕为，求折叠后纸片重叠部分的面积；(3)若过一定点的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则定的坐标为．技巧3：巧用折叠探究线段之间的数量关系【例题3】（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．(1)折一折、猜想计算：如图①：把边长为8的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．如图②：将正方形纸片沿经过点A的直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，图②中，为_________三角形，线段_________；(2)折一折、类比探究：如图③将正方形纸片折叠，使点落点处，折痕与边交于点，与边交于点，展开后连接．①猜想线段与线段之间的关系_________；②_________；(3)折一折、探究证明：如图④：将正方形纸片沿经过点A的直线折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，折痕与边交于点，展开后延长交于点．猜想与的数量关系并证明；若，则_________．【变式1】（20-21八年级上·福建泉州·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片．(1)操作发现：如图2，将图1中的矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，交于点M，若，，则____．(2)如图3，将图2中的纸片展平，再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．(3)实践探究：如图4，将图3中的EF隐去，点G为边上一点，且，将纸片沿折叠，使点B落在点处，延长与的延长线交于点H，则与有何数量关系？并说明理由．【变式2】（21-22八年级下·全国·单元测试）在中，，，M是边的中点，过点M作交于点P，交于点Q，试求三者之间的数量关系，并证明你的结论．

【变式3】（22-23八年级下·江西宜春·期末）课本再现：（1）如图1，是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且．要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？和的数量关系是：___________；和的位置关系是___________；（无需证明）知识应用：（2）如图2，是一个正方形草地，现要在内部修建两条路，且，①请问这两条路还相等吗？为什么？②如图3，将边长为12的正方形纸片沿折叠，点D落在