高中数学-排列的应用教学设计学情分析教材分析课后反思

第二课时排列的应用

知识与技能：

理解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能利用排列和排列数公式解决简单的计

数问题.

过程与方法：

经历排列数公式的推导过程以及将简单的计数问题划归为排列问题的过程，从中体会“化归”

的数学思想.

情感、态度与价值观：

能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力.

【重点难点】

教学重点：排列、排列数的概念.

教学难点：排列数公式的推导，利用排列和排列数公式解决简单的计数问题.

【教学过程】

晒11用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：

（1）五位数？

（2）五位奇数？

（3）五位偶数？

［自主解答］（1）法一（直接法）：考虑特殊位置“首位”（万位），从1〜5中任选一个填入首

位，有Ag种填法，其余四个位置，从剩下的5个数字中任选4个数字排列，有Ag种填法，

故共有AFAW=600种填法.每一种填法就对应一个五位数，所以共有600个五位数.

法二（直接法）：考虑特殊元素“0”，分两类：一类，排0,从个、十、百、千位中任选一

个位置将0填入，有AJ种填法，然后将其余四个位置上从1〜5中任选4个填入，有Ag种

填法，所以该类共有AbAg=480种不同填法；另一类，不排0,有A?种填法.所以共有480

+A?=600种不同填法；

法三（间接法）：不考虑是否排0,有A烹种填法，考虑排0,且0排首位，有A$种填法，

所以共有A8—AW=6OO个不同的五位数.

（2）法一（直接法）：分步：第一步先排个位，从1,3,5三个数字中任选一个填入，有

A1种；第二步排首位，从不包括0的剩下的4个数字中任选一个填入，有Ai种，最后排剩

下的几位，有A?种填法，所以共有A卜A»Ai=288个五位奇数.另外，也可以从是否排0

的角度分类解决（略）.

法二（间接法）：不考虑是否排Q有AbAg种填法，排0且0排在首位，有AbA?种填法，

所以共有AbAg-A，-Al=288个不同的五位奇数.

（3）法一（直接法）：由于个位是否排0影响到首位的排法，所以可分类解决，按个位数是

否排0进行分类.第一类’个位排0,共有A4种填法；第二类，个位不排0,先排个位，从

2,4两个数字中任选一个填入，有A3种，第二步排首位，从不是0的剩下的4个数字中任

选一个填入，有Al种填法，最后排其余三位，有Ai种填法，所以共有Ag+AbAbAi=312

个五位偶数.

法二（间接法）：不考虑是否排0,第一步，从0,2,4三个数字中任选一个数字填入个

位，有AJ种，第二步填其余四位，有Ag种填法；考虑排0,且0排在首位，有AJA?种填法，

所以共形成A卜Ag-AbAj=312个五位偶数.

法三(间接法)：将无重复数字的五位数划分两类：五位奇数和五位偶数，由(1)、(2)可知，

偶数有600—288=312(个).

互：动探究

保持本例条件不变，求可组成多少个能被5整除的四位数？

解：按个位数所排数字进行分类：

第一类：个位数字排0,有AgA孑个；

第二类，个位数字排5,有AJA彳个.

根据分类加法计数原理，共可组成AgAl+AlM=108(个)能被5整除的四位数.

［方法，规律］___________________________

数字的排列是一类典型的排列问题，往往涉及排列特殊数，如奇数，被5整除的数等.需

要注意以下几个问题.

(1)首位数字不为0;

(2)若所选数字中含有0,则可先排0,即“元素分析法”；

(3)若排列的是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”；

(4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类.

||脸：训练

1.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.

(1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？

(2)如果组成的四位数必须大于6500,那么这样的四位数有多少个？

解：(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2,4,6

之一，所以有A,种排法；第二步排千、百、十这三个数位上的数，有A?种排法.根据分步

乘法计数原理，适合条件的四位数的个数是A：A2=3X6X5*4=360.故这样的四位数有360

个.

(2)因为组成的四位数要大于6500,所以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类.第

一类：千位上排7,有A?种不同的排法；第二类：千位上排6,则百位上可排7或5,十位

和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有AbAg种不同的排法.根据分类加法计数原理，

适合条件的四位数的个数是：At+AbAg=160(个).故这样的四位数有160个.

考点二排队问题

题7位同学按照不同的要求站成一排，求不同排队方案有多少种？

(1)甲必须站中间；

(2)甲、乙只能站两端；

(3)甲不站左端，乙不站右端；

(4)甲、乙两人必须相邻；

(5)甲、乙两人不能相邻.

［自主解答］(1)问题可以看作：余下的6个元素的全排列Ag=720种.

(2)根据分步乘法计数原理：第一步，甲、乙站在两端有A之种；

第二步，余下的5名同学进行全排列有A9种，所以，共有ArA3=240种排列方法.

(3)甲乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置.

法一(特殊元素法)：

甲在最右边时，其他的可全排，有Ag种.

甲不在最右边时，可从余下5个位置中任选一个，有A1种；

而乙可排在除去最右边位置后剩余的5个中的一个上，有Ag种，其余人全排列，共有

AgAgA乡种.

由分类计数原理：Ag+AgA《A§=3720种.

法二(特殊位置法)：

先排最左边，除去甲外，有A2种，余下6个位置全排有Ag种，但应剔除乙在最右边时

的排法AgA?种.

所以共有A&Ag-AgA§=3720种.

法三(间接法)：

7个人全排，共A彳种，其中，不合条件的有甲在最左边时Ag种；乙在最右边时Ag种，

其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A豺中.

所以共有A?-2A^+A?=3720种.

(4)(捆绑法)：把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于六个元素进行全排列，

然后甲、乙两人再进行排列，所以共有Ag-Ag=l440种站法.

(5)法一(直接法一插空)：先让其余的5人全排列，再

让甲、乙两人在每两人之间(含两端)的6个位置插入排列，所以共有A?・AV=3600种不

同站法.

法二(间接法)：不考虑限制条件，共有A彳种站法，除去甲、乙相邻的排法AbA2,所以

共有A?-AgA2=3600种站法.

［方法.规律］___________________________

排队问题的解答策略

(1)“排队”问题与“排数”问题有些类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当

正面考虑情况复杂时，可考虑用间接法.

(2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分类时不重不漏，分步要连

续、独立；间接法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏.

(3)某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，

再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”，即"相邻元素捆绑法”.

(4)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这

种方法称为“插空法”，即"不相邻元素插空法

训练

2.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.

(1)全体站成一排，男、女各站在一起；

(2)全体站成一排，男生必须排在一起；

(3)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人.

解：(1)男生必须站在一起，是男生的全排列，有A3种排法，女生必须站在一起，是女

生的全排列，有A才种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有A之种排法，由分步乘法计

数原理知，共有N=A+A3W=288(种)排法.

(2)把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故N=A§•A?=720(种).

(3)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故N=(Ag-A办Ag=960(种).

考点三某些元素顺序确定的排列问题

睡1将A,B,C,D,E这五个字母排成一列，要求A,B,C在排列中的顺序为“A,

B,C”或"C,B,A”（可以不相邻），则这样的排列有多少种？

［自主解答］5个不同元素中部分元素A,B,C的排列顺序已定，这种问题有以下两种

常用的解法.

法一（整体法）：5个元素无约束条件的全排列有Ag种，由于字母A,B,C的排列顺序

为“A,B,C”或"C,B,A",因此，在上述的全排列中恰好符合“A,B,C”或"C,B,A”

A5

排列方式的排列有次'2=40种.

法二（插空法）：若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C"，这时形成4个空当，分两

类将字母D,E插入.

第1类，若字母D,E相邻，则有A}A3种排法；

第2类，若字母D,E不相邻，则有Ai种排法.

所以有AhA2+A3=2O种不同的排列方法.

同理，若字母A,B,C的排列顺序为“C,B,A”,也有20种不同的排列方法.

因此，满足条件的排列有20+20=40种.

［方法.规律］___________________________

在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的（不一定相邻）.解决这类问题的基本

方法有两个：

（1）整体法，即若有m+n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，

将这m+n个元素排成一列，有AR回种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元

素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有AS1种排法，其中只有一个排列是我们需要的，

因此共有播种满足条件的不同排法.

Am

（2）插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排

法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空当中.

||班:训练

3.7人排成一列，甲必须在乙的后面（可以不相邻），有种不同的排法.

解析：7人排队，2人顺序固定，口共有冬=晋^=2520（种）.

答案:2520

4.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定,

则有个七位数符合条件.

解析：若1,3,5,7的顺序不定，有A才=24种排法，故1,3,5,7的顺序一定的排

法数只占总排法数的古，

故有*A，=210个七位数符合条件.

答案：210

【解题高手】【多解题】

从6名短跑运动员中选出4人参加4x100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共

有多少种参赛方案？

［解］法一：从运动员（元素）的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：

第1类，甲不参赛，有Ag种参赛方案；

第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3

棒，有A?种方法，此时有2A3种参赛方案.

由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有Ag+2Ag=240种.

法二：从位置（元素）的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外

的5人中选2人，有Ag种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A3种方法.

由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AgA4=240种.

法三（排除法）：不考虑甲的约束，6个人占4个位置，有AW种安排方法，剔除甲跑第一

棒和第四棒的参赛方案有2Ag种，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有Ag-2A3=

240种.

【创新演要

|CHUANGXINYANUA'DACHONGGIMN

翼邕缠即时体验，当堂巩固所学

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1.用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有（）

A.48个B.64个C.72个D.90个

解析：有A!A3=72个不同的五位偶数.

答案:C

2.5人排成一排，其中甲，乙至少一人在两端的排法种数为（）

A.6B.84

C.24D.48

解析：5人全排列有A?种，甲，乙都不在两端的排法有A3A寸种，共有A?-A3A§=84

种不同的排法.

答案：B

3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人

参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）

A.20种B.30种

C.40种D.60种

解析：分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有Ai种安

排方法；甲排周二，乙、丙有Ag种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A,

种安排方法.由分类加法计数原理可知，不同的安排方法共有Ai+A3+A2=2O种.

答案：A

4.安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人

都不能安排在10月1日和10月2日，不同的安排方法共有种.

解析：安排甲、乙两人在后5天值班，有Ag种排法；安排其余5人值班时无约束条件，

有A?种排法.故共有A（Ag=2400种不同的安排方法.

答案：2400

5.五个人排成一排，甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数为.

解析：五个人排成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙也不相邻的排法可分为两类：一类

是甲、乙、丙互不相邻，此类方法有A3-A3=12种（先把除甲、乙、丙外的两个人排好，有

A夕种方法，再把甲、乙、丙插入其中，有A1种方法，因此此类方法有A3-A§=12种）；另一

类是乙、丙相邻但不与甲相邻，此类方法有A3-A之-A3=24种方法（先把除甲、乙、丙外的两

人排好，有A3种方法，再从这两人所形成的三个空位中任选2个，作为甲和乙、丙的位置，

此类方法有A，A&Ag=24种）.综上所述，满足题意的方法种数共有12+24=36.

答案:36

6.用0.1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字且比240135大的六位

数？解：比240135小的六位数，有下列几种情况，首位为1或者前两位分别为20,21,23.

首位为1的六位数有Ag个，前两位分别为20,21,23的六位数各有A3个，而六位数共有

AkA?个，所以比240135大的六数位有A$Ag—（A?+3A¥）—1=407（个）.

学情分析

1.知识方面：

学生己经掌握了分类加法和分布乘法计数原理以及排列排列数的概念，并能解决简单

的排列问题.

2.能力方面：

①学生已经能够熟练的使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决有关计数问

题.

②学生已经已具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力

③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。

3.情感分析

学生具有积极的学习态度，热情洋溢的参与探究和展现自我，并乐于分享自己和同伴

的研究成果，从中更加激发学习兴趣。

针对学生以上知识、能力贮备和心理特征，我在授课时注重引导、启发，通过学生小组

讨论获取新知，把课堂交给学生，符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一

步发展。

本节课主要采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法。

本节课属于排列的应用课，一定要把主动权交给学生，整节课堂学生大量的思维活动造

就本课的一大特点，频繁的小组讨论、探究、展示，让学生感受到了学习的乐趣和集体的智

慧的强大，体验到了他们才是课堂的主人，充分调动了学生的积极性.教师和多媒体起到了

辅助作用，帮助学生规范和改正不当之处，引导学生感受从特殊到一般的思维过程和体会化

归的数学思想.

整节课达到了预期的教学效果：学生以极大的热情投入到知识的形成和应用过程，并通

过集体的力量突破了重点，解决了难点.

不足之处：排列数的阶乘式练习了4道题，对阶乘式的训练偏少.可在课下补充3-4题

加以强化.

计数问题是数学研究的重要对象之一.排列与组合是当今发展很快的组合数学的最初

步最基本的知识.

本章内容独立，自成体系，学生将以两个计数原理为基础，掌握排列，组合，二项式定

理及其应用，了解计数与实际生活（如体彩，足彩等抽奖活动）的紧密联系.这一部分内容

是高考必考的内容，而且还能提高学生的抽象能力和逻辑推理能力，提高学生分析和解决问

题的能力.

本节让学生在掌握排列的定义、排列数及排列数的公式的基础上解决简单的排列问题，

是高中数学教材的重要内容，它既是学习概率的预备知识，又是培养学生逻辑思维能力的极

好题材。另外，从知识体系看，它既在推导排列数公式的过程中使分步计数原理获得了重要

的应用，又使排列数公式成为推导组合数公式的主要依据，它是一个衔接上下节知识的重要

纽带，有着承上启下的地位.

f下编活页作业，知能同步测控

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一、选择题

1.（辽宁高考）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种

数为（）

A.3x3!B.3x（3!）3C.（3!）4D.9!

解析:利用“捆绑法''求解.满足题意的坐法种数为A*A护=（3!）4.

答案：C

2.一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有（）

A.240种B.600种C.408种D.480种

解析：将四个排成一排共收种排法，产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两

个元素插入共Ag种放法.由分步乘法计数原理满足条件的坐法共A小Ag=480（种）.

答案：D

3.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第

一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）

A.34种B.48种C.96种D.144种

解析：先排除A、B、C外的三个程序，有At种不同排法，再排程序A,有A3种排法，

最后插空排入B、C,有AbA之种排法，所以共有A*AbAbA3=96种不同的编排方法.

答案：C

4.生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中

安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只

能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有()

A.24种B.36种C.48种D.72种

解析：分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无

限制，有A?种排法；

第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，

其余两道工序有Ai种排法，有2Al种排法.

由分类加法计数原理，共有A9+2AZ=36种不同的安排方案.

答案：B

二、填空题

5.有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的

分组方案共有种.

解析：先把四位司机排好固定，再把四个售票员分给四位司机，共有A4=4X3X2X1=24

种.

答案：24

6.在1,2,3,4,5这五个数字组成的无重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数

的有个.

解析：由于题中所给的五个数仅有两个偶数，所以要使三个数的和是偶数，只有一个偶

数与两个奇数全排列.分两步确定这三个数，先从两个偶数中选中一个偶数，有2种情况，

再从三个奇数中选两个奇数，共有{1,3},{1,5},{3,5}三种情况.所以选出的三个数共

有2x3=6种情况，所以共可以组成6Al=36个满足条件的三位数.

答案:36

7.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但

不排在两端，不同的排法共有种.

解析：先将5名志愿者排好，有A9种排法，再将2位老人“捆绑”起来插入中间的间隔，

有A『A1由分步乘法计数原理知，共有A?xAjA9=96O种.

答案：960

8.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是.

解析：将3,4两个数全排列，有A专种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有At种方

法，当1,2相邻且不与5相邻时有A+A3种方法，故满足题意的数有A3(A3+A9AS)=36个.

答案：36

三、解答题

9.8人排成一排照相，分别求下列条件下的不同照相方式种数.

(1)其中甲、乙相邻，丙、丁相邻；

(2)其中甲