湖南省长沙市教科所2025届数学九上期末考试模拟试题含解析

湖南省长沙市教科所2025届数学九上期末考试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（）A．4 B．8 C．2 D．43．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）A．确定事件B．必然事件C．不可能事件D．不确定事件4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b） B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c） D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）5．将抛物线向左平移个单位长度,再向．上平移个单位长度得到的抛物线的解析式为（）A． B．C． D．6．已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b＜0，c＞0；②a+b+c＜0；③方程的两根之和大于0；④a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中,将点向下平移个单位长度,所得到的点的坐标是（）A． B．C． D．9．如图，二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，1）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y1）是函数图象上的两点，则y1＜y1；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个 B．1个 C．3个 D．4个10．如图，是的直径，点在上，，则的度数为（）A． B． C． D．11．四边形内接于⊙，点是的内心，，点在的延长线上，则的度数为()A．56° B．62° C．68° D．48°12．如果点D、E分别在△ABC中的边AB和AC上，那么不能判定DE∥BC的比例式是（）A．AD：DB＝AE：EC B．DE：BC＝AD：ABC．BD：AB＝CE：AC D．AB：AC＝AD：AE二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，四边形的项点都在坐标轴上，若与面积分别为和，若双曲线恰好经过的中点，则的值为__________．14．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为_____．15．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为_____.16．化简：-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=________________．17．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为________.18．某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为_______．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？20．（8分）解方程：(1)3(2x+1)2=108(2)3x(x－1)=2－2x(3)x2－6x+9=(5－2x)2(4)x(2x－4)=5－8x21．（8分）某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级班的名男生名女生中和九年级班的名男生名女生中各随机选出名主持人．（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；（2）求名主持人恰好男女的概率．22．（10分）如图1，的直径，点为线段上一动点，过点作的垂线交于点，，连结，.设的长为，的面积为.小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题.（1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了与的几组对应值，如下表：00.511.522.533.5400.71.72.94.85.24.60请求出表中小东漏填的数；（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象；（3）结合画出的函数图象，当的面积为时，求出的长.23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．（1）将绕着点顺时针旋转后得到，请在图中画出；（2）若把线段旋转过程中所扫过的扇形图形围成一个圆锥的侧面，求该圆锥底面圆的半径（结果保留根号）．24．（10分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)、B(4，2)、C(2，1)，以原点为位似中心，在原点的另一侧画出△A1B1C1，使=，并写出△A1B1C1各顶点的坐标.25．（12分）市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

第6次

甲

10

9

8

8

10

9

乙

10

10

8

10

7

9

（1）根据表格中的数据，分别计算出甲、乙两人的平均成绩；（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．26．（1）用公式法解方程：x2﹣2x﹣1＝0（2）用因式分解法解方程：（x﹣1）（x+3）＝12

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、D【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当CP⊥P1P2时，PC取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2，故CP的最小值为CP1的长，由勾股定理求解即可．【详解】解：如图：当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2，∴P1P2∥DE且P1P2＝DE当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，DP1＝2∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°∴∠AP2P1＝90°∴∠AP1P2＝45°∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2，∴CP的最小值为CP1的长在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝4，∴CP1＝4∴PB的最小值是4．故选：D．【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．3、D【解析】试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选D．考点：随机事件．4、C【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．由△CBH∽△BAO，推出，推出BH=﹣2a，CH=2b，推出C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得,推出，推出FH=2c，可得C（﹣b﹣2c，2b），因为2c+2b=﹣2a，推出2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，可得C（a﹣c，﹣2a﹣2c），由此即可判断；【详解】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC==2，∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°，∴∠CBH=∠BAO，∵∠CHB=∠AOB=90°，∴△CBH∽△BAO，∴，∴BH=﹣2a，CH=2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴，∴，∴FH=2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b=﹣2a，∴2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选C．【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5、B【分析】原抛物线的顶点坐标(0,0)，再把点(0,0)向左平移4个单位长度得点(0,-4)，再向上平移1个单位长度得到点(-4,1),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.【详解】解：抛物线先向左平移个单位长度，得到的抛物线解析式为,再向上平移个单位长度得到的抛物线解析式为,故选:．【点睛】本题考查的是抛物线平移，根据抛物线平移规律“左移加右移减，上移加下移减”写出平移后的抛物线解析式.需要注意左平移是加，右平移是减.6、B【解析】试题分析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴x＞0，且抛物线与y轴交于正半轴，∴b＞0，c＞0，故①错误；由图象知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故②正确，令方程的两根为、，由对称轴x＞0，可知＞0，即＞0，故③正确；由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：﹣1＜x＜0，∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故④正确．故选B．考点：二次函数图象与系数的关系．7、C【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．8、B【解析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所得到的点的坐标为（2，3-1），再解即可．【详解】解：将点P向下平移1个单位长度所得到的点坐标为（2，3-1），即（2，2），故选：B．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．9、D【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=−＞0，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；③由于＜1＜，且（，y1）关于直线x=1的对称点的坐标为（，y1），∵＜，∴y1＜y1，故③正确，④∵−=1，∴b=-4a，∵x=-1，y=0，∴a-b+c=0，∴c=-5a，∵1＜c＜3，∴1＜-5a＜3，∴-＜a＜-，故④正确故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．10、B【分析】连接AC，根据圆周角定理，分别求出∠ACB=90，∠ACD=20，即可求∠BCD的度数．【详解】连接AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠AED=20°，

∴∠ACD=∠AED=20°，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+20°=110°，

故选：B．【点睛】本题考查的是圆周角定理：①直径所对的圆周角为直角；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．11、C【分析】由点I是的内心知，，从而求得，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【详解】∵点I是的内心∴，∵∴∵四边形内接于⊙∴故答案为：C．【点睛】本题考查了三角形的内心，圆内接四边形的性质，掌握三角形内心的性质和圆内接四边形的外角等于内对角是解题的关键．12、B【解析】由AD：DB＝AE：EC,DE：BC＝AD：AB与BD：AB＝CE：ACAB：AC＝AD：AE,根据平行线分线段成比例定理,均可判定DE∥BC,然后利用排除法即可求得答案.【详解】A、∵AD：DB＝AE：EC,∴DE∥BC，故本选项能判定DE∥BC;

B、由DE：BC＝AD：AB,不能判定DE∥BC,故本选项不能判定DE∥BC.

C、∵BD：AB＝CE：AC,∴DE∥BC,故本选项能判定DE∥BC;D、∵AB：AC＝AD：AE,∴AB:AD=AC:AE,∴DE∥BC，,故本选项能判定DE∥BC.

所以选B.【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理.此题难度不大,解题的关键是注意准确应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用.二、填空题（每题4分，共24分）13、6【分析】根据AB//CD，得出△AOB与△OCD相似，利用△AOB与△OCD的面积分别为8和18，得：AO：OC=BO：OD=2：3，然后再利用同高三角形求得S△COB=12，设B、C的坐标分别为（a，0）、（0，b），E点坐标为（a，b）进行解答即可.【详解】解：∵AB//CD，∴△AOB∽△OCD，又∵△ABD与△ACD的面积分别为8和18，∴△ABD与△ACD的面积比为4：9，∴AO：OC=BO：OD=2：3∵S△AOB=8∴S△COB=12设B、C的坐标分别为（a，0）、（0，b），E点坐标为（a，b）则OB=|a|、OC=|b|∴|a|×|b|=12即|a|×|b|=24∴|a|×|b|=6又∵，点E在第三象限∴k=xy=a×b=6故答案为6.【点睛】本题考查了反比例函数综合题应用，根据已知求出S△COB=12是解答本题的关键.14、3＜r≤1或r＝．【解析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝1．∴AB＝5，如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有一个交点，∴3＜r≤1，故答案为3＜r≤1或r＝．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．15、．【分析】由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证△ABE≌△AOE，可得AO=AB=BO=DO，由勾股定理可求AB的长．【详解】解：∵四边形是矩形∴，∵平分∴，且，，∴≌（）∴，且∴，∴，∵，∴，∴故答案为．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键．16、-1【分析】根据实数的性质即可化简求解．【详解】-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=-1-2×=-1-=-1故答案为：-1．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值的求解．17、【分析】连接AC，连接CD，过点A作AE⊥CD交于点E，则AE为所求.由锐角三角函数的知识可知PC=PE，然后通过证明△CDO∽△AED，利用相似三角形的性质求解即可.【详解】解：连接AC，连接CD，过点A作AE⊥CD交于点E，则AE为所求.当x=0时，y=3,∴C(0,3).当y=0时，0=-x2+2x+3，∴x1=3，x2=-1，∴A（-1，0）、B（3，0），∴OA=1，OC=3，∴AC=，∵二次函数y=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,∴D(1,0),∴点A与点D关于y轴对称，∴sin∠ACO=，由对称性可知，∠ACO=∠OCD，PA=PD，CD=AC=，∴sin∠OCD=，∵sin∠OCD=，∴PC=PE，∵PA=PD，∴PC+PD=PE+PA，∵∠CDO=∠ADE,∠COD=AED,∴△CDO∽△AED,∴,∴,∴；故答案为.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，锐角三角函数的知识，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，难度较大，属中考压轴题.18、500+500（1+x）+500（1+x）2＝1【解析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），根据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是500（1+x）吨，三月份的产量是500（1+x）（1+x）=500（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1吨列方程即可．【详解】依题意得二月份的产量是500（1+x），三月份的产量是500（1+x）（1+x）=500（1+x）2，∴500+500（1+x）+500（1+x）2=1．故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2=1．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．三、解答题（共78分）19、（1）直线y=x+4，点B的坐标为（8，16）；（2）点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是1．【解析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；（2）分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；（3）设M（a，a2），得MN=a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=，从而得到MN+3PM=﹣a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．【详解】（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，,A点的坐标为（-2，1），设直线的函数关系式为y=kx+b，将（0，4），（-2，1）代入得解得∴y＝x＋4∵直线与抛物线相交，解得：x=-2或x=8，

当x=8时，y=16，

∴点B的坐标为（8，16）；（2）存在．∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝=325.设点C(m，0)，同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320，①若∠BAC＝90°，则AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－；②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6；③若∠ABC＝90°，则AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32，∴点C的坐标为(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)（3）设M(a，a2)，则MN＝，又∵点P与点M纵坐标相同，∴x＋4＝a2，∴x=，∴点P的横坐标为，∴MP＝a－，∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－(a－6)2＋1，∵－2≤6≤8，∴当a＝6时，取最大值1，∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的最大值是120、（1）x1=，x2=；（2）x1=1，x2=；（3）x1=，x2=2；（4）x1=，x2=【分析】（1）两边同时除以3，再用直接开平方法解得；（2）移项，方程左边可以提取公因式（x-1），利用因式分解法求解得；（3）先把方程化为两个完全平式的形式，再用因式分解法求出x的值即可．（4）方程整理为一般形式，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；【详解】解：（1）两边同时除以3得：(2x+1)2=36，开平方得：2x+1=±6，x1=，x2=；（2）移项得，3x（x-1）-2+2x=0，

因式分解得，（x-1）（3x+2）=0，

解得，x1=1，x2=；（3）因式分解得：（x-3）2=（5-2x）2，

移项，得（x-3）2-（5-2x）2=0，

因式分解得（x-3-5+2x）（x-3+5-2x）=0，

（3x-8）（-x+2）=0，

解得x1=，x2=2；（4）x（2x-4）=5-8x，

方程整理得：2x2+4x-5=0，

这里a=2，b=4，c=-5，

∵△=16+40=56，∴x=，则x1=，x2=.【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知用直接开平方法、公式法及因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．21、（1）答案见解析；（2）【分析】（1）首先根据题意列表，由树形法可得所有等可能的结果；（2）由选出的是2名主持人恰好1男1女的情况，根据概率公式即可求得解．【详解】解：（1）用树状图表示如下：（A表示男生，B表示女生）由树状图知共有6种等可能结果（2）由树状图知：2名主持人1男1女有3种，即(A1，B2)，(A1，B2)(A2，B1)，所以P(恰好一男一女)=【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表