高中数学习题1：导数及其应用 (一)

§2-2.1.8导数及其应用测试题(1)

测试目标：【考查函数的单调性，极值，最值，利用导数研究函数的综合性质,

结合导数提高函数图象的应用能力】

一、选择题

1.广(%)=0是函数/(x)在点/处取极值的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2、设曲线y=x?+1在点(x,/(x))处的切线的斜率为g(x),则函数y=g(x)cosx的

A.（0,0）B.（2,4）C.七）D.g

4.若曲线y=/+ax+6在点（0,0处的切线方程是x—y+l=0,则（）

A.a=l,b=\B.a=­1,b=1

C.a=l,b=—lD.H=-1,b=­l

5函数F（x）=f+ax2+3x—9已知/V）在x=-3时取得极值，则a等于（）

A.2B.3C.*4D.5

6.已知三次函数fx)（4加一1），+（15方-2加-7）才+2在（—8,+8）

是增函数，则力的取值范围是()

A.欣2或R>4B.—4〈水一2C.2〈欣4D.以上皆不正确

7.直线y=x是曲线y=a+lnx的一条切线，则实数。的值为()

A.-1B.eC.In2D.1

8.若函数/(x)=x3一i2x在区间(左-1#+1)上不是单调函数，则实数k的取值范

围()

A.k<-3^-l<k<^k>3B.—3<々<—1或1<左<3

C.-2<k<2D.不存在这样的实数k

9.10.函数/(x)的定义域为(4,6),导函数7(X)在(a,b)内的图像如图所示，

则函数“X)在(a,。)内有极小值点().

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.已知二次函数/(x)=*+/zx+c的导数为尸(x),/(0)>0,对于任意实数x都

有/(x)2O,则上包的最小值为()

/'(O)

53

A.3B.-C.2D.-

22

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

11.函数y=皿的导数为

X

12、已知函数/(乃=%3+«%2+/+。2在才=1处有极值为10,则f(2)等于

13.函数y=x+2cosx在区间［0,自上的最大值是

14.已知函数/、(幻=V+利在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是

15.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，/(I)=0,、(x)：/(x)〉0(%〉o),

X'

则不等式尤2/(x)>0的解集是

三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤)

16.设函数f(x)=sinx—cosx+x+1,0<x<2Ji,求函数f(x)的单调区间与极值.

17.已知函数/(幻=1-3x.

（i）求广（2）的值；（ii）求函数/co的单调区间.

18.设函数/（X）=/一6X+5,XG/?.

（1）求/（x）的单调区间和极值；

（2）若关于x的方程/（x）=a有3个不同实根，求实数4的取值范围.

（3）已知当了€（1,4＜»）时,/（幻2%（犬-1）恒成立，求实数Z的取值范围.

19.已知尤=1是函数/（x）=znr'-3（加+1*+〃x+l的一个极值点，其中列〃e

（1）求机与〃的关系式；（2）求/a）的单调区间；

（3）当函数y=/（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3皿，求加

的取值范围。

20.已知函数/（x）=Inx-or?一人x.

（I）当。=-1时，若函数/（幻在其定义域内是增函数，求b的取值范围；

（II）若/（x）的图象与x轴交于4（%0）,5（々,0）（再＜尤2）两点，且AB的中点为

C（xo,O）,求证：/,（x0）＜0.

2

21.已知函数/（x）=三,g（x）=2aInx（e为自然对数的底数）

(1)求E(x)=/(x)-g(x)的单调区间，若E(x)有最值，请求出最值；

(2)是否存在正常数a,使/(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该

公共点处有共同的切线？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切

线方程；若不存在，请说明理由。

《导数及其应用》参考答案

一、选择题:

题号12345678910

答案BADADDDBAC

二、填空题:

11.yjcos.m.t；121813.三+百；14.{«|a<0}；

厂6

15.(-1,0)u(l,+oo)

三、解答题

16.［解析］?(x)=cosx+sinx+l=^/^sin(x+1)+1(0〈底2n)

令F(x)=0,即sin(x+：-)=—乎，

3

解之得x=五或x=-n.

x,f'(x)以及/'(x)变化情况如下表：

/3,3

(-23（不，2

X(ftn)JI2H

址：)兀）

f

+0—0+

（X）

3n

f(x)递增n+2递减递增

33

的单调增区间为（0,“）和（5口，2JI）单调减区间为（“，-JI）.

33n

F极大（x）=F（口）=n+2,F极小（x）=/（7）=丁.

乙乙

17.解:（I）f'（x）=3x2-3,所以尸（2）=9.

（II）f\x）=3x2-3,

解r（x）>o,得％>i或x<-i.

解了”（x）<0,得一1<X<1.

所以（-oo,-1）,（1,+8）为函数/（尤）的单调增区间，为函数/（X）的单调减区

18.解：（1）尸（乃=3（——2）,4/，（幻=0,得当=一血/2=五1

分

...当x<-V2gJa>0时,/'(x)>();当一夜<x<亚寸,r(x)<(),...............2

分

二/(X)的单调递增区间是(-8,-0)和(五,+8)，单调递减区间是(-痣,加)……

3分

当x=-后,/(x)有极大值5+4V2；当x=VI/(x)有极小值5-4^2..........4

分

(2)由(1)可知y=/(x)图象的大致形状及走向(图略)

.•.当5—4痣<。<5+4扬寸，直线丁=。与丁=/(x)的图象有3个不同交点，……6

分

即当5—40<。<5+40时方程/(*)=1有三解.........................7分

(3)f(x)>k(x-l)BP(x-l)(x2+x-5)>k(x-1)

x>l,.'.^<x2+x-5在(L+=c)上恒成立...............................9分

令g(x)=/+x-5,由二次函数的性质，g(x)在(L+8)上是增函数，

g(x)>g(l)=-3,...所求左的取值范围是左M—3......................12分

19.解:(1)/(x)=3--6(/»+l)x+".因为x=l是函数/(x)的一个极值点.所以

/'(1)=0

即3，〃一6("?+1)+,=0,所以n=3m+6

2

(2)由(1)矢口，f'(x)=3mx—XAHXl)[x—(Id——)]

6(/7?+1)4-3/??+6=3(—m

当加<0时，有1>1+2，当X为化时，/(X)与尸(X)的变化如下表：

m

2i+2(i+2,i)

X(-8/+一)1(1,+8)

mmm

f,W—0+0—

单调递单调递

f(x)单调递减极小值极大值

增减

故由上表知，当机<0时，/(X)在(-8,1+工)单调递减,在(1+2,1)单调递增，在(1,+8)

mm

上单调

递减.

(3)由已知得尸(%)>3m,即〃>一2(m+l)x+2>0又加<0,所以/一2(加+1»+2<0,

mm

即x2--(w+l)x+—<0,XG［-1,1］设g(x)=x2-2(1+—)x+—,其函数图象开口向上，由

mmmm

22

题意知①式恒成立，所以六㈠卜噎1+2+7+盛<°解之得-3〈机又加<0所以

卜⑴<。［.1<03

--<m<0§Pm的取值范围为(-土0)

33

20.(1)由题意：/(x)=lnx+/一灰,.../(X)在(0,+oo)上递增，

/.fr(x)=-+2%-/?20对X£(0,+8)恒成立，即b44+2x对X€(0,+8)恒成立，

XX

「・只需b<(—h2x)min,

X

15

vx>0,/.-+2X>2A/2,当且仅当x=J时取“二”，。<2夜，.•.方的取值

x2

范围为(-00,20)

⑵由已知得，厂区)=叱一端一如=0=2寸遍一如，两式相减，

f(x2)=Inx2-ax\-bx2-0[Inx2-ax\-hx2

得：

In—=a(X]+%2)(%一九2)+b(M一Z)=>ln-=(x,-x2)[a(x1+々)+。]，

%

由/'(x)=—F2ax—h及2xg=苞+x9,得：

x

/'(尤o)=--2也-b=---------[«U|+x)+b]=-----------------In—

XQ玉+X,Xj+x,Xj4-X2x2

9z_x2(--1)

=「£)_1n土卜^[------1n与，令，=A(o,i),

M+Zx2Xj-x2(±+i)々M

x2

?r-2(7.1)2_

月.°。)=------Inr(0</<1),;(p'(t)=--——勺<0,eQ)在(0,1)上为减函

r+1+

数，

/.<p(t)>(p(X)=0»又项<42，'''f'(xo)<0

2(x3ea

21.解:(1)F\x)=f'(x)-g'(x)=---=~\x>0)

exex

①当a<00寸,F\x)>0恒成立

尸(x)在(0,+oo)上是增函数，尸(x)F只有一个单调递增区间(0,-8),没有

最值...3分

②当。>0时，F(x)=2(.・窥(.・窥)&>0),

ex

若0<x〈焉，则尸(x)<0,F(x)在(0,而)上单调递减；

若x>痴，则F(x)>0,b(x)在(而,+8)上单调递增，

.•.当x=J总时，尸(*)有极小值，也是最小值，

即F(x)nijn=F(-Jea)-a-2aln\[ea--a\na........6分

所以当a>0时，F(x)的单调递减区间为(0,而)

单调递增区间为(而,”)，最小值为-alna,无最大值.......7分

(2)方法一，若/1)与g(x)的图象有且只有一个公共点，

则方程/(x)-g(x)=0有且只有一解，所以函数尸(x)有且只有一个零

点.......8分

由(1)的结论可知/(x)1nm=-aIna=0得a=110分

此时，F(x)=/(x)-g(x)=--21nx,0尸⑺/尸(指)=0

••.，(&)=g(&)=L，f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为(&」)

又••"'(&)=g'(&)=3.•J(X泻g(X)的图象在点(&」)处有共同的切线,

其方程为y-l—,B|Jy=-^—x-\1