高中数学-数列的奇偶分类讨论

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高中数学■数列的奇偶分类讨论

匚观察发现、探究规律］

引例：“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的"帕

斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角

形数阵，记,为图中虚线上的数1,3,6,10....构成的数列｛q｝的

第”项，贝！1q8的值为一.

1

11

12/

13y1

14/41

15ml05I

例题讲解

伊噩：城数糠源于《乾坤港》

中对《易传》大行之数五十的

鳏,主要用于耀中国传筑文化

铺j太极行生磔.礴所示，数

列中的每一项,都代表太极后生过

程中曾皖历过的两憾逗颉1,

丽10项依次是0.2,4,8,12,

18,24,32,40,50，.一峥

初礴g｝,痢

则/一____：S--___■《乾坤谱》大衍数列示意图

问题1:观察图形，如何得到数列的递推关系式？

当〃为偶数时，

当〃为奇数时，=

a4-as=^

et.-18

a-a=4

人口14<9)54

。6-。5=6

<<»-40

————十(10

a7-a6=6

《乾坤谱》大衍数列示意图

问题2:如何由数列的递推关系得到数列的通项公式？

当"为明时，o

t解答】

当〃为偶数时，当”为奇数时，a？-a„i=n-l.

4=/+(附_%)+&_%)+…+&—4T)

=2+2+4-H4+--+(n-2)+(«-21)+«

=4xfl+2+--卜阀=；/

问题2:如何由数列的递推关系得到数列的通项公式？

当”为明时，a,-a,,t=n;

当"为奇数时，当"为奇数时，an-a^=n-l.

<7“=4+(药一a)+33-。2)+•一+3”-4-1)=2+2+4+4+--+(n-l)+(n-l)

=4xfl+2+--+^i-l=♦-1

I2)2

经验证：符合上式。

沙-I)口为领।

仿为寓数)

问题3:数列求和时应注意的关键点是什么？

1解答】（”为奇数）

当”为偶数时,I"'（"为曲数）

*=q+%+--+%

=-xll2-l)+-x22+--h-xn2

2'22

12+22+-«21n

--------------------------------X-

222

礁+2)(2”1)

问题3:数列求和时应注意的关键点是什么？当X为破品>1.

S_赤+2炀-1)

当”为翎时,-12

&=/+4++4

=1^-l)+jx2J+-+lp-l)"T空mi（”为奇物

P+24+1n+1M，"；?，，一1）（“为喇

=----------------------------------——X-----------

222

_(«-l)(n+l)(2n+3)

或暮U4-"券也以拥斗配叫严+3）

问题4:能否根据项本身的值，直接得到数列的通项公式？

。②④⑧④一。，回©,gg,...

【解答】

a=2=—x2*>。,=8=一x4*>a=18=—x6l(L,-32=-x8*•i

・2222

q=0,03=4=4x1,《=12=4x3=4x(1+2),a.=24=4x6=4x(1+2+3卜»

当H为偶魏时，&

当H为奇数时，4=4x(l+2+…+与1)=展

三、课堂练习

练习1：设数列5｝的百;页4=1,且黄足。“：=%>故；与。则$*=—.

【解】

;数列｛%｝的首项q=1.且41VH=2a211T.

，缴刊｛4”,是以4=1为3项，2为公论的等论缴列•

二4-1=2”".

1%*—“a”-i+1

l

；.c2,n=<3ln.l+l=2"'+l.

三、课堂练习:

绦习〕：设数列5｝的首项4=1.且超£&*：=阴卬；与%==〃­+1，则Sx=—.

二5式,=lo(+%)—(a；+。/+…+1。”-a：0)J21+2——…-2")+10-2056或

S==(6*a3*%)，(%+a」•％3)=(2"♦2'■+2'|+|2"-2•+->2*•10)=2056

三.课堂练习|

练习2：数列｛4中，J+(-1)*j=%-1,赐嫁前12项第于()

A.76B.78C.SOD.82

【解】

・'把一I，⑷-6二尸3产S，的。尸7,a-劣=911G+图=11,…,0ir+aw=19,

9口-川=21

.'.d=2，a，+a;二8，•••,aiLaio=4。_

•.•酷一项刑&，©取2个相满睦(酬汗2,■21党碉，

依次取2个相邻蹦项曲n构成以8为首项，以16为公部等诩列.

I三解M习I

朝2:数列｛吗中，&-+《-1)乜=2-1，则数列前(B)

A.76B.78C.80D.82

以上式子相加可得，

S)2=。「迎一'"ri2

二(aiP3)十(at*ar)-r(6*xni)T(sp4)十一<di<r«JU)

=3*2*210=78

I以方法归纳I

Q)奇偶分类讨论问题的常见题型：

①数列中连续两项和或租的问题(为+的-1=4”)或。疝/工1=>/("))；

②含有(-1)你I类型；

⑤含有｛Qj，｛Gn-l｝的类型；

④已知条件明确的奇偶项问题。

(2)通项公式分奇偶不同的数列｛〃｝求与时，我们可以分别求出奇数项的

和与儡敕项的和。

五、课后作业|

%+L”=2£

【缘习1】已知数列：4｝的的”项和为s“，qt，q(ieAT).

2alM+1.”=2£-1

则下列选耍正确的为<>

B.散列｛里川+可心£.▽)是哄2为公比的等比JB列

c.对于任意的*■e.N”，oa=2*-'-J

D.s.>1000的届4、正整的"的侑为15

I五、课后作业I

【绦习2】在数列｛6｝中，已知5=1,,记S*为⑹的前"项和,

%=g+G"」，rWn"

(1审断数列。J是否为等比数列，并写出其通项公式J

(2加数列｛6｝的通项公式；

(3涿&

再课后作业I

［<>)31已i®刷［4｝满足修=1，。：二。3〉1),反.「。』二。「。」十3国0四

(1)当d-a2时，号出内而讦可能的信i

《2)当d=l时，若的且内,>g7对任5〃JV*恒成立，求的列｛q｝的通项公

式.

［五，藻后作业I

I练习4】〈制东义界〉对干豺列｛6卜若R第二项起的若一项均大干谖项之花的所有响的

和，则称｛6｝为［数列.

<1>豹列｛mJ九1,I,3,5,7,先列｛d｝为-1.-.1.--判断船列3卜(3

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悬否为尸数