新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 学案（知识点考点）

第三章圆锥曲线的方程

3.1椭圆...................................................................-1-

3.1.1椭圆及其标准方程..................................................-1-

3.1.2椭圆的简单几何性质..............................................-12-

第1课时椭圆的简单几何性质......................................-12-

第2课时椭圆的标准方程及性质的应用.............................-23-

3.2双曲线................................................................-35-

3.2.1双曲线及其标准方程..............................................-35-

3.2.2双曲线的简单几何性质............................................-46-

3.3抛物线................................................................-60-

3.3.1抛物线及其标准方程..............................................-60-

3.3.2抛物线的简单几何性质............................................-70-

章末复习...................................................................-82-

3.1椭圆

3.1.1椭圆及其标准方程

学习目标核心素养

1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点

1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.（重点）

三角形的有关问题的学习，培养

2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准

学生的数学运算素养.

方程.（重点）

2.借助轨迹方程的学习，培养学生

3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用

的逻辑推理及直观想象的核心素

标准方程解决相关问题.（难点）

养.

情景趣味导学情景导学。探新知预习素养感知

畲情境引入•助学助教

2008年9月25日21时10分，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人飞

行和出舱活动，标志着我国航天事业又上了一个新台阶.请问，“神舟七号”飞

船的运行轨道是什么？

下面请你固定两个图钉，拉一根无弹性的细绳，两端系在图钉上（如图），用铅

笔抵住细绳并上下左右转动，看铅笔留的轨迹是否是椭圆？

「三新知初探「

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点F1,尸2的距离的和等于常数(大于IRBI)的点的轨迹叫做

椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的二

生称为半焦距.

思考：(1)椭圆定义中将“大于阴尸2|”改为“等于尸1尸2|”的常数，其他条件不

变，点的轨迹是什么？

(2)椭圆定义中将“大于四尸2|”改为“小于|尸1园”的常数，其他条件不变，动

点的轨迹是什么？

［提示］(1)点的轨迹是线段巧尸2.

(2)当距离之和小于欧1放|时，动点的轨迹不存在.

2.椭圆的标准方程

焦点在X轴上焦点在y轴上

o2

标准方程}+%=1(。泌＞0)%+各=1(。＞匕＞0)

焦点(―c,0)与(c,o)(0,—c)与(0,c)

a,b,c的关

c1=a2—b2

系

初试身

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆.()

(2)已知椭圆的焦点是Fi,Fi,P是椭圆上的一动点，如果延长RP到。，使

得|PQ=|PBI，则动点。的轨迹为圆.()

⑶方程摄+3=1(。＞0,心0)表示的曲线是椭圆.()

［提示］(1)X(2)V(3)X

v-22

2.设P是椭圆石+汽=1上的点，若仍是椭圆的两个焦点，贝1"£|+|「理

等于()

A.4B.5

C.8D.10

D［由椭圆方程知/=25,则a=5,|PFI|4-|PF2|=2«=10.］

3.椭圆的两个焦点坐标分别为Fi(0,-8),五2(0,8),且椭圆上一点到两个焦

点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为()

ABJ上=1

A，100十361400十3361

2222

CW0+36=1D.苏+若=1

C［由条件知，焦点在y轴上，且a=10,c=8,

所以b2=a2—c2=36,

29

所以椭圆的标准方程为高+妥=1.］

1UUJ。

4.方程%+士=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是

aa十6

(-6,—2)U(3,+°°)［由/＞。+6＞0得。＞3或一6VaV—2.］

―出映蟹卷合作探究。释疑睚生杜燃邈…

寸型］求椭圆的标准方程

【例11求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为门(一4,0),F2(4,0),并且椭圆上一点P与两焦点的

距离的和等于10；

(2)焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3&)；

(3)经过两点(2,一也)，(一1,书目.

［解］(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c=4,2a=10,所以a=5,h=-\la2—c2=

______92

^/25-16=3,所以椭圆的标准方程为卷+1=1.

(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为

法一：由椭圆的定义知2〃=其(4-0)2+(36+2)2+1(4-0)2+(3啦-2)2=12,

解得〃=6.又c=2,所以h=yla1—c2=4y/2.

29

所以椭圆的标准方程为为+a=l.

法二：因为所求椭圆过点(4,3的，所以亭+猾=1.

又(?=/—济=4,可解得层=36,序=32.

29

所以椭圆的标准方程为1.

Jo32

X2V2

(3)法一：若焦点在尢轴上，设椭圆的标准方程为金=1(〃>〃>0),由已知

/=8,

条件得，

1.14।b2=4.

了十福T，

所以所求椭圆的标准方程为卷+?=1.

O4

2y2

若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，+苏=l(a>b>0).

则/v/?2,与〃>〃>0矛盾，舍去.

?2

综上可知，所求椭圆的标准方程为"+5=1.

O4

法二：设椭圆的一般方程为A?+B)2=l(A>0,B>0,AWB).分别将两点的

UA+2B=\,

坐标(2,一&),一1,乎代入椭圆的一般方程，得,14

解得，

B=］，

所以所求椭圆的标准方程为卷+9=1.

o4

1......规律c方法........................

用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤

(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在X轴上，还是在y轴上，还是两个

坐标轴都有可能.

7292

(2)设方程：根据上述判断设方程方+卓=1(46>0)或5+/=1(4。>0)或整

式形式加好+町^二l(m>0,n>Q,m^n).

(3)找关系：根据已知条件建立关于a,b,c(或〃z,用的方程组.

(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求.

［跟进训练］

1.求与椭圆会+卷=1有相同焦点，且过点(3,正)的椭圆的标准方程.

r2v2

［解］法一：因为所求椭圆与椭圆石十方=1的焦点相同，所以其焦点在X轴

上，且<?=25—9=16.

?2

设所求椭圆的标准方程为a+$=1(。>人>0).

因为/=16,且02=。2—庐，故。2一$=］6①.

又点(3,，记)在所求椭圆上，所以*伊=1,

915

即”+后=1②.

22

由①②得/=36,〃=20,所以所求椭圆的标准方程为短+去=1.

法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为=止7=1.

ZD।Z/十4

又楠圆过点(3,V15),将x=3,)，=行代入方程得/7+忌=1,解得X

Zj十/IVIA

=11或入=一21(舍去).

72

故所求椭圆的标准方程为基+去=1.

3620

1送型"椭圆中的焦点三角形

92

【例2】(1)已知椭圆言+方=1的左焦点是右焦点是正2,点P在椭圆

上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PR|：『尸2|=()

A.3：5B.3：4

C.5：3D.4：3

(2)已知椭圆卷+《=1中，点P是椭圆上一点，R,尸2是椭圆的焦点，且NPFE

=120°,则△PFiB的面积为.

[思路探究](1)借助的中点在y轴上，且O为尸产2的中点，所以

轴，再用定义和勾股定理解决.

(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PR|,|尸冏的方程，通过解方程求

解.

(1)C⑵呼[(1)依题意知，线段的中点在y轴上，又原点为QB的

中点，易得y轴〃PB,所以PP2_1_X轴，则有上川2一|尸尸2|2=4，=16,又根据椭圆

定义知|PK|+|PB|=8,所以|PFi|一|P3|=2,

从而|P尸i|=5,|P尸2|=3,即|PB|：\PFi\=5：3.

(2)由，+事=1,可知a=2,b=事,所以c=.屋—、=],从而尸]772]=2C=

2.

在APF1F2中，由余弦定理得IPEFqpRF+iFigF-ZIPniinFzIcosNPFiB,

即IPBFEPRF+d+ziPEi.①

由椭圆定义得|PB|十|Pb2|=2a=4.②

由①②联立可得|PR|=3.

所以SAPFIFT师尸图sin/P/M2=；X,X2X^=¥.]

厂......规律C方法........................

椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧

⑴椭圆的定义具有双向作用，即若|MEi|+|MF2|=2a(2a>|FiF2|),则点M的轨

迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.

(2)涉及焦点三角形面积时,可把|PR|,|Pg|看作一个整体,运用|PB『+|尸尸2『

=(|PF|I+|P@|)2—21PBHPF2|及余弦定理求出IPF11-,而无需单独求解.

［母题探究］

1.本例(2)中,把“NP尸1^2=120。"改为"NP尸1后=90°”，求△APB的面

积.

?2

［解］由椭圆方程彳+餐=1,知a=2,c=1,由椭圆定义，得IPEil+lPBkZa

=4,且71人|=2,在△PBB中，ZPFIF2=90°.

222

.,.|PF2|=|PFI|+|FIF2|.

从而(4一|Pn|)2=|PBF+4,

3

则|PR|=2,

因此S.FTPF2Hp碎=1.

3

故所求△2小］F2的面积为了

2.本例⑵中方程改为:+营=1(。＞方＞0),且“NPFIF2=120。”改为

“/尸1尸尸2=120。"，若APF1F2的面积为小，求匕的值.

［解］由NFIPF2=120°,△PBF2的面积为小，可得；|PFMP尸2卜sinNFiP/^n

坐IPRHP五2|=小，|PQ||「网=4.根据椭圆的定义可得|PR|+|PB|=2a.再利用余

222

弦定理可得4c2=|PFi|+|PF2|~2\PFi||PF2|COS120°=(|PFi|+|PF2|)一|PFi=

4a2—4,

h2=1,即b=l.

逮型3与椭圆有关的轨迹问题

［探究问题］

1.用定义法求椭圆的方程应注意什么？

［提示］用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为

到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐

标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a,b,c.

2.利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？

［提示］(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x,y),已知曲线上动点坐标为

P(xi,yi).

xi=g(x,y),

(2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标，即得关系式

iyi=/i(x,y).

(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所

得方程化简即可.

［例3］(1)已知P是椭圆5+5=1上一动点，0为坐标原点，则线段0P

4-O

中点。的轨迹方程为.

(2)如图所示，圆C：(x+l)2+y2=25及点A(1,O),Q为圆上一点，AQ的垂直

平分线交C。于点M，求点M的轨迹方程.

f思路探究］(1)点Q为OP的中点今点Q与点P的坐标关系今代入法求解.

(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解.

v2

(1)/+,=1［设。(x,y),P(xo,yo),由点。是线段。P的中点知xo=2x,yo

=2y,

又当”I,

所以竽+等f

即L］

(2)［解］由垂直平分线的性质可知|MQ=,

：.\CM\+\MA\=\CM\+\MQ\=\CQ\,

：.\CM\+\MA\=5.

.•.点M的轨迹为椭圆，其中2a=5,焦点为C(—l,0),A(l,0),，a=|,c=l,

2521

・,•庐=〃一一1=彳.

?2

，所求点M的轨迹方程为言+会=1,

~4~4

即止+鱼=］

125十21「

厂....••规律＜方法......一

1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本

例⑴所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法.

2.对定义法求轨迹方程的认识

如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知

曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们

后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法.

3.代入法(相关点法)

若所求轨迹上的动点尸(x,y)与另一个已知曲线C：F(x,y)=0上的动点。(xi,

yi)存在着某种联系，可以把点。的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲

线C的方程F(x,y)=0,化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代

入法(又称相关点法).

［跟进训练］

2.已知x轴上一定点A(1,O),。为椭圆，+y2=i上任一点，求线段AQ中点

M的轨迹方程.

［解］设中点M的坐标为(龙，y),点Q的坐标为(xo,yo).

利用中点坐标公式，

，xo+1

x2'xo=2x—1,

得1•••.

_义［yo=2y.

卜-2，

x2近

。(刈，yo)在椭圆1+y2=1上，4-y3=l.

将次=2x—1,yo=2y代入上式,

得中+3J.

2

故所求AQ的中点M的轨迹方程是Q—；)+4y2=l.

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

匚必备素福口

1.平面内到两定点Fi,尸2的距离之和为常数，即IMF1I+IM尸2|=2a,当2a＞

尸|放|时，轨迹是椭圆；当2。=尸|尸2|时，轨迹是一条线段尸122；当2a＜尸1周时，

轨迹不存在.

2.由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围).

(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确

定〃的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式屋=/+。2求出c,即可写出焦

点坐标.

(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程5+^=1,当m

＞〃＞0时，方程表示焦点在光轴上的椭圆；当〃＞机＞0时，方程表示焦点在y轴

上的椭圆.特别地，当/?=机＞0时，方程表示圆心在原点的圆.若已知方程不是

标准方程，需先进行转化.

3.椭圆上的点尸与两焦点f2构成的三角形叫做焦点三角形，在焦点三角

形中，令4FIPF2=8,如图.

⑴当点P与囱或及重合时，最大.

(2)焦点的周长为2(a+c).

22

(3)|FiF2|=\PFII+|P冏2-2|尸尸i||P尸21cos6.

(4)SApF|=^PF\||PF2|sin仇且当尸与囱或及重合时，面积最大•

4.求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有：定义法、直接法和代入法(相关点

法）.

U学以致用」

1.椭圆会+尸=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点尸到另一个焦点的

距离为（）

A.5B.6C.7D.8

D［根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a—2=2*5—2=8.］

2.已知椭圆4_?+62=4的一个焦点坐标是（0,1）,则实数人的值是（）

A.1B.2

C.3D.4

F

2+-I

B［椭圆方程可化为4由题意知j解得々=2.］

-m=i，

火

3.若方程5+尸表示椭圆，则实数加满足的条件是

,（机>0,

相〃?>［且加工1］［由方程2+丁匚7=1表示椭圆，得42〃?一1>0,解得

/JmZm—1

—1,

山〉;且〃岸1.］

4.椭圆的两焦点为四（一4,0）,凡（4,0）,点P在椭圆上，若△PBB的面积最

大为12,则椭圆方程为.

72

言+，=1［如图，当P在y轴上时△PB/72的面积最大，

28/?=12,:.b=3.

又,；c=4,/.a2=b2+c2=25.

92

椭圆的标准方程为*+]=1]

5.设四，尸2分别是椭圆C：，+卓=1（。>40）的左、右焦点，设椭圆C上

一点坐）到两焦点为，f2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.

［解］•.•椭圆上一点到两焦点的距离之和为4,

/.2«=4,屋=4,

•••点［小，田）是椭圆上的一点，

一

・.・4+p—1|，•f・b2-T3,...c—1,

椭圆C的方程为］+］=L

焦点坐标分别为（-1,0）,（1,0）.

3.1.2椭圆的简单几何性质

第1课时椭圆的简单几何性质

学习目标核心素养

1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，

1.通过椭圆性质的学习与应用，培

并正确地画出它的图形.（重点）

养学生数学运算的核心素养.

2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲

2.借助离心率问题的求解，提升直

线的方程研究它的性质，并能画出相应

观想象与逻辑推理的核心素养.

的曲线.（重点、难点）

情景趣味导学情景导学。探新知预习素养感如

畲情境引入•助学助教

使用多媒体手段展示大小、扁圆程度等不同的椭圆，体现椭圆形状的美，然

后分别从椭圆为封闭曲线，即范围入手讲出椭圆的范围，对称性，离心率等问题.

「新知初探］

1.椭圆的简单几何性质

焦点的

焦点在X轴上焦点在y轴上

位置

图形

焦点的

焦点在X轴上焦点在y轴上

位置

标准\+g=l(a>Q0)27

京士层三1(。＞。〉0)

方程

范围-a—xWa且一bWyWZ?—bWxWb且一aWyWa

对称性对称轴为坐标轴,对称中心为原点

4(—4,0),A2(6F,0)Ai(0,—a),A2(0,a)

顶点

Bi(0,—b),52(0,b)&(40)

轴长短轴长尸四，长轴长|AIA2|=2^

隹八八占八、、c,0),52(。,0)Fi(0,—c),尸2(0,c)

焦距\FIF2\=2C

2.离心率

⑴定义：椭圆的焦距与长轴长的比3尔为椭圆的离心圣.

(2)性质：离心率e的范围是(0』).当e越接近于1时，椭圆越扁;当e越接近

于9时，椭圆就越接近于圆.

思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？

［提示］不是，离心率是比值，比值相同不代表4,C值相同，它反映的是椭

圆的扁圆程度.

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)

⑴椭圆5+方=1(。＞人＞0)的长轴长等于a.()

⑵椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a—c.()

⑶椭圆的离心率e越小，椭圆越圆.()

［提示］⑴X(2)7(3)V

2.经过点尸(3,0),。(0,2)的椭圆的标准方程为()

A.卷+?=1B.^+j=l

C-W=1D,f-f=l

A[由题易知点P(3,0),Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的

焦点在x轴上，所以a=3,b=2,故椭圆的标准方程为卷+9=1.]

y4

3.椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0,小)，则椭圆的标准方

程是.

/+彳=1[依题意得2a=4/?,c=y[3,又a2=02+c2,

'.a=2,b=1,故椭圆的标准方程为X2+彳=].]

4.设椭圆各苴=i(ovy)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心

率的值为.

3

,[由条件知2X5+2c=4〃，即2Z?=c+5,

又。2—〃=02,。=5解得。=4,c=3.

c3

离心率e=/=§]

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养影成

lb类型17由椭圆方程研究几何性质

2

y2v2X丫2

【例1】⑴椭圆”十方=1(。＞心。)与椭圆7+白=入(＞＞。且入日)有()

A.相同的焦点B.相同的顶点

C.相同的离心率D.相同的长、短轴

(2)求椭圆9f+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.

(1)C[在两个方程的比较中，端点八。均取值不同，故A,B,D都不对，

而a,b,c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.]

22

(2)[解]把已知方程化成标准方程为£+5=1,

10y

所以a=4,b=3,c=q16-9=小,

所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6;

离心率e="=近

4

两个焦点坐标分别是(一市，0),(巾，0);

四个顶点坐标分别是(一4,0),(4,0),(0,-3),(0,3).

［母题探究］

1.本例⑴中把方程峰+方=贴＞0且杼D”改为“&+帚=

1QW0)”，结果会怎样呢？

92

A［由于。＞匕，；・方程"+层:_幺=1中,/=(屋+九)一(〃+入)=屋一

22

焦点与，+，=1(。＞匕＞0)的焦点完全相同.

而因长轴长，短轴长发生了变化，所以BCD均不对，只有A正确.］

2.本例(2)中，把方程改为“16f+9＞2=144”，结果又会怎样呢？

29

［解］把方程161+9y2=144化为标准形式得汽+5=L

知椭圆的焦点在y轴上，

这里次=16,y=9,.,.c2=16—9=7,

所以椭圆16f+9V=144的长轴长为2a=2X4=8,短轴长为28=2X3=6,

离心率：e=＞平，焦点坐标：(0,

顶点坐标：(0,-4),(0,4),(-3,0),(3,0).

1......规律C方法......-、

由标准方程研究性质时的两点注意

(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定

焦点的位置，进而确定椭圆的类型.

(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准。与"正确利用〃=辰十。2求出焦点

坐标，再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是

2612b,2c.

由几何性质求椭圆的方

程

【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)椭圆过点(3,0),离心率6=坐

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；

(3)经过点M(l,2),且与椭圆5+看=1有相同的离心率.

［思路探究］(1)焦点位置不确定，分两种情况求解.

(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解.

(3)法一：先求离心率，根据离心率找到。与匕的关系，再用待定系数法求解.

法二：设与椭圆为+点=1有相同离心率的椭圆方程为方+看=依(玄>0)或方+

不=攵2(%2>0).

［解］(1)若焦点在光轴上，则。=3,

Ve="=，:.c=«,/.Z?2=a2—c2=9—6=3.

.•.椭圆的方程为看+f=l.

7J

若焦点在y轴上，则〃=3,

.•7=(=5?=5】=坐解得层=27.

27

.•.椭圆的方程为与+卷=1.

二.所求椭圆的方程为5+^=1或务+5=1.

?2

(2)设椭圆方程为'+$=l(a>/>>0).

如图所示，△AlE42为等腰直角三角形,

OF为斜边AA2的中线(高)

且|OE=C,\AiA2\=2b,

c=/?=4,；・a2=/?2+/=32,

22

故所求椭圆的方程为强+1.

32lo

h11A21

（3）法一：由题意知e2=1-­i=5，所以F=5，即屋=2户，设所求椭圆的方程

ana乙

为焉+W=1或求l+W=L

2bb2b~b

将点M（1,2）代入椭圆方程得

14419

方+正=1或不+/=1，解得〃=］或从=3.

故所求椭圆的方程为5+^=1或V+^=L

2

9222

法二：设所求椭圆方程为方+g=M（Rl>0）或方+,r=左2（%2>0）,将点M的坐标

代人可得.+1=%或今+5=依,解得依/攵2=4故各W或冬+会；，

即所求椭圆的标准方程为方+'=1或*+5=1.

2

厂.......规1^<^法・......--

利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

（1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤

是：

①确定焦点位置；

②设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方

程）；

③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数，列方程（组）时

常用的关系式有/=/一°2,e=^等.

（2）在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此

仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.

v-2p2j-2仔

提醒：与椭圆了十层=1（。>/?>0）有相同离心率的椭圆方程为系+/=依（依>0,

2

焦点在X轴上)或，+$=依(%2>0,焦点在y轴上).

［跟进训练］

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0),并且以坐标轴为对称

轴，求椭圆的标准方程.

?2

［解］法一：若椭圆的焦点在X轴上，则设椭圆的标准方程为a+%=15>匕

>0),由题意得『7'解得『3’所以椭圆的标准方程为料户L

g+L，9

若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆的标准方程为/+g=1(a>8>0).

'2a=3-2b,

a=9,

由题意得<92_解得<

谣十庐刁，b=3.

所以椭圆的标准方程为所+§=1.

综上所述，椭圆的标准方程为^"+y2=l或点"+看=1.

y017

99

法二：设椭圆方程为5+}=i(m>0,〃>0,机羊〃)，

—==1—=]

则由题意得俨'或产.

2y[m=3-2\[nl2yfn=3-2y[m9

m=9f7??=9,

解得或

n=IIn=81.

922

所以椭圆的标准方程为卷+>2=1或3+看r=1.

y017

白券型3求椭圆的离心率

［探究问题］

1.椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？

［提示］离心率e=》假设。固定，当e-0时，0,因a1=c1+b2,则b^a,

所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁.

2.已知t的值能求出离心率吗？

［提示］可以.e弋=/尹5一伊.

3.已知尸是椭圆的左焦点，A,8分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的

顶点，P是椭圆上的一点，且PE_Lx轴，0P〃A3,怎样求椭圆的离心率？

99

［提示］如图，设椭圆的方程为$+$=1(。>。>0),P(—C,m).

'：OP//AB,

:.△PFOsXBOA,

.c_m

,,1万，

又P(—C,TH)在椭圆上,

将①代入②，得多=1,

即e2=^,/.e=2•

22

【例3】设椭圆，+%=l(a>b>0)的两焦点为Fi,Fi,若在椭圆上存在一

点P,使而1•而2=0,求椭圆的离心率e的取值范围.

［思路探究］由条件届1•国12=0,知所以点P在以F1F2为直径的

圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解.

［解］由题意知PRJ_Pb2,所以点尸在以尸1丘2为直径的圆上，即在圆f+y2

=02上.

22

又点P在椭圆上，所以圆工2+,2=。2与椭圆1有公共点.

连接OP(图略)，则易知0VZ?〈cVa,

所以序W/Va?,即层―/Wc2V/.

所以，所以乎VI.所以［孚，l).

［母题探究］

1.本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△尸乃尸2为等边三角形”，

求椭圆的离心率.

［解］当△PBB为等边三角形时，即|PFI|=|PF2|=|FF2|,又|PFi|=a,，a=

、c1

2c,故离心率e=-=7

2.本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PKB为等腰直角三角

形”，求椭圆的离心率.

［解］当△PBB为等腰直角三角形时，

ZFIPF2=90°,

这时尸尼尸也IPBI,

即2c=y［2a,

二离心率e=£=弹.

a2

3.把本例中条件“使而1•际2=0”改为“使为钝角”，求离心率的

取值范围.

［解］由题意，知c＞b,:•心＞抉.

/1

又序=居一02,/.c2＞6F2—C2,即2c2＞层・・.e2=u＞］,

...e＞乎.故椭圆的离心率的取值范围为俘，1).

厂.......规律G方法.........一

求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知a,c可直接利用e=(求解.若已知a,b改b,c可借助于

a2="2+c2求出c或a,再代入公式e=(求解.

(2)方程法：若a,c的值不可求，则可根据条件建立a,b,c的齐次关系式，

借助于”2=〃+C2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两

边同除以。的最高次累，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.

迷堂知识夯实课堂小结。提素养叫婆直宓担赛…

匚整备素养

1.对椭圆几何性质的几点解释

(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁

平程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的

特殊点.若已知椭圆的标准方程，则根据a,。的值可确定其性质.

(2)如图所示，在△。为当中，a,b,c,e对应的线段或有关量为。=|尸2瓦|,b

c10尸2I

=|0及|,C=|0尸2|,£=一=|"屋=COSN。乃历.

111aIF2B2I

92

(3)若椭圆的标准方程为/+方=l(a>Q0),则椭圆与无轴的交点4,A2到焦

点尸2的距离分别为最大和最小，且|AE|=a+c,\A2F2\=a-c.

2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，

再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦

点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.

匚连以致用E

1.焦点在光轴上，右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭

圆的标准方程是()

A.，+:=1B.^+/=1

C.^+y=lD.f+：=l

A[依题意，得a=2,a+c=3,故c=l,。=啦匚7=小，故所求椭圆的

标准方程是,+]=1.]

2.已知实数1,机,9成等比数列，则椭圆\+y2=l的离心率为()

A［VI,-9成等比数列,"2=9.

即机=3或机=—3(舍)，这时02=3—1=2,即

离心率e=§=爰=#.故选A.

⑤焦点坐标分别为(0,6),(0,-6).］

r2v21

3.若焦点在y轴上的椭圆5+5=1的离心率为右则机的值为.

|［由题意知0＜加＜2,且e2=1—・=