新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测（二十七） 函数的零点与方程的解

课时跟踪检测(二十七)函数的零点与方程的解

A级——学考合格性考试达标练

1.函数八x)=2*2—3x+l的零点是()

A.——1B.1

C.—1D.—1

解析：选B方程lx?—3x+l=0的两根分别为xi=l,必=3，所以函数八x)=212—3x

+1的零点是/1.

2.函数y=y-bx+l有一个零点，则b的值为()

A.2B.-2

C.±2D.3

解析：选C因为函数有一个零点，所以/=y一4=0,所以b=±2.

3.若函数八x)的图象是一条连续不断的曲线，且#0)>0,川)>0,彤)<0,则》=%)有

唯一零点需满足的条件是()

A.43)<0

B.函数人x)在定义域内是增函数

C.#)>()

D.函数八x)在定义域内是减函数

解析：选D因为式1)>0,犬2)<0,所以函数/U)在区间(1,2)上一定有零点.若要保证

只有一个零点，则函数八x)在定义域内必须是减函数.

4.在下列区间中，函数<x)=e'+4x-3的零点所在的区间为()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C(。，3D.(1,1)

解析：选C因为A0)=e°-3<0,_/Q)=e2+2—3>0,所以函数的零点所在的区间为

(o,：),故选c.

5.若函数1x)=ox+l在区间(一1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是()

A.a>lB.a<\

C.av—1或D.-Ivavl

解析：选C函数式x)=ax+l在区间(一1,1)上存在一个零点，贝"八一1)哄1)<0,即(1

—

a)'(l+a)<0,解得a<—\或a>l9故选C.

6.函数八*)=(*-1)(/+3*—10)的零点有个.

解析：1)(一+3尤一10)

=(x-l)(x+5)(x-2),

,由式x)=0得x=—5或x=l或x=2.

答案：3

X2—X—1,x22或xW—L

7.若/(x)=q,.则函数g(x)=/U)—x的零点为________.

1,—

解析：由«r)=x,

x，2或xW—1,"l<x<2,

得

X2-x-l=xx=l,

解得X=l+也或X=l.

答案：L1+6

8.函数/U)=lnx+3x—2的零点个数是

解析：由«r)=lnx+3x-2=0,得加x=2-3x,设g(x)=lnx,

h(x)=2—3xf图象如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数人幻

=lnx+3x—2有一个零点.

答案：1

9.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.

(l)f(x)=—x2+2x—l；

(21AX)=X4-X2；

(3加>)=4*+5；

{41/(x)=log3(x+l).

解：(1)4--x2+2x—1=0,解得小=*2=1,

所以函数八%)=一*2+2工一1的零点为1.

(2)因为/(x)=x2(x-l)(x+l)=0,

所以x=0或x=l或x=—1,

故函数«r)=x4——的零点为0,-1和1.

(3)令4*+5=0,则4"=一5<0,

•.,4*>0恒成立，二方程4*+5=0无实数解.

所以函数犬x)=4'+5不存在零点.

(4)令k>g3(x+l)=0,解得x=0,

所以函数,/(x)=log3(x+l)的零点为0.

10.已知函数_/«)=2*—/，问方程式幻=0在区间［-1,0］内是否有解，为什么？

解：有解.因为八-1)=2-1一(―1)2=—T<。，

/(0)=20-02=1>0,

且函数的图象是连续曲线，所以八》)在区间［-1,0］内有零点，即方程Ax)

=0在区间［-1,0］内有解.

B级——面向全国卷高考高分练

1.函数Ax)=*3—4x的零点为()

A.(0,0),(2,0)B.(-2,0),(0,0),(2,0)

C.-2,0,2D.0,2

解析：选C令人x)=0,得x(x-2)(x+2)=(),解得丫=()或*=±2,故选C.

2.函数y=f+a存在零点，则a的取值范围是()

A.a>0B.aWO

C.心0D.a<0

解析：选B函数7=*2+。存在零点，则¥=一。有解，所以“W0.

3.函数人X)=QX2+Z»X+C,若川)>0,彤)<0,则人X)在(1,2)上的零点()

A.至多有一个B.有一个或两个

C.有且仅有一个D.一个也没有

解析：选C若a=0,则式x)=Z>x+c是一次函数，由式1)•八2)<0得零点只有一个；

若aWO,则式x)=ax2+〃x+c为二次函数，若<x)在(1,2)上有两个零点，则必有{1)叭2)>0,

与已知矛盾.故选C.

4.方程logN+x=3的解所在的区间为()

A.(0,2)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

2

解析：选C令/U)=k)gK+x-3,则大2)=k)g32+2-3=log3§V0,{3)=log33+3-3

=1>0,那么方程Iog3x+x=3的解所在的区间为(2,3).

5.函数/U)=|x—2|一Inx的零点的个数为.

解析：由题意知，函数大用的定义域为(0,+8),函数八”)在(0,y

2卜『*2|

+8)内的零点就是方程仅一2|一Inx=0的根.令yi=|x一刀，,2=加x

X(X>0),在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，由图知，两。|/。

个函数图象有两个交点，故方程•一2|一lnx=O有2个根，即对应函数有2个零点.

答案：2

6.已知函数人x)是定义域为R的奇函数，-2是它的一个零点，且在(()，+8)上是增

函数，则该函数有个零点，这几个零点的和等于.

解析：因为函数式x)是定义域为R的奇函数，且在(0,+8)上是增函数，所以式0)=0.

又因为人-2)=0,所以42)=一4-2)=0,故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.

答案：30

7.已知函数八*)=*2—Z>x+3.

(1)若八0)=/(4),求函数八丫)的零点.

(2)若函数Ax)一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围.

解：(1)由｛0)=44)得3=16—4b+3,即6=4,所以式x)=f-4x+3,令人x)=0即x2

—4x+3=0得孙=3,x2=l.

所以/(x)的零点是1和3.

(2)因为八丫)的零点一个大于1,另一个小于1,如图.

需/U)VO,即1一分+3V0,所以b>4.~5

故分的取值范围为(4,+°°).

C级——拓展探索性题目应用练

已知函数/(x)=1。8产+=一号.

2

(1)用单调性的定义证明：/U)在定义域上是单调函数；

(2)证明：Ax)有零点；

(3)设/(*)的零点X。落在区间岛，力内，求正整数”的值.

解：(1)证明：显然，人》)的定义域为(0,+8).

任取Xi,X2G(0,+°°),不妨设X1<X2,则祝-Xi>0,X1X2>O,则±一六=管j>0,

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