新教材高中数学第2章平面解析几何双曲线的标准方程导学案新人教B版选择性必修第一册

2.6双曲线及其方程

2.6.1双曲线的标准方程

固用附阑目国（教师独具内容）

课程标准：1.经历从具体问题情境抽象出双曲线模型的过程，掌握双曲线的定义和标准

方程.2.能利用双曲线的定义和标准方程分析解决有关问题.

学法指导：学习本节内容时，应注意以下几点：1.先通过动手试验得到双曲线模型的直

观图形，再通过“数”的精确描述来下定义；2.要善于运用类比来学习，即类比椭圆的定义

和标准方程，找出它们之间的联系和区别；3.体会数形结合思想方法在学习中的作用.

教学重点：双曲线的定义及标准方程.

教学难点：双曲线标准方程的推导.

核心概念.掌握

HEXINGAINIANZHANGWO

导学

一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在6处晚2S.已知A,6两地相距800m,

若此时的声速为340m/s,求炮弹爆炸点所在曲线的方程.

导学

知识点一双曲线的定义

一般地，如果6凡是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a回«出川，则平面

上满足厨|1阳一|小I=2a的动点户的轨迹称为双曲线,其中，两个定点A,K称为双曲

线的两焦点,两个焦点的距离出网称为双曲线的画焦星.

知识点二双曲线的标准方程

焦点位置焦点在X轴上焦点在y轴上

V<

图形T

2222

标准方程|电号一另=1(a>0,»0)102序一点=1(a>0,»0)

焦点坐标画上上G0)画也土C）

22Ii2

a,b,c的关系c—a+b

特别提醒：对双曲线标准方程中参数的理解

(1)在双曲线的标准方程中，c=a+l),c>a>0,其中c最大，a,6的大小关系可能为a

=b,a<b,a>b,其中a,b,c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”.

(2)方程中的两个参数a与b,确定双曲线的形状和大小，是双曲线的定型条件，焦点

K的位置，是双曲线的定位条件，它决定双曲线标准方程的类型.

(3)方程力3+放表示双曲线的充要条件：力优)0,且破0.若/6>0,则焦点在x轴

上；若〃<0,则焦点在y轴上.

拓展

1.双曲线的定义中应注意的三个问题

(1)注意定义中的条件2a〈出身不可缺少.若2a=归知，则动点的轨迹是以A或直为

端点的射线；若2a>出用，则动点的轨迹不存在.

(2)注意定义中的常数2a是小于出用且大于。的实数.若a=0,则动点的轨迹是线段

£4的中垂线.

(3)注意定义中的关键词“绝对值”.若去掉定义中的“绝对值”，则动点的轨迹只能是

双曲线的一支.

2.求双曲线标准方程的方法

(1)定义法：若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方

程，以减少运算量.

(2)待定系数法，其步骤为：

①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可

②设方程：根据上述判断设标准方程为当一春=1或与一・=l(a〉0,垃0)；

abab

③寻关系：根据已知条件列出关于a,b,c的方程组；

④得方程：解方程组代入所设方程即为所求.

3.方程/加+〃/=1(山水0)表示的曲线为双曲线，它包含焦点在x轴上和在y轴上两种

22

情形，方程变形为7X+亍V=1.

mn

,XV、

当必＞0,水0时，方程为"7——7=1表示焦点在X轴上的双曲线，此时a：

mn

当成0,n〉0时，方程为千一一-=1表示焦点在y轴上的双曲线，此时a—

nm

在求双曲线的标准方程时，若焦点的位置不确定，则常考虑上述设法.

温评价自测

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)在双曲线的标准方程中，a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c之间的关系相同.()

⑵点2(1,0),6(—1,0),^\AC\~\BC\=2,则点C的轨迹是双曲线.()

xy

(3)双曲线二一z=l的焦点在x轴上，且()

ab

(4)若点尸到定点A(—4,0),£(4,0)的距离的差的绝对值等于点功(1,2)到点M—3,一

1)的距离，则点〃的轨迹为双曲线.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)V

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)双曲线3—4/=1的焦距为.

22

(2)与双曲线了X一5V=1有相同焦点且过点尸(2,1)的双曲线的方程为.

Y2V2

⑶双曲线左一5=1上一点产到点⑸0)的距离为15,那么该点至!］(—5,0)的距离为

169

答案⑴事(2)y-y=l⑶23或7

形成

HEXINSUYANGXII

题型一双曲线的定义

X2V2

例1已知月是双曲线瓦一而=1上一点，Fi,凡是双曲线的两个焦点，且|阳|=17,求

I阳I的值.

22

［解］在双曲线三一£=i中，

6436

因为3=8,6=6,故c=10.

由尸是双曲线上一点，得||4|—|星|1=16.

所以I图1=1或I抬1=33.

又I—|>c—a=2,得|依|=33.

一［思推国皮未成反思感悟］-------------------

本题容易忽略I9|2c—a这一条件，而得出错误的结论|必|=1或|〃|=33.在双曲线

中，为什么有I咫|2c—a呢？事实上，设A分别为双曲线的左、右焦点，P点为双曲线

右支上的点，则由双曲线的定义可知|阳IT阳|=2a,即|阳|=|咫|+2a.又由三角形两

边之和大于第三边可知，|必|+|如|、出=2c(当且仅当尸在线段上时等号成立)，

二|必|+2a+|阳|22c,即|必|2c—a.

［跟踪训练1］已知方程左^+/=4,其中次为实数，对于不同范围的次值分别指出方

程所表示的曲线类型.

解①当4=0时，尸土2,表示两条与x轴平行的直线；

②当4=1时，方程为系+/=4,表示圆心在原点，半径为2的圆；

22

③当K0时，方程为全V一FX=l,表示焦点在y轴上的双曲线；

~k

22

YV

④当0<衣1时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆；

22

YV

⑤当4>1时，方程为了+^=1，表示焦点在P轴上的椭圆.

k

题型二双曲线的标准方程

例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：

(1)焦点在坐标轴上，且过《一2,阴，《乎，4)两点；

(2)两焦点为£(—5,0),用(5,0),且过点2；

22

［解］(1)解法一：当双曲线的焦点在X轴上时，设双曲线的标准方程为FY—SV=1(a>0,

ab

6〉0).

•.•点四"在双曲线上,

无解.

当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为

yx

(5>0,Z?>0).

ab

・・,点MN在双曲线上，

22

：.所求双曲线的标准方程为V小一X寸=1.

916

解法二：・・,双曲线的焦点位置不确定，

设双曲线的方程为族+刀/=1(山水0).

•・,点MN在双曲线上，则有

「1

4^+—77=1,"=一而

<解得《.

16।

77><7"+16〃=1,

Iy

•・•所求双曲线的标准方程为一会十尹1,

22

即上

(2)由已知可设双曲线的标准方程为

X2V2\

~—~a=1(5>0,6>0),

ab

代入点/呼，2)可得白―*=1，①

I2J4ab

又才+毋=25,②

由①②联立可得旨=9,炉=16,

•••双曲线的标准方程为点一三=1.

916

一［思推国皮未成反思感悟］-------------------

求双曲线标准方程的一般步骤

（1）定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能.

2222

（2）设方程：根据焦点位置，设方程为FX—£V=1或VJ—X0=l（a〉O,6〉0）,焦点不定时,

abab

也可设为mx+〃/=1（的〈0）.

（3）寻关系：根据已知条件列出关于a,b,c（m,M的方程组.

（4）得方程：解方程组，将a,b,c5,〃）代入所设方程即为所求.

［跟踪训练2］根据下列条件，求双曲线的标准方程：

（1）经过点彳3,吊，（一竽，5）；

⑵c=乖,经过点（一5,2）,焦点在x轴上.

22

解（1）解法一：若焦点在X轴上，设双曲线的标准方程为FX—%V=l（a>0,6>0）,

ab

由于点d3,爷和«一字5）在双曲线上，

’9225

7-16?=1,

所以25625无解•

vx

若焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为7一7=l（a>。，6>°）,

“2259

16才甘

将R0两点坐标分别代入可得<CL

25256

、才94

(3=3,

解得

6=4,

所以双曲线的标准方程为11rl.

22

综上,双曲线的标准方程%J=L

解法二：设双曲线的方程为族+力炉=1（即V0）.

22

所以双曲线的标准方程为上a=1.

⑵依题意可设双曲线的方程为

X2V2..

——~^=1(a>0,Z?>0).

ab

a+lj—Q,2_g

则有《254解得：/

--^7=1,/=1,

ab

所以双曲线的标准方程为三一/=1.

0

题型三双曲线定义的应用

Xy

例3如图，Fl,K是双曲线不一左=1的两个焦点.

9lb

⑴若双曲线上一点〃到它的一个焦点的距离等于16,求点〃到另一个焦点的距离;

(2)若户是双曲线左支上的点，且|阳|•|明|=32,试求程的面积.

［解］因为双曲线的标准方程为石一太=1,

91b

故a=3,6=4,c=«4+中=5.

⑴由双曲线的定义得II姐I—I磔II=2a=6,又双曲线上一点〃到它的一个焦点的距

离等于16,假设点〃到另一个焦点的距离等于x,则|16—x|=6,解得x=10或x=22.

由于c—a=5—3=2,10>2,22>2,故点〃到另一个焦点的距离为10或22.

⑵将II必IT冏I|=2a=6两边平方得

22

\PFl\+\PF2\-'Z\PFi\•\PF2\=36,

所以|掰「+|用「=36+2|历|•|初1=36+2X32=100.

在旌中，由余弦定理得

期|2+|—「一+四,

cos/F\PJ—2|/^i•\PF2\

100-100

=2|阳|•|咫1=°'

所以抬=90°,

所以a2T阳|•|/^|=1x32=16.

一［思碓品质未成人思感倍］--------------------

1.双曲线中的焦点三角形

双曲线上一点与双曲线的两个焦点构成的三角形称为焦点三角形，如本题中的△出凡

2.求双曲线中焦点三角形面积的方法

(1)方法一

①根据双曲线的定义求出U阳I-I必U=2a；

②利用余弦定理表示出I阳I，I9I，出期之间满足的关系式；

③通过配方，利用整体思想求出I阳I•|图I的值；

④利用公式必加凡='1|4I•|阳|sin”依求得面积.

⑵方法二：利用公式S△阴风=，氏&•|月|(方为户点的纵坐标)求得面积.

特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题时，要注意定义条件||阳|一|必|

=2a的变形使用，特别是与|历「+|行「，|阳|・1建|间的关系.

22

［跟踪训练3］(1)若方程—X+TV—^=1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数"的

5一勿m—1m—3

取值范围；

22

⑵双曲线3X一七V=1的两个焦点为凡点尸在双曲线上，若PFdPFz,求点尸的坐

916

标.

22

解(1)因为方程^—X+TV~-=1表示焦点在y轴上的双曲线，

5一7m—6

J5一冰0,pz?>5,

所以［勿2—2左一3〉0,即］力〉3或亦一1.

所以%>5.

所以实数力的取值范围是(5,+°°).

(2)由双曲线的方程知，3=3,6=4,c=5,不妨设点尸在第一象限，坐标为3,%),

依|一|必|=6,①

A为左焦点，笈为右焦点，那么《〔|।附［「2+।||阳广12=出|网12=］00,②O

由①得，(|附IT必1)2=36,

所以I阳「+|必|2—2|阳I.|"|=36,

所以I阳|•|必1=32.

在直角三角形所用中，|冏|•|用|=出£|•处=32,所以处，代入双曲线的方程

5

得，升=圭些，即点尸的坐标是俚五，£|,再根据双曲线的对称性得点尸的坐标还可以是

5<55y

（3^41竺］，何_竺）（3^/41_16^

C5'TJ'L5'5'~~5）'

题型四利用双曲线的定义求轨迹方程

例4如图，在△板中，已知|45|=4镜，且三内角4B,C满足2sin/+sinC=2sinH

建立适当的坐标系，求顶点。的轨迹方程，并指出它表示什么曲线.

［解］如图，以4?边所在的直线为x轴，4?的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平

面直角坐标系,

贝。/（一2低0）,5（2^2,0）.

由正弦定理得sin/=W，

\AC\\AB\

sin8=,sinC=.

Z/iZziQZ?

因为2sinZ+sinC=2sin6,

所以2|幽十|朋=2|47|,

即|/。一|理|=等.

从而有I"I-］出=，A3\=2y［2<\AB\.

所以由双曲线的定义知，点。的轨迹为双曲线的右支且不包括点（m，0）.

因为c—

所以Z?2=c2—才=6.

22

所以顶点。的轨迹方程为5一1=1J>/）.

故顶点。的轨迹为双曲线右支且除去点（、「，0）.

一［思傕国府未成反思感倍］--------------------

寻找动点。的约束条件很关键.解答本题应注意：

(1)将角的关系2sin/+sinC=2sin6转换为三角形边的关系|。|一|%|=曰/6|,然后联

想双曲线的定义使问题简化.

(2)不可忽视三角形的条件，由点4B,C不共线，除去特殊点.

［跟踪训练4］如图所示，已知定圆A：/+/+10JT+24=0,定圆用：(x■—5)2+y=42,

动圆〃与定圆K都外切，求动圆圆心〃的轨迹方程.

解•••圆E：(矛+5V+/=1,

圆心为1(一5,0),半径为=1.

...圆K：(^-5)2+/=42,

圆心为K(5,0),半径勿=4.

设动圆〃的半径为R,

则有I姐|=什1,|姐|="+4,

|觇|一|姐|=3〈出用=10,

〃点的轨迹是以£,K为焦点的双曲线的左支,

口3.如

_□.3=5,c=59•・6=2，

・••动圆圆心〃的轨迹方程为

4242=1&I).

F-9TZ

随堂水平.达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO

1.动点尸到点〃(1,0)的距离与到点M5,0)的距离之差为2a,则当a=l和a=2时，点

产的轨迹分别是()

A.双曲线和一条直线

B.双曲线和一条射线

C.双曲线的一支和一条射线

D.双曲线的一支和一条直线

答案c

解析由题意，知|阿=4,当a=l时，I掰一]M=2a=2<4,此时点P的轨迹是双

曲线的一支；当a=2时，|掰一|/W|=2a=4=|削，点尸的轨迹为以及为端点沿x轴向右

的一条射线.故选C.

2.若双曲线的一个焦点坐标为(0,-2),且经过点(3,2),则双曲线的标准方程为()

22

A.B.*―/=]

222

XXV

c.y?—可=1D.­=1

答案C

解析设尸(3,2),A(0,-2),K(0,2),贝鹏阳|=5,\PF2\=3,2a=|阳|一|阳|

=2,即a=l,又双曲线的焦点在y轴上，...该双曲线的标准方程为/—彳=1.

3.(多选)若椭圆或双曲线上存在点R使得点尸到两个焦点的距离之比为2：1,则称此

椭圆或双曲线存在“Q点”，下列曲线中存在“Q点”的是()

答案AD

解析不妨设曲线的焦点为&&假设I掰1=2|阳若是椭圆，则|掰|+|阳|=21阳|

AQ2a

+|〃|=3|〃|=2a,BP|/^|=y,\PF2\=--若是双曲线，则|M|T如|=2|格||咫|

=PF2=2a,即|RS|=4a,\PF2=2a.

可以验证，对于选项B,C,上述条件下的数量关系都不能保证构成三角形阳只有A,

22

D中的|阳|依田网能构成三角形.即存在“Q点”的曲线是木+]=1和V—y=1.

4.已知双曲线的两个焦点E(—4，0),用(南，0),尸是双曲线上一点，且两•旗=

0,\PR\•\PF.\=2,则双曲线的标准方程为.

答案[一4=1

22

解析由题意可设双曲线的方程为三一卷=1(a>0,6>0).由依•%=0得4s_L"

ab

2

根据勾股定理得I12=(2c)2,即I所12+I电12=20.又根据双曲线的定义有IPF\I-

PFX\+\PF2

|必|=±2劣两边平方并代入|依|・|咫|=2得20—2X2=4/,解得才=4,片=^一百=5

—4=1.所以所求双曲线的标准方程为了一/=1.

5.已知双曲线的两个焦点R,K之间的距离为26,双曲线上一点到两焦点的距离之差

的绝对值为24,求双曲线的方程.

解若以线段所在的直线为x轴，线段内月的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标

系，则双曲线的方程为标准形式.由题意得2a=24,2c=26.

所以a=12,c=13,Z>*2=132-122=25.

此时双曲线的焦点在x轴上，

22

双曲线的方程为值X一WV=L

J.rkrkNO

若以线段EK所在的直线为y轴，线段EK的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系.

此时双曲线的焦点在y轴上，

22

则双曲线的方程为£—六=1.

14425

课后课时,精练

KEHOUKESHIJINGLIAR

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.在方程//+〃/=〃中，若的〈0,则方程表示的曲线是（）

A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线

答案D

/n

解析方程可化为7+/=1,•••的<0,•••/（）....方程表示焦点在y轴上的双曲线.

m

22

2.已知方程X二一而V七=1表示的图形是双曲线，那么4的取值范围是（）

A.k>5B.A〉5或一2〈衣2

C.A〉2或衣一2D.一2〈衣2

答案B

22

解析由于方程7A7—常工=1只需满足（4—5）与（|初一2）同号，方程即能表示双曲

[k-5>0,[k-5〈0,

线，所以（4一5）（|加一2）〉0,即“或”“八解得次>5或-2〈K2.故选B.

11A|12/0[|k\—2\0,

3.若E,用是双曲线89一/=8的两焦点，点尸在该双曲线上，且△阳K是等腰三角

形，则△阳石的周长为（）

A.17B.16

C.20D.16或20

答案D

2

解析双曲线8x?—/=8化为标准方程为/一5=1,所以a=l,c=3,|凡知=2c=6.

O

因为点尸在该双曲线上，且△阳氏是等腰三角形，所以|所|=出知=6或|〃|=出川=6,

不妨设I图|>|咫I，当|阳|=6时，根据双曲线的定义有|阳|=|"|—2a=6—2=4,所以

△阳"的周长为6+6+4=16；同理当|必|=6时，△9A的周长为6+6+8=20.故选D.

22

4.已知双曲线上一3=1,直线/过其左焦点交双曲线左支于46两点，且|/血=

m7

4,用为双曲线的右焦点，△/朋的周长为20,则卬的值为（）

A.8B.9

C.16D.20

答案B

解析由己知，得|/引+|/川+|期|=20.又|初=4,则|/四+|期|=16.根据双曲

线的定义，知2a=|力网—|阳|=|即|一|班所以4a=|/知+|朋|一（|/川+|班|）=

16—4=12,即a=3,所以勿=@2=9.

5.（多选）若a6#0,则ax-y+b=Q和加+a/=a6所表示的曲线可能是下图中的（）

答案CD

X2V2-

解析方程可化为y=ax+6和一+7=1.从选项B,D中的两个椭圆看，a,（0,+

aD

8）,但由B中直线可知a<0,6〈0,矛盾，故B错误；由D中直线可知a〉0,6〉0,故D正确.由

A中双曲线可知a<0,30,但直线中a〉0,6>0,矛盾，故A错误.由C中的双曲线可知a〉0,

b<0,和直线中a>0,6〈0一致，故C正确.故选CD.

二、填空题

6.已知双曲线的两个焦点£（一亚，0）,E阪,0）,〃是此双曲线上的一点，且就•前2

=0,|茄［"|病|=2,则该双曲线的标准方程是.

2

答案f-y=i

解析,:施•施=3:.施工赢,A|j^|2+|^|2=40.V||^|-|^||=2a,|茄

2

I•|^|=20-2a2=2,.-.a2=9,百=1,.•.所求双曲线的标准方程为千一/=L

y

ZZ1

7.已知双曲线上一点户到人3,0)的距离为6,。为坐标原点，若力=5凝+或

则I痴I的值为.

答案1或5

解析如图，当P在右支上时，尸(3,0)是右焦点，月(一3,0)是左焦点，阳］一|加|

=2a=4,

二|阳|=10.

-：0Q=^(dP+0h,

为件的中点，

则|应=.掰1=5.

当户在左支上时，同理可得|。0|=1.

综上所述，答案为1或5.

222

8.已知椭圆卷+千=1和双曲线卷一/=1的公共焦点为A,F2,尸是两曲线的一个交点,

623

那么cos/A在的值是,△£在的面积为.

1

案3-

解析不妨设点尸在第一象限，E,K分别为左、右焦点，因为尸在椭圆上，所以|阳

十|必|=2■.又户在双曲线上，所以|阳|一|咫|=2镉，两式联立，

得|4||%|=加一，5.又IA£|=4,根据余弦定理可以求得cosNA形=

1

3-

Sin5=^m^,

所以$△£!分2=!阳||必IsinNE必=*.

三、解答题

9.已知椭圆/+2/=32的左、右两个焦点分别为月，K,动点户满足|所I—|掰1=4.

求动点P的轨迹£的方程.

22

解椭圆的方程可化为X.+£V=1,

3216

所以阪&=2c=2^32—16=8,

又因为I阳IT阳|=4<8.

所以动点户的轨迹£是以月(一4,0),用(4,0)为焦点，

2a=4,a=2的双曲线的右支，

由a=2,