高考数学二轮复习 第二部分 突破热点 分层教学 专项二 三 1 第1讲 等差数列与等比数列学案-人教版高三全册数学学案

第1讲等差数列与等比数列

居搞图册

年份卷别考查内容及考题位置命题分析

等差数列基本量的计算•T4a”与s关系

卷I等差数列、等比数列

的应用«Tu

的判定及其通项公式在考

2018等差数列基本量的计算、和的最值问

卷II查基本运算、基本概念的

题•Tn

同时，也注重对函数与方

卷in等比数列基本量的计算•T17

程、等价转化、分类讨论

卷I等差数列的通项公式、前n项和公式•T4

等数学思想的考查；对等

等比数列的概念、前〃项和公式、数学文

卷II差数列、等比数列的性质

化•T3

2017考查主要是求解数列的等

等差数列的前〃项和公式、通项公式及等

差中项、等比中项、通项

卷m比中项•T9

公式和前〃项和的最大、

等比数列的通项公式•T14

最小值等问题，主要是中

等差数列的基本运算•Ta等比数列的运

2016卷I低档题.

算•加

等差、等比数列的基本运算（基础型）

n通项公式

等差数列：a„=ai+（7J—1）

等比数列:劣=&-q~\

分求和公式

—廿皿天，「n(ai+a〃),n(〃一1),

等差数列：Sn=----2----="&+----2----出

八a(1—(j7')ai—a„q,，-、

等比数列：S„=-----=-_.

1—<71—<7

阴性质

X等差数列等比数列

性质若m,n,p,0£N*,且加+刀=4+Q,则为+若m,p,°£N*,且〃+〃=0+0,

3.n=%+劣则a，m•Qn=Qp,a1?

_n-m

&=3+(77—4d2=^mQ

Sm,S2m—Sm,Sim—&m9…仍成等比数

Sm,S2m-Sm,S必，…仍成等差数歹（J

列(SWO)

［考法全练］

1.（2018•贵阳模拟）设等差数列｛aj的前〃项和为S,若a=2as,则彳=（）

<->5

11n5__

A-T22

1122

—

ioD-T

,工、生万（&+如）1U22

解析：选D.—~—~—故选D.

%55&5

］（既十位）

2.（2018•高考全国卷I）记S为等差数列｛a｝的前刀项和.若3&=S+£,&=2,则

为=（）

A.-12B.-10

C.10D.12

9XZ9

解析：选B.设等差数列｛4｝的公差为4因为3W=S+S,所以3（3"+丁中=2&+

4X33

d+4a+2d,解得"=一,为,因为4=2,所以"=一3,所以a=a+4d=2+4X（—3）

=-10.故选B.

3.（2018•郑州模拟）等比数列｛&｝的前n项和为S,若对任意的正整数n,S+2=4S

+3恒成立，则国的值为（）

A.-3B.1

C.—3或1D.1或3

解析：选C.设等比数列｛a｝的公比为0,当,=1时，Sn+2=（T?+2）ax,Sn=nai,由S+2

=4S+3得，（〃+2）4=4刀&+3,即3a1〃=24—3,若对任意的正整数〃，3@〃=24一3恒

成立，则包=0且2a一3=0,矛盾，所以‘W1,

所以—「,$一（「"）

1—Q1—（7

代入S+2=4S+3并化简得2（4—/）/=3+34一30,若对任意的正整数刀该等式恒成

仲一/=0,@=1,Qx——3，

立,则有I解得或故&=1或一3,故选C.

[3+3ai—3(7=0,。=2q=-2,

4.（2018•南宁模拟）在等比数列｛4｝中，/a=16,a+为=8,则一=________.

510

解析：法一：设等比数列｛&｝的公比为0,由aa=16得■,6=16,所以国/=±4.由

a+a=8,得&/（1+°4）=8,即1+/=±2,所以/=1.于是强=。1°=1.

句。

法二：由等比数列的性质，得益=&a=16,所以&=±4,又a+徐=8,

（a=4,\QA=-4,14=4,

所以｛,或｛,c因为法=&a＞0，所以＜｛,则公比＜7满足＜7=1,＜7=1，

［a=4［劣=12.［备=4,

所以21.

答案：1

5.（2018•高考全国卷DI）等比数列｛&｝中,S1=1,a5=4a3.

（1）求｛2｝的通项公式；

⑵记S为｛a.｝的前〃项和.若&=63,求应

解：⑴设回｝的公比为0,由题设得当=（?-

由已知得"=4/

解得＜7=0（舍去），g=-2或g=2.

故a„=（一2尸或a〃=2"T.

（2）若为=（一2）"T,则S"=一三——.

O

由5=63得（一2尸=—188,此方程没有正整数解.

若为=2*）则S=2T

由£=63得2必=64,解得力=6.

综上，777=6.

考点㈡

等差、等比数列的判定与证明（综合型）

证明数列匕“｝是等差数列或等比数列的方法

（1）证明数列｛aj是等差数列的两种基本方法：

①利用定义，证明a,+i—a15GN*）为一常数；

②利用等差中项，即证明2a=2一1+为+1（〃22）.

(2)证明｛aj是等比数列的两种基本方法：

①利用定义，证明—(〃GN*)为一常数；

②利用等比中项，即证明14+i(〃22).

［典型例题］

穗m设S为数列｛a｝的前刀项和，对任意的〃£N*,都有s=2—品，数列｛4｝满足人

=22,bn=12］(启2,刀WN*).

1Ibn-l

(1)求证：数列｛a｝是等比数列，并求｛aj的通项公式；

(2)判断数列｛；｝是等差数列还是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式.

Dn

【解】(1)当刀=1时，ai=S；=2—ai,解得囱=1；

a~1

当〃22时，a=S—Sn-i—a-\—a,即~〃金N*).

nnnn5/7—1N

所以数列｛aj是首项为1,公比为1的等比数列，

故数列｛a｝的通项公式为％=出”\

(2)因为ai=l,

所以bi=2ai=2.

因为4=击」，

所以4=4+1,

DnDn-1

即《一4=1522).

DnDn-1

所以数列方是首项为也公差为1的等差数列.

所以!=9+5-1)・1=包"，故数列｛口的通项公式为

bn222〃一1

判断(证明)等差(比)数列应注意的问题

(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他

方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是〃的一次函数，但最后还得使

用定义才能说明其为等差数列.

(2)证明数列｛aj为等比数列时，不能仅仅证明为+】=□&,还要说明&"0,才能递推得

出数列中的各项均不为零，最后断定数列｛2｝为等比数列.

［对点训练］

记S为等比数列｛aj的前A项和，已知S=2,S=—6.

(1)求｛a｝的通项公式；

(2)求S,并判断S+”S,S+2是否成等差数列.

解：(1)设匕〃｝的公比为q.由题设可得

Jai(1+<7)=2,

\ai(1+q+q)=­6.

解得<7=—2,3i=—2.

故｛&>｝的通项公式为&=(-2)：

(2)由(1)可得=-1+(―1)

1—(733

4„2〃+3_2"+22„2〃+i

由于S+2+S+l=—鼻+(-1)^-------=2［—~+(―=2Sn,故S+l,Sn,S+2成

oOOO

等差数列.

考点㈢

S,关系的应用(综合型)

n数列｛a｝中，a〃与S的关系

J5i,n-\,

an—\、

⑸一S-i,A22.

&求数列通项的常用方法

(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.

(2)在已知数列｛a｝中，满足a〃+L4=f®,且f(l)+f(2)+…+?(〃)可求,则可用

累加法求数列的通项为.

(3)在已知数列｛a“｝中，满足2=f(〃)，且/(I)-A2)..../'(a)可求，则可用累乘

«3/7

法求数列的通项a〃.

(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).

［典型例题］

圆口(1)(2018•合肥第一次质量检测)己知数列｛&>｝的前〃项和为S,若3s=2a“一3〃,

则&018=)

C.

⑵(2018•福州模拟)已知数列｛a｝中,51—1,a2=2,2+1=3a-2a—1(〃22,z?eN*).设

=

bna+1-Q-n.

①证明：数列｛4｝是等比数列；

②设。"=(4/A)2”求数列｛以｝的前〃项和8

【解】(1)选A.因为a=S,所以3aI=3S=2H—3今&=一3.

当刀22时，3s=24一3刀，3S-I=2AT—3(〃一1),所以为=-2an-\—3,即2+1=一

2(为一+1),所以数列｛”+1｝是以-2为首项，一2为公比的等比数列.

所以^+1=(-2)X(―2)小=(—2)〃，

则.018=22oi8_k

(2)①证明：因为2+i=3a”一2a一1(/?22,〃£N*),bn—dn+\—4，

LLIJA+Ia+2-a+i(3&+1-2&)-&+i2(a+i—a)小

所以丁=--------=-------------------=------------=2,

bnan+\—anan+\-a,nan+i-a,n

又从=&—2=2—1=1,

所以数列｛4｝是以1为首项，以2为公比的等比数歹U.

②由①知4=1X2”T=2”T,

因为以=(4〃211)2"'

1111

所以以=2(2〃+1)(2〃-1)=〃2〃一厂2〃+J'

所以S=c+c2H---Fcn

1z111

/

1十11

-4-n1-3-3--5-

\2/7-12/7+1

=茅n

2刀+14〃+2.

冽倒血肉

(1)给出S与a的递推关系求”的常用思路：一是利用S—S-1=a(〃22)转化为劣的

递推关系，再求其通项公式；二是转化为S的递推关系，先求出S与〃之间的关系，再求

an.

（2）形如为+i=pa"+gGpWl,q=0）,可构造一个新的等比数列.

［对点训练］

31

（2018•贵阳模拟）已知数列｛aj的前〃项和为S,且满足Sn=~a--,a=l.

⑴求数列｛aj的通项公式；

⑵若b„=--------二------，求数列伍｝的前n项和Tn.

10g3a+1*10g3a+2

31

解：（1）由已知Sn=-an—^@9

31

得S—1=54—1一］（刀22）②，

33

①一②得为=52一5a-1,即a=3为一1（〃22）,

又a=1,所以数列｛a｝是以1为首项，3为公比的等比数列，故

（2）由（1）知bn=Z_I［、=|［，

n（77+1）nn-rl

11.11..111n

所以TT

7L=1—72+2—3--nn-r1n~\~1n~v1

所以T—I.

nn+1

数列与新定义相交汇问题（创新型）

［典型例题］

圆旬（2018•武汉调研）对任一实数序列/=（国,az,a3,…），定义新序列//=（。2

~ar,a&—&,念，…），它的第〃项为a+1-a.假定序列d（//）的所有项都是1,且

<312=己22=0,贝!J3,2=.

【解析】令bn=an+\—an,依题意知数列｛4｝为等差数列，且公差为1,

所以bn=bi+（77—1）XI,

石1=石1，

3,2-ai=bi,

色一@2=也,

B，n-&］一1=bn-l，

:

累力口得a„=ai-\-bi-\---F4-i=ai+(〃-1)4+------:-----二—=(z?-l)a2—(/?—2)ai

।(〃一1)(〃一2)

+2'

分别令〃=12,〃=22,

flla2-10ai+55=0,

得

［21a2—2031+210=0,

231

解得a1=2，a2=100.

【答案】100

圈圈翳圈

数列新定义型创新题的一般解题思路

(1)阅读审清“新定义”.

(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识.

⑶利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论.

［对点训练］

在数列｛aj中，〃GN*,若*—为常数),则称｛&｝为“等差比数列”，下列

a„+i—an

是对“等差比数列”的判断：

①k不可能为0；

②等差数列一定是“等差比数列”；

③等比数列一定是“等差比数列”；

④“等差比数列”中可以有无数项为0.

其中所有正确判断的序号是,

解析：由等差比数列的定义可知，左不为0,所以①正确，当等差数列的公差为0,即

等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当｛aj是等比数列，且公比

°=1时，｛aj不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1,…是等差比数列，该数列

中有无数多个0,所以④正确.

答案：①④

■■■专题强化训练■■■I

一、选择题

1.已知等差数列｛a｝的前刀项和为S,且&・戊=12,功=0.若%>0,则So=()

A.420B.340

C.-420D.-340

解析：选D.设数列｛a｝的公差为d,贝!Ja3=改~\~d=d,氏=&~\~3d=3d,由&•金=12

2Qx19

得〃=±2,由&>0,/=0,可知水0,所以"=—2,所以劭=2,故£o=2OX2+--—X

(-2)=-340,故选D.

2.（2018・益阳、湘潭调研）己知等比数列㈤中,as=3,&&=45,则三的值为（）

A.3B.5

C.9D.25

解析：选D.设等比数列｛a｝的公比为0,则84&=弓,a/=9。=45,所以0=5,

念。2—aiq2

—7—25.故选D.

含一以

3.(一^题多解)已知S是数列｛a｝的前刀项和，且S+i=S+&+3,a+与=23,则S8

=()

A.72B.88

C.92D.98

解析：选C.法一：由S+i=S+&+3得2+1—a=3,则数列｛a｝是公差为3的等差数

8X7

列，又为+a=23=2d+7d=2d+21,所以2=1,&=8a+——d=92.

法二：由S+i=S+&+3得品+i—品=3,则数列｛2｝是公差为3的等差数列，S&=

8（&+88）8（2+含）”

----2----=-----2----=92.

4.已知数列3｝是等比数列，数列㈤是等差数列，若a•a•胡=—34，A+瓜+

611=7兀，贝ijtan一+一的值是（）

1—&•我

B.-1

D.小

解析：选A.依题意得，H，347%所以卡―人号，所以篙勺

2k7兀故tan产"=tan(—沿=tan]—2-《■)=—tang

故选

1一溪31—54•备<37\3)3

A.

5.（2018•长春质量检测（一））等差数列｛4｝中,已知|戊|=|m|,且公差小0,则其前

n项和取最小值时n的值为（）

A.6B.7

C.8D.9

解析：选C.由心0可得等差数列｛劣｝是递增数列，又|为|=|加所以一为=石山即一

团-5d=a+10d,所以为=一则为=—*0,39=1>0,所以前8项和为前〃项和的最

小值，故选C.

6.对于数列｛aj,定义数列｛&+i—a〃｝为数列｛aj的“差数列"，若&=2,数列｛a〃｝的

“差数列”的通项公式为a+—a〃=2〃，则数列｛a｝的前〃项和S=()

A.2B.2"

C.2"+1—2D.2"1—2

解析：选C.因为a〃+i—a=2",所以品=(为一为-i)+(2-1—a-2)H---F(/—&)+&=

2一2"9一2""

2〃T+2"-2---1-22+2+2=-~~^+2=2"—2+2=2",所以S„=~~—=2"+1-2,

H1—21一乙

二、填空题

7.（一题多解）（2018•高考全国卷I）记S为数列｛aj的前n项和.若S=2a〃+1,则

&=.

解析：法一：因为S=2z+1,所以当77=1时，.91=2^1+1,解得a=-1;

当〃=2时，&+/=2/+1,解得功=-2；

当了=3时，4+@+a=2&+1,解得a=一4；

当〃=4时，&+/+&+a=2&+1,解得a=一8；

当〃=5时，&+〃2+&+&+a=2&+1,解得a=一16；

当〃=6时，&+&+&+a+&+a=2为+1,解得%=—32；

所以5=-1-2-4-8-16-32=-63.

法二：因为S=2a+1,所以当刀=1时，刈=281+1,解得&=一1,当时，an=

S—S-1=2a+1—（2&-1+1）,所以a=2%—1,所以数列｛a｝是以一1为首项，2为公比的等

一ix（］一o6\

比数列，所以a〃=-2"一1所以&=———~-=-63.

1-乙

答案：一63

8.（2018•惠州第二次调研）已知数列｛aj满足&=1,a〃+L2a〃=2〃（AGN*）,则数列｛a｝

的通项公式为=.

解析：a〃+L2al=2〃两边同除以2叫可得萧一年=4，又所以数歹限是以1为

乙乙乙乙乙［乙I乙

1O11

首项，5为公差的等差数列，所以居寿+(〃T)W=n*所以4—可蓝

乙乙乙乙乙

答案：n-271-1

9.设某数列的前〃项和为S,若萼为常数，则称该数列为“和谐数列”.若一个首项

为1,公差为小后0)的等差数列｛aj为“和谐数列”，则该等差数列的公差d=

解析：由券="("为常数)，且为=1,得1)d=/2〃+：X2A(2〃-1)d,即

O2nZ/

2+5—l)d=44+2瓜2〃一1)4整理得，(4A—1)办+(24—1)(2—初=0,因为对任意正整

数〃，上式恒成立，

2=2,

\d(44—1)=0,得7,1

所以

(24—1)(2—d)=0,

所以数列｛a｝的公差为2.

答案：2

三、解答题

10