高中数学-曲边梯形的面积教学设计学情分析教材分析课后反思

曲边梯形的面积课标分析

一、本课数学内容的本质、地位与作用

本节课选自人教A版选修2-2第一章第五节定积分概念的第一课时，是新课程增加内容之一,

课程标准要求我们通过实例（如曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分

的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想。作为定积分的前奏曲，它将为后面学习

定积分概念及其几何意义奠定基础。

二、本课内容的承前启后、与其它知识内容的联系

前面，已经学习了导数的基础知识，并且用导数解决了一些实际问题，如已知位移求速

度，曲线的切线问题，函数的最大或最小值问题。然而，同时还存在一些问题尚未解决，如

已知速度关于时间的函数，如何求路程，及如何求常见平面图形的面积、体积等问题。这些

问题，正是定积分诞生的重要原因。学生在学习了导数的概念之后，对于“以直代曲”的思

想也已有了浅显的认识，对于将曲线的微小片段看成线段，从而将曲线近似地看成折线，用

研究直线的方法来研究曲线，这样的研究方法也是学生比较容易接受的。并且学生对更有实

际意义的曲边梯形面积有着积极的学习态度和强烈的求知欲。

教材借助于求曲边梯形的面积这一直观具体的实例来引入到定积分的学习中，使学生了

解定积分的实际背景，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了抛

砖引玉的铺垫作用。求曲边梯形面积的过程中蕴涵、渗透定积分的基本思想方法，贯穿于整

个定积分学习的始终。能够让学生充分感受用极限的思想方法思考与处理问题。

三、本课内容与其它学科的联系及应用

本课内容与其它学科的联系及应用主要体现在物理学中，如求变速运动的位移或路程问

题。如果建立了速度与时间的函数关系，就可以在坐标系中做出v-t图象，在图象上截取一

个时间段，这样就把求路程或位移问题转化成了一个求曲边图形的面积问题。事实上，在研

究运动物体的瞬时速度的时候，所采取的用平均速度代替瞬时速度的做法，也正是求曲边梯

形的面积中的“无限分割、近似代替”思想的具体体现。

教材分析

一、【教材的地位和作用】

曲边梯形面积的求解方法“以直代曲”是微积分中重要的思想方法,贯穿整个微积分的始终。

求曲边梯形面积是定积分概念的引例和重要铺垫，借助这一实例让学生初步感受定积分的定

义，了解定积分的实际背景，为理解其概念及几何意义奠定基础。

二、【教学目标】

知识与技能目标：

(1)了解定积分概念的实际背景。

(2)初步掌握求曲边梯形面积的一般步骤。

过程与方法目标：

(1)通过将曲线微小片段中的“曲”看作“直”，体会以直代曲的思想。

(2)通过类比求圆面积的过程，体会有限代无限及无限逼近的极限思想。

情感、态度与价值观目标：

(1)通过复习刘徽的割圆术，增强学生的民族自豪感。

(2)通过探索求曲边梯形面积的过程，体会“以直代曲”，“逼近”的思想，体验和认同“有

限和无限对立统一”的辩证观点，理解用极限的思想方法思考与处理问题。

三、【教学重、难点】

教学重点：

了解定积分的基本思想方法一一“以直代曲”、“逼近”的思想。初步掌握求曲边梯形

面积的“四步曲”一一“分割、以直代曲、求和、取极限”。

教学难点：

“以直代曲"、逼近”思想的形成过程。

学情分析

学生在学习了导数的概念之后，对于“以直代曲”的思想也已有了浅显的认识，对于将

曲线的微小片段看成线段，从而将曲线近似地看成折线，用研究直线的方法来研究曲线，这

样的研究方法也是学生比较容易接受的。并且学生对更有实际意义的曲边梯形面积有着积极

的学习态度和强烈的求知欲。

曲边梯形的面积教学设计

教学课题曲边梯形的面积

一、知识与技能：

1.了解曲边梯形的概念并弄清研究曲边梯形的必要性

2.理解“以直代曲”的思想，并掌握曲边梯形的面积的求法

3.理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想

方法.

二、过程与方法：

课标要求1.在求曲边梯形面积的过程中，通过“分割一一近似代替一一求和一一取极限”的方

法转化为求小矩形的面积的和

2.通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。通过类比体会从具

体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法

三、情感态度与价值观：

培养学生的转化的思想方法和以直代曲的思想方法；体验和认同“有限和无限对立统

一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

知层次

知识,

识记理解应用综合

知识点1

曲边梯形的V

概念

知识点2

“以直代曲”V

的意义

知识点3

求曲面梯形的V

一般步骤

1.经历求曲面梯形面积的形成过程，了解定积分概念的实际背景。

目标设计2.理解''以直代曲”的意义

3.理解求曲边梯形面积的四个步骤；

4.了解“近似代替”时取点的任意性。

情境一：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。多数是规则的平面图形，但现

实生活中更多的需要我们关注的是一些曲边图形。例如：这样的图形的面积该怎样计算？

情境二.对我们来说，最基本最奇妙的曲边图形是什么？（师问）意图：①引出案例，②激

发学生兴趣

早在三国时代我国数学家刘徽就已经提出了著名的割圆术，以直代曲把圆的面积用其内接正

n边形的面积来计算，提出以直代曲无限逼近的思想。

割圆术介绍：刘徽在《九章算术》注中讲到

“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”一一刘

徽

当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积

这节课我们就通过求曲边图形的面积来体会曲直转化的思想。（同时课件展示曲边图形并给

出定义）

可以发现，它的形状类似于一个梯形，但有一边是曲线广/⑴的一段。那它叫什么图形呢？

教师引导揭示曲边梯形的概念：把由直线％=4"=仇"例,尸0和曲线产网所围成的图形称

为曲边梯形.

小范围观察曲边上一点及其附近图示、------/

我们可以用这条直线工来代替点尸附近的曲线，也就是说：在点尸附近，曲线可以看作直

线（即在很小范围内以直代曲）.

例1：对于由y=d与x轴及x=l所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯

形的特殊情况）

问题1：能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？

思路:为了计算曲边三角形的面积S,将它分割成许多小曲边梯形.

（把区间［0,1］分成许多个小区间，进而把曲边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯

形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的

近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值.）

学生探究：以上所提思路的具体操作步骤是怎样的？能给出实施方案吗？

对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下几种

方案“以直代曲”.（教师引导学生分组讨论并回答）

确定出三种方案。用方案一解决本题。

问题2：怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？还需要对每个小曲边梯形做怎样的处

理？

特别帮助：产+22+32+….+〃2〃(〃+1)(2〃+1)

6

问题1：分割区间时是不是随便怎么分都行？（不是，为了便于处理，采取等分的方式）

问题2：用分割好的每个小区间的哪个端点的函数值作为小矩形的高较好？即用哪个小矩形

,,y

近似代替比较好？如果不是在区间的两个端点取，而是在每一个区间中间取任意一点作I为高,

会

有怎样的结果?

问题3：是不是分割越细，面积的近似值就越精确？

情境三：以方案二求例1曲边梯形面积（学生完成）提问

可以想象方案三的同样结果。

总结：求曲边梯形面积的四个步骤:

第一步：分割.在区间［。，句中任意插入1各分点，将它们等分成〃个小区间［西_］,%］

（z=l,2,•••,«）,区间［%_［,玉］的长度Ax,.=七一七_］；

第二步：近似代替，“以直代取用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小

曲边梯形面积的近似值；

第三步：求和；

第四步：取极限.

变式：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x?所围成的曲边梯形的面积。

(意图：巩固强化曲边梯形的面积的基本求法四步，便于解决拓展)

拓展提高：求由曲线y=%2(%之0)与直线y=4、y车由所围成的图形的面积。

(用变式结论解决)

课堂练习

1.当〃很大时，函数/'(X)—在区间「匕上的值可以用近似代替。

_nn_

A/d)C./(-)D./(0)

nnn

2.在“近似代替”中，函数f(x)在区间二的近似值等于()

A.只能是左端点的函数值

B.只能是右端点的函数值

C.可以是该区间内任一点的函数值

D.以上答案均不正确

小结:求由曲线尸/tv)对应的曲边梯形面积的方法

学生回答①求曲边梯形面积的四个步骤；

②以直代曲、无限逼近思想

曲边梯形的面积

【课程标准】

♦了解求曲边梯形的面积，了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.

【学习目标】

♦了解求曲边梯形的面积的方法.

❖了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.

【自主学习】

❖1.什么是连续函数？

♦2.如图1,给出曲边梯形的定义

♦：♦3.如图2,求曲边梯形的面积的方法是什么？分为哪几步？

♦4.求和时常用的结论

(1)12+22+32+…+〃2=_L(+1)(2〃+1)

6

(2))+23+33+…/=几“及+1)2

4

【典型例题】

例.求直线40、％=1、y=0及曲线y=/所围成的图形(曲边三角形)面

积s。

【拓展提高】：

求由曲线y=>0)与直线y=4、y轴所围成的图形的面积。

【课堂练习】

1.当〃很大时，函数/'(x)=f在区间3’上的值可以用近似代替。

nn_

A/d)B.f&C./(-)a/(0)

nnn

2.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[%，%+]]h的近似值等于()

A.只能是左端点的函数值

B.只能是右端点的函数值

C.可以是该区间内任一点的函数值

D.以上答案均不正确

我的收获：___________________________________________________________

我的困惑：___________________________________________________________

教学效果分析

本节课通过情境创设、割圆术的动态演示以及三种方案的动态演示，已经充分激起了学

生的学习兴趣和求知欲望，定能充分调动学生的学习积极性，从而提高学生的学习效率；通

过分组探究，合作交流，使每个学生都能够变被动学习为主动学习。

但是由于采用的分组探究，合作交流，把任务交给了学习小组，可能会有部分基础差的

同学跟不上节奏，所以需要每个小组课下落实到个人。

观评课记录

为了贯彻执行新课改，本节课教学时大胆尝试新的、高效的教学模式。本节课的教学主

要特点如下：

一、数学课堂生活化

通过问题情境，体现数学源于生活又服务于生活的学科魅力，让学生体会到数学就在我

们身边。

二、分组探究，创建高效课堂

通过分组探究，上台展示，充分调动了学生主动学习的积极性，使学生真正成为学习的

主人。

三、适当利用信息技术，使学生“看”到数学的本质

对本节内容中比较抽象的几个问题，借助信息技术进行演示，使学生亲眼“看”到了无

限逼近的过程，使学生“看”到了“刨光磨平”的逼近思想。

教学反思

本节课的核心是求曲边梯形的面积，而本节课的重点却不是求解曲边梯形面积的具体过

程，而是解决该问题的思想方法，这也正是本节课的难点所在。

在教学过程中，以下几个方面可能会成为学习本节课的障碍以及处理方法：

定义曲边梯形的图形与例题中的图形差别比较大，学生不易接受

教材中的两个图形：

教学中设计的图形:

这样处理，可能更有利于学生接受，更能体现数学的和谐之美。

2.“以直代曲”和“无限逼近”思想的形成过程

为了使学生重新感知这两种思想，教学中借助多媒体动态演示割圆术，激活学生的思维。

3.求和符号的使用

在实际教学中发现，教材中是先出现了求和符号，然后又展开计算的，而易于学生接受的方

法是先列出式子，然后利用求和符号简记。教材中是这样的：

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