2023-2024学年广东省佛山市南海一中高二（下）段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省佛山市南海一中高二（下）段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=−11，SA.−4 B.−2 C.2 D.42.已知随机变量Y=3X+2，且D(Y)=18，则D(X)=(

)A.2 B.4 C.6 D.83.如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上按顺时针方向绕点O匀速转动(转动角度不超过90°时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是(

)A.

B.

C.

D.4.已知非零实数a，b，c不全相等，则下列结论正确的是(

)A.若a，b，c成等差数列，则1a,1b,1c构成等差数列

B.若a，b，c成等比数列，则2a，2b，2c构成等差数列

C.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c构成等比数列

D.5.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为1%，第2，3台加工的次品率均为2%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.任取一个零件，则它是次品的概率为(

)A.0.0175 B.0.017 C.0.0145 D.0.0146.某市2018年至2022年新能源汽车年销量y(单位：千台)与年份代号x的数据如下表：年份2019202020212022年份代号x1234年销量y1520m35若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为y=7x+7.5，则表中m的值为A.25 B.28 C.30 D.327.若函数f(x)=x22−4lnx在区间(m,m+1)上不单调，则实数mA.(0,1) B.[1,2] C.(1,2) D.(2,+∞)8.已知0<a<5且a2ln5=25lna，0<b<4且b2ln2=8lnb，0<c<3且cA.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.a>c>b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区，则下列说法正确的是(

)A.若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法

B.若恰有一个区无人去，则共有36种不同的安排方法

C.若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有18种不同的安排方法

D.若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有16种不同的安排方法10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左到右的数字之和记为an，如a1=1+1=2，a2=1+2+1=4，…，{an}A.在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120

B.S9=2046

C.在“杨辉三角”中，从第2行开始到第n行，每一行从左到右的第3个数字之和为Cn3

D.{11.已知函数f(x)=(x−1)lnx−x−1，则下列结论正确的是(

)A.函数f(x)在x=1处的切线方程为x+y+1=0

B.函数f(x)存在唯一的极小值点

C.函数f(x)的极小值大于−2

D.函数f(x)有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在(x+2x)6的展开式中，常数项为______13.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于______．14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为______，第n次传球后球在乙手中的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax3+bx2+x+1，当x=1时，f(x)取得极值1．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若对任意的x∈[−2,2]都有16.(本小题15分)

已知{an}是公差不为零的等差数列，其中a1，a3，a13成等比数列，且a2=3，数列an的前n项和为Sn．

(1)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；

(2)设bn17.(本小题15分)

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购买机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用300元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次60元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用720元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务.根据大数据统计显示，每台机器在三年使用期内的维修次数可能是4次，5次或6次，其概率分别是12,13,16.记X表示2台机器在三年使用期内的维修次数，n表示购买2台机器时，一次性购买的维修服务次数．

(1)求X的分布列：

18.(本小题17分)

截至2022年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国9亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心，为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下表所示不完整的2×2列联表(数据单位：人)．男女为合计非常幸福1115比较幸福9合计30(1)将列联表补充完整，并依据α=0.1的独立性检验，分析“城市幸福感”指数与性别是否有关；

(2)若感觉“非常幸福”记2分，“比较幸福”记1分，从上表男性中随机抽取3人，记3人得分之和为X，求X的分布列，并根据分布列求X≤4的概率，

附：χ2=mCH(nad−bc)α0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82819.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−2ax+a，

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个零点x1，x2．

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：答案1.D

2.A

3.A

4.C

5.A

6.C

7.C

8.B

9.AC

10.AD

11.ABD

12.160

13.210

14.38

115.解：(1)函数f(x)=ax3+bx2+x+1，当x=1时，f(x)取得极值1，

则f′(1)=3a+2b+1=0f(1)=a+b+2=1，解得a=1b=−2．

∴f(x)=x3−2x2+x+1；

(2)若对任意的x∈[−2,2]都有f(x)<c成立，

则函数f(x)在[−2,2]上的最大值小于c，

由f(x)=x3−2x2+x+1，得f′(x)=3x2−4x+1，

由f′(x)=3x2−4x+1=0，得x=13或x=1．

∴当x∈(−2,13)∪(1,2)时，f′(x)>0，当x∈(−1,1)时，f′(x)<016.解：(1)因为{an}是公差不为零的等差数列，a1，a3，a13成等比数列，

所以a32=a1a13，即(a1+2d)2=a1(a1+12d)，

又a2=a1+d=3，

所以a1=1，d=2，an=1+2(n−1)=2n−1，

S17.解：(1)X的取值为8，9，10，11，12，

P(X=8)=12×12=14，

P(X=9)=2×12×13=1X

8

9

101112

P

1

1

511(2)当n=9时，设Y1为机器维修所需费用，则Y1Y3180

3240396046805400P

11

5

11于是E(Y1)=3180×14+3240×13+3960×5Y

3480

3540

360043205040

P

1

1

5

11于是E(Y2)=3480×14+3540×1318.解：(1)补充完整的表格如下所示：男女合计非常幸福41115比较幸福6915合计102030零假设为H0：“城市幸福感”指数与性别无关．

计算可得X2=30×(4×9−11×6)215×15×10×20=0.6<2.706；

依据α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，

即认为“城市幸福感”指数与性别无关，

(2)由题可知，X的可能取值有3，4，5，6，

则P(ξ=3)=C63C10X3456P1131所以P(X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=1619.解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)=ex−2a．

①当a≤0时，f′(x)=ex−2a>0，所以f(x)在R上单调递增．

②当a>0时，令f′(x)=ex−2a=0，解得x=ln2a．

由f′(x)>0，可得x>ln2a，由f′(x)<0，可得x<ln2a，

所以f(x)在(−∞,ln2a)上单调递减，在(ln2a,+∞)上单调递增．

综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，f(x)在(−∞,ln2a)上单调递减，在(ln2a,+∞)上单调递增．

(2)(i)由(1)可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，f(x)最多有一个零点，不合题意．

当a>0时，f(x)在(−∞,ln2a)上单调递减，在(ln2a,+∞)上单调递增，

所以f(x)在x=ln2a时取得极小值也是最小值．

f(ln2a)=eln2a−2aln2a+a=3a−2aln2a．

若f(x)有两个零点，则f(ln2a)<0，即3a−2aln2a<0，因为a>0，解得a>12e32，

因为f(−1)=e−1+3a>0，所以f(−1)⋅f(ln2a)<0，

由零点存在性定理可知f(x)在(−1,ln2a)上有一个零点，所以f(x)在(−∞,ln2a)上有一个零点．

构造函数g(x)=ex−x−1(x>0)，因为g′(x)