2025版高考数学一轮总复习第九章概率与统计9.3两个计数原理排列与组合课件

第九章

概率与统计9.3

两个计数原理、排列与组合

1.通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.

2.通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.【教材梳理】

排列排列顺序

（2）排列数.定义及表示全排列的概念阶乘的概念

组合

（4）组合数.定义及表示组合数公式乘积式阶乘式两个性质性质1性质2组合数

常用结论

1.解排列组合问题基本策略

（1）相邻问题捆绑策略,不相邻问题插空策略.

（2）多排问题单排策略,定位问题优先策略.

（3）定序问题消序策略,有序分配分步策略.

（4）多元问题分类策略,交叉问题集合策略.

（5）至少（至多）问题间接策略,选排问题先取后排.

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.

(

)

√（2）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.

(

)

×（3）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.

(

)

×

×

×2.某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男学生和5名女学生中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）.若需要教师、学生各一人共同主持，则不同的选法有(

)

A.12种

B.15种

C.27种

D.30种

√

√√√4.（教材题改编）由数字0,1,2,3,4,5,6可以组成______个没有重复数字，并且比5

000000大的正整数.1440

考点一

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

13

ABCDEFGHA.288

B.336

C.576

D.1

680

√

【点拨】解答计数应用问题的总体思路是先分类再分步,注意以下计数方法的应用：①枚举法,将各种情况一一列举出来.②转换法,转换问题的角度或转换成其他已知问题.③间接法,先计算其反面情形，再用总数减去即得.变式1（1）

【多选题】

现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是(

)

A.选1人为负责人的选法有30种B.每组选1名组长的选法有3

024种C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法有335种D.若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种√√√

（2）某学校有东、南、西、北四个校门.翻新改造期间，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有3名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有_____种（用数字作答）.128

考点二

排列、组合的基本问题例2

【多选题】某学院学生会的3名男生和2名女生在社区参加志愿者活动，结束后这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是(

)

A.若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法B.若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法C.若要求其中的2名女生不相邻，则这5名同学共有72种不同的排法D.若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法√√√

【点拨】有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档.

组合问题的两种基本题型及解法.题型解法“含有”或“不含有”某些元素的组合“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“至多”含有几个元素的组合解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法分类复杂时，通常考虑逆向思维，用间接法处理变式2

【多选题】为响应政府部门号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地参加健康教育工作，则下列说法正确的是(

)

A.不同的安排方法共有64种B.若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种C.若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种D.若甲、乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种√√√

考点三

排列、组合的综合问题命题角度1

定序问题

A.2

280个

B.2

120个

C.1

440个

D.720个√

变式3

某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则调整方法种数为(

)

A.150

B.300

C.450

D.225

√命题角度2

分组分配问题例4

（2021年全国乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(

)

A.60种

B.120种

C.240种

D.480种

√

变式4

【多选题】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”有着可爱的外表和丰富的寓意，现有5个不同造型的“冰墩墩”，则下列说法正确的是(

)

A.把这5个“冰墩墩”装入3个不同的盒内，共有129种不同的装法B.从这5个“冰墩墩”中选出3个分别送给3位志愿者，每人1个，共有60种选法C.从这5个“冰墩墩”中随机取出3个，共有10种不同的取法D.把这5个“冰墩墩”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有150种不同的装法√√√

命题角度3

有条件限制的选派问题例5

某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有

(

)

A.360种

B.480种

C.600种

D.720种

√

【点拨】常见的“在”与“不在”有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先.一是以元素为主解题，二是以位置为主解题，三是用间接法解题.变式5

某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同的排课方法有(

)

A.16种

B.24种

C.8种

D.12种

√【巩固强化】

A.9

B.8

C.7

D.6

√2.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(

)

A.6

B.4

C.8

D.10解:列树状图如下.

，共4种.故选B.√3.（2023年新课标Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(

)

√4.（2020年新课标Ⅰ卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

(

)

A.120种

B.90种

C.60种

D.30种

√5.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有(

)

A.27种

B.36种

C.33种

D.30种

√6.【多选题】从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中(

)

A.偶数有60个

B.比300大的奇数有48个C.个位和百位数字之和为7的数有24个

D.能被3整除的数有48个√√√

7.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为

____；五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），则获得冠军的可能性有_____种.

1024625

8.（2023年新课标Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有____种（用数字作答）.64

【综合运用】9.（2023年全国甲卷）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有

(

)

A.120种

B.60种

C.30种

D.20种

√

A.3

B.4

C.6

D.8

√

A.120种

B.720种

C.840种

D.960种

√12.【多选题】某校举办诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相