微积分：六个不定积分计算步骤及其答案D10

微积分：六个数学不定积分计算步骤1.计算eq\i(,,\f(32x-10,16x²-10x+7))dx。解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(16x²-10x+7)'=32x-10，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式eq\i(,,\f(dx,x))=lnx+c来变形计算。eq\i(,,\f(32x-10,16x²-10x+7))dx=eq\i(,,\f(d(16x²-10x),16x²-10x+7))=eq\i(,,\f(d(16x²-10x+7),16x²-10x+7))=ln|16x²-10x+7|+C。2.计算eq\i(,,(12x²-33)²)dx.解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：eq\i(,,(12x²-33)²)dx=eq\i(,,(12²x⁴-792x²+33²))dx,=eq\i(,,12²x⁴dx)-eq\i(,,792x²dx)+eq\i(,,33²dx),=eq\f(1,5)*12²x⁵-eq\f(1,3)*792x³+33²x+C.思路二：通过分部积分进行计算，有：eq\i(,,(12x²-33)²)dx=(12x²-33)²x-eq\i(,,xd(12x²-33)²)，=(12x²-33)²x-4*12eq\i(,,x²(12x²-33))dx，=(12x²-33)²x-4*12eq\i(,,(12x⁴-33x²)dx)，=(12x²-33)²x-4*12²eq\i(,,x⁴dx)+4*12*33eq\i(,,x²dx),=(12x²-33)²x-eq\f(4,5)*12²x⁵+eq\f(2,3)*792x³+C。3.积分eq\i(,,\f(dx,(x²-26x+312)))的计算。解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=26²-4*312＜0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根据不定积分公式eq\i(,,\f(dx,1+x²))=arctanx+C变形计算即可，有：eq\i(,,\f(dx,(x²-26x+312)))=eq\i(,,\f(dx,x²-26x+169+143))=eq\i(,,\f(dx,(x-13)²+143))=eq\f(1,143)eq\i(,,\f(dx,1+\f((x-13)²,143)))=eq\f(1,eq\r(143))eq\i(,,\f(deq\f(x,\r(143)),1+\f((x-13)²,143))),=eq\f(1,eq\r(143))arctaneq\f(x-13,eq\r(143))+C。4.计算eq\i(,,(\f(75,64x)+\f(14x,31))²dx).解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：eq\i(,,(\f(75,64x)+\f(14x,31))²dx)=eq\i(,,[(eq\f(75,64x))²+2*eq\f(75,64)*eq\f(14,31)+(eq\f(14x,31))²]dx),=(eq\f(75,64))²eq\i(,,\f(dx,x²))+eq\f(525,496)eq\i(,,dx)+(eq\f(14,31))²eq\i(,,x²dx),=-eq\f((\f(75,64))²,x)+eq\f(525x,496)+eq\f(1,3)*(eq\f(14,31))²x³+C。5.计算eq\i(,,(3x³-3x²+20)67(9x²-6x)dx)不定积分计算解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(3x³-3x²+20)'=9x²-6x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：eq\i(,,(3x³-3x²+20)67(9x²-6x)dx)=eq\i(,,(3x³-3x²+20)67d(3x³-3x²+20)),=eq\f(1,68)(3x³-3x²+20)68+C.6.计算eq\i(,,xln(25x-12))dx。解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：eq\i(,,xln(25x-12))dx=eq\f(1,2)eq\i(,,ln(25x-12)dx²)，=eq\f(1,2)x²ln(25x-12)-eq\f(1,2)eq\i(,,x²dln(25x-12)),=eq\f(1,2)x²ln(25x-12)-eq\f(25,2)eq\i(,,\f(x²dx,25x-12)),=eq\f(1,2)x²ln(25x-12)-eq\i(,,(x+\f(12,25)))dx-(eq\f(12,25))²eq\