2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第4讲平面向量的综合应用提能训练

第4讲平面对量的综合应用A组基础巩固一、单选题1．若O为△ABC内一点，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，则O是△ABC的(B)A．内心 B．外心C．垂心 D．重心[解析]由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2－6，则点P的轨迹是(D)A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线[解析]因为eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D.3．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为(B)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2[解析]∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)．∴|a－b|＝eq\r(02＋sinθ－cosθ2)＝eq\r(1－sin2θ).∴|a－b|最大值为eq\r(2).故选B.4．已知A，B是圆心为C半径为eq\r(5)的圆上两点，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))等于(A)A．－eq\f(5,2) B．eq\f(5,2)C．0 D．eq\f(5\r(3),2)[解析]由于弦长|AB|＝eq\r(5)与半径相等，则∠ACB＝60°⇒eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－|eq\o(CA,\s\up6(→))|·|eq\o(CB,\s\up6(→))|·cos∠ACB＝－eq\r(5)×eq\r(5)·cos60°＝－eq\f(5,2).5．(2024·云南省宾川高三上学期数学摸底试卷)点P是△ABC内一点且满足4eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则△PBC，△PAC，△PAB的面积比为(A)A．4∶3∶2 B．2∶3∶4C．1∶1∶1 D．3∶4∶6[解析]由P是△ABC内一点且满足4eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，依据向量的几何运算作出图形如下，其中|PA|＝eq\f(1,4)|PA′|，|PC′|＝2|PC|，|PB|＝eq\f(1,3)|PB′|，虚线为垂线，且|B′D|＝3|BF|，|A′M|＝4|AE|，|A′G|＝4|AN|.所以S△PBC＝eq\f(1,2)|PC||BF|＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)|PC′|×eq\f(1,3)×|B′D|＝eq\f(1,6)S△PB′C′，S△PAC＝eq\f(1,2)|PC||AE|＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)|PC′|×eq\f(1,4)×|A′M|＝eq\f(1,8)S△PA′C′，S△PAB＝eq\f(1,2)|PB||AN|＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)|PB′|×eq\f(1,4)×|A′G|＝eq\f(1,12)S△PA′B′，又PA′C′B′为平行四边形，所以S△PA′B′＝S△PA′C′＝S△PB′C′，所以S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝eq\f(1,6)∶eq\f(1,8)∶eq\f(1,12)＝4∶3∶2，选A.6．(2024·浙江省兰溪市第三中学月考)扇形OAB的半径为1，圆心角为eq\f(2π,3)，P是eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))上的动点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最小值为(C)A．－eq\r(2) B．0C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)[解析]由题设，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))·(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OP,\s\up6(→))2－eq\o(OP,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＋eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))，∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))2＝1，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)－eq\o(OP,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，要使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))最小，即eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))同向共线．又|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1，∴(eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→)))min＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2).故选C.二、多选题7．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(AD)A．a⊥b B．a∥bC．|a|＝|b| D．|a＋b|＝|a－b|[解析]f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b.依题意知f(x)的图象是一条直线，所以a·b＝0，即a⊥b.故选AD.8．如图，已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，下列选项正确的是(BCD)A.eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为－eq\r(3)B.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为eq\r(3)D.eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))[解析]由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|，又|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝eq\f(π,6)，所以eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(CA,\s\up6(→))|coseq\f(π,6)＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故A错误，C正确．因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2，故B、D正确．三、填空题9．在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝2，则边AB的长等于2.[解析]由题意知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝4，即eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝4，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝4，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是eq\f(2π,3).[解析]由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，所以cosθ＝－eq\f(1,2)，又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2π,3).11．已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)sin\f(x,4)，1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,4)，cos2\f(x,4))).若m·n＝1，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))＝－eq\f(1,2).[解析]m·n＝eq\r(3)sineq\f(x,4)coseq\f(x,4)＋cos2eq\f(x,4)＝eq\f(\r(3),2)sineq\f(x,2)＋eq\f(1＋cos\f(x,2),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，因为m·n＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2).因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2).故填－eq\f(1,2).12．(2024·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为1.[解析]解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(t，－1)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,0)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝t≤1.解法二：选取{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}作为基底，设eq\o(AE,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，0≤t≤1，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(teq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝t≤1.解法三：设eq\o(AE,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|·1·cos∠AED＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|t||eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|t|≤1.四、解答题13．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为eq\f(π,3)，求x的值．[解析](1)因为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n，所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)由已知得|m|＝|n|＝1，所以m·n＝|m|·|n|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2).因为0<x<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)<x－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)，所以x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).14．(2024·甘肃会宁一中高三上其次次月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－eq\r(3))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2B，2cos2\f(B,2)－1))，且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)假如b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．[解析](1)∵m∥n，∴2sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(B,2)－1))＝－eq\r(3)cos2B，∴sin2B＝－eq\r(3)cos2B，即tan2B＝－eq\r(3).又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝eq\f(2π,3)，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵B＝eq\f(π,3)，b＝2，∴由余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，得a2＋c2－ac－4＝0.又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac≤eq\r(3)(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．∴△ABC的面积的最大值为eq\r(3).B组实力提升1．(2024·邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，cos\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，cos\f(B,2)))，p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，cos\f(C,2)))共线，则△ABC的形态为(A)A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形[解析]由题意得acoseq\f(B,2)＝bcoseq\f(A,2)，acoseq\f(C,2)＝ccoseq\f(A,2)，由正弦定理得sinAcoseq\f(B,2)＝sinBcoseq\f(A,2)⇒sineq\f(B,2)＝sineq\f(A,2)⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.2．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足|eq\o(MN,\s\up6(→))|·|eq\o(MP,\s\up6(→))|＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0，则点P的轨迹的曲线类型为(B)A．双曲线 B．抛物线C．圆 D．椭圆[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝6，eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，eq\o(NP,\s\up6(→))＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|·|eq\o(MP,\s\up6(→))|＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝6eq\r(x＋32＋y2)＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.3．如图，扇形的半径为2，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))上运动，eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\r(3)x－y的取值范围是(B)A．[－eq\r(3)，2] B．[－1,2]C．[－2,4] D．[－2eq\r(3)，4][解析]依据题意，建立坐标系，求出向量坐标，设P(2cosθ，2sinθ)，依据向量坐标的运算得x、y的表达式，结合三角函数的性质分析可得答案．依据题意，以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图：P(2cosθ，2sinθ)，0°≤θ≤150°，则A(0,0)，B(2,0)，C(－eq\r(3)，1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则有(2cosθ，2sinθ)＝x(2,0)＋y(－eq\r(3)，1)＝(2x－eq\r(3)y，y)，变形可得：cosθ＝x－eq\f(\r(3),2)y，sinθ＝eq\f(y,2)；则有x＝cosθ＋eq\r(3)sinθ，y＝2sinθ，eq\r(3)x－y＝eq\r(3)cosθ＋3sinθ－2sinθ＝eq\r(3)cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋60°)，又由0°≤θ≤150°，则60°≤θ＋60°≤210°，则有－1≤eq\r(3)x－y＝2sin(θ＋60°)≤2，故eq\r(3)x－y的取值范围是[－1,2]，故选B.4．(多选题)已知函数f(x)＝eq\r(3)sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，则函数f(x＋1)是(AD)A．周期为4的函数 B．周期为2π的函数C．奇函数 D．偶函数[解析]由题图可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2ω)，\r(3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2ω)，－\r(3)))，由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0得eq\f(3π2,4ω2)－3＝0，又ω>0，所以ω＝eq\f(π,2)，所以f(x)＝eq\r(3)sineq\f(π,2)x，所以f(x＋1)＝eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋1))＝eq\r(3)coseq\f(π,2)x，它是周期为4的偶函数．故选AD.5．(2024·湖南五市十校联考)已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，eq\r(3)cosx)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋eq\f(1,2).(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2eq\r(2)，△ABC的面积为eq\f(1,2)，求a的值．[解析](1)由题意知f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1，令2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为eq