高中数学《平面向量》高考复习典型训练30道试题梳理（附答案解析）

(新)高中数学《平面向量》高考专题复习典型训练30道试题梳理汇总

(附答案解析)

1.已知向量M=s山x),5=(3,-G),xe[0,句.

(1)若万||〃，求x的值；

(2)记〃力=万石，求函数y=/(x)的最大值和最小值及对应的元的值.

【答案】⑴》=学(2)x=0时，〃x)取到最大值3；x="时，〃x)取到最小值-2技

6o

【解析】

【分析】

(1)根据可旧，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求X的值.

(2)根据/(同=无5求解求函数y=/(x)解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应

的x的值.

【详解】

解：（1）•.•向量N=（csx，sinx）,6=（3,-G）,xe[O,万].

由万昉，

可得：Scosx=3sinx,

日n5/3

即tanx=----,

3

VxG[0,n]

54

x=——

6

24

（2）由/（工）=展/?=3cosx-y/isinx=2x/3sinx+一

3

VxGfO,JT],

,2乃2454

X4-------W—，—

333

2427r

・••当XH---=——时，即x=0时/（x）max=3\

当X+弓=3，即x=K时/（x>,而=一2技

32o

【详解】

本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.

2.已知AOAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设丽=1,丽=5.

（新）高中数学《平面向量》高考专题复习典型训练30道试题梳理汇总（附答案解析）

（1）用落石表示向量反，反；

（2）若向量无与）+Z反共线，求女的值.

__.5_3

【答案】（1）OC=2a-b,DC=2a--b；（2）-

34

【解析】

【分析】

（1）由向量的线性运算，即可得出结果：

（2）先由⑴得3+上觉=（2左+历，再由无与厉+k配共线，设觉=2（04+%配），列出方程组求

解即可.

【详解】

解：（1）•.•人为8。的中点，.104=；（0耳+0。），

^^OC=2OA-OB=2a-b，

____________7___s

\fnDC=OC-OD=OC——OB=2a--b

33

（2）由⑴得赤+A觉=（2%+1）@-|防，

•.•反与丽+无反共线，设无=几（方+4反）

^2a-b=X（2k+\）a+-^kh,

2=4（2&+1）

根据平面向量基本定理，得［5,,

-1=一一AK

3

解之得，k=3j

【详解】

本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.

3.（1）已知平面向量入b，其中［（技-2）,若晒=30,且原历，求向量B的坐标表示；

（2）已知平面向量入坂满足同=2,同=1,£与坂的夹角为夸，且（£+沈）1（2a-b），求2的值.

【答案】（1）坂=（痴,-2&）或5=卜所,2夜）；（2）A=3

【解析】

2

【分析】

(1)设力=(x,y),根据题意可得出关于实数X、y的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量B

的坐标；

(2)利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得2的值.

【详解】

(1)设6=(x,y),由a"b，可得造y+2x=0,

[y/5y+2x=0x=Viox=-Vio

由题意可得，解得或，

+_/=3&y=-242y=2y/2

因此，B=⑹或另十屈2研

(2):(q+2石)J_仅a-9,(a+4B)[2a-B)=0

化简得2M+(2"l"d_明2=0,

BP8+(2A—l)x2xlx^——^―2=0,解得2=3

4.已知向量1=(1,2),向量5=(-3,2).

(1)求向量1-25的坐标；

(2)当人为何值时，向量@+5与向量力共线.

【答案】(1)(7,-2)(2)k=-；

【解析】

【详解】

试题分析：(1)根据向量坐标运算公式计算；(2)求出%+5的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;

试题解析：

(1)a-2^=(l,2)-2(-3,2)=(7,-2)

(2)%+区=*(1,2)+(-3,2)=任-3,2左+2),

26=(1,2)-2(-3,2)=(7,-2)

,.,々+5与a-之共线,

7(2八2)=-2("3)

.,1

••k=—

2

5.已知向量公与5的夹角。=与，且同=3,忖=2拉.

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(1)求£石，归+可；

(2)求£与2+各的夹角的余弦值.

［答案］(1)ab=-6>|fl+^|—>/5；(2)

【解析】

【分析】

(1)利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出

的值;

(2)计算出7R+B)的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得2与£+很的夹角的余弦值.

【详解】

(1)由已知，得£出=忖咽(:(»。=3乂2拉xj-4=-6,

^32+2x(-6)+(25/2)'=x/5;

(2)设£与2+石的夹角为a,

a-(a+b^a+ab9-6石

则cosa=-pr-p：―耳=pr-p-=---f=~，

卜卜卜+N同・卜+3X>/55

因此，£与2+•的夹角的余弦值为4.

6.设向量沅=(2cos羽6sinx),万=(sinx,-2sinx)，记f(x)=m,n

(1)求函数/(x)的单调递减区间；

7171

(2)求函数/(x)在一三2上的值域.

_3o_

【答案】(1)［k%+^,k%+葛］,KeZ；(2)［一2石,2-呵

【解析】

【详解】

分析：(1)利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间;

(2)结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.

详解：(1)依题意，得/(x)=加丑=2cosxsinx-2V3sin2x=sin2x+V3cos2x-^3=

2sinf2x+y^-^3.

7TTT3乃TT771

由21<1+万W2x+—<2k7r+—,kGZ，解得k4+五Kk/r+五，％GZ

4

故函数〃X）的单调递减区间是叱+帝ki+母AeZ.

（2）由（1）知/（x）=2sin（2X+1）-6,

当时，得-白2》+白耳，所以-*4sin（2x+g]41,

363332\37

所以-2G42sin（2x+?）一限2-亚

所以“X）在-式上的值域为[-26,2-6].

详解:该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式,三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，

在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.

7.在AABC中，内角A,B,C的对边分别是。，b,c,已知》="cosC+@csinA,点M是BC的中点.

3

（I）求A的值；

（II）若a=6,求中线AM的最大值.

【答案】（I）4=9；（II）

32

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；

（2）根据余弦定理求出"c边的不等量关系，再用余弦定理把AM用b,c表示，即可求解；或用向量关系把丽？

用血，而表示，转化为求|AA/|的最值.

【详解】

（I）由己知及正弦定理得sinB=sinAcosC+，^sinCsinA.

3

XsinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

且sinCVO,tanA=V3,0<A<TT,即4=工.

3

（II）方法一：在AABC中，由余弦定理得从+c?一力c=3,

Vbc<^—,当且仅当匕=c时取等号，.•"2+C2W6.

2

；AM是8c边上的中线，.•.在AAfiM和AACM中，

由余弦定理得，c2=AM1+--2AM■—■cos^AMB,①

42

序=4M2+3-2AM.坦•cosNAMC.②

42

由①②，得AM?=仁工

244

(新)高中数学《平面向量》高考专题复习典型训练30道试题梳理汇总(附答案解析)

当且仅当6=c=6时，4W取最大值!■.

方法二：在AABC中，由余弦定理得-*=3,

Vbc<^—^,当且仅当。=c时取等号，・・・〃+c2K6.

2

•・.AW是8c边上的中线，AAM=A^+AC,两边平方得

2

AM2=—(b2+c2+bc\AM2=———<—,

4'7f244

3

当且仅当8=c=石时，AM取最大值彳.

【详解】

本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.

8.己知平面向量2出，a=(1,2).

⑴若力=(0,1),求归+2目的值;

⑵若5=(2,/〃)，2与2-在共线，求实数，”的值.

【答案】(1)如；(2)4.

【解析】

(1)求出£+25，即可由坐标计算出模；

(2)求出再由共线列出式子即可计算.

【详解】

(l)a+2i=(l,2)+(0,2)=(1,4),

所以|2+办|=炉工=如；

(2)a-b=(-1,2-w),

因为£与共线，所以1x(2-〃7)-2X(-1)=0,解得〃=4.

9.已知向量@=(2,-1),5=(1,x).

(1)若G13+B),求|6|的值；

(II)若1+25=(4,-7),求向量1与5夹角的大小.

【答案】(I)5正；(H)..

【解析】

【分析】

6

(I)首先求出£+5的坐标，再根据2，(£+钻，可得£.仿+历=0,即可求出x,再根据向量模的坐标表示计算

可得；

(II)首先求出石的坐标，再根据cos<2^>=，也计算可得;

\a\\b\

【详解】

解：(I)因为1=(2,-1),5=(1,X),所以£+坂=(3,-l+x),

由a_L(a+B),可得。.(。+杨=0,

即6+1—x=0,解得x=7,即5=(1,7),

所以画=«+72=50;

(II)依题意。+2另=(4,2彳-1)=(4,-7),

可得x=-3,即4=(1,-3),

r-r-|s|-TJ2+3V2

所以cos<a,b>=一。一=—7=—尸==——,

|〃|网2

因为＜4,分,

所以£与坂的夹角大小是5.

10.如图，在AABC中，AB=2,AC=3,ABAC=60,DB=2AD>CE=2EB.

(1)求CD的长；

(2)求福.诙的值.

【答案】(1)—;(2)[

33

【解析】

(1)将前用而和衣表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出加2的值，即可得出C£＞的长;

(2)将海利用而和衣表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出通.诙的值.

【详解】

(1),DB=2AD，:.AD=^AB,:.CD=AD-AC=^AB-AC,

（新）高中数学《平面向量》高考专题复习典型训练30道试题梳理汇总（附答案解析）

VAB=2,AC=3,ABAC=60,AA8-AC=|AB|-|AC|COS60=2x3x^=3.

■.-CD--AB-AC+AC2=1X22-^X3+32；

UJ93933

⑵:CE^2EB，:.BE=^BC,

：.DE=DB+BE=-AB+-BC=-AB+-(AC-AB]=-AB+-AC,

3333、>33

:.ABDE=AB-(-AB+-AC]=-AB+-AB-AC=-X22+-X3=-.

U3J33333

【详解】

本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算

能力，属于中等题.

11.如图所示，在AABC中，AB=a，BC=b，D,尸分别为线段BC,AC上一点，且3£>=2DC,CF=3FA,

8F和AD相交于点E.

（1）用向量入坂表示而；

（2）假设屁=2丽+（1-2）丽=〃丽,用向量£,B表示而并求出〃的值.

—3-1--■2-2-8

【答案】（1）BF=—aH—b；（2）BE=—a-i—b,/J=—.

44399

【解析】

【分析】

（1）把乔放在AW中，利用向量加法的三角形法则即可；

（2）把£,B作为基底，表示出BE，利用丽=〃砺求出

【详解】

―1——.7一

解：由题意得B=3E4,BD=2DC,所以BD=-BC

（1）因为丽=丽+而，AB=a>BC=b

所以游=丽+；/=丽+；阿_丽）

3—•1-■3-1-

=-BA+-BC=--a+-b.

4444

8

—►3-1—-•3—•2-

（2）由（1）知BF=--a+-b,而BD=-BC=-b

4423

而布=4而+0_彳）丽=〃丽=而=_乂+|（1_彳肪=〃（_；£+/）

因为£与坂不共线，由平面向量基本定理得

一.-“3

〔3、'4

Q

解得〃=1

所以丽=-2/+,2,〃=］g即为所求.

【详解】

在几何图形中进行向量运算：

（1）构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；

（2）树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.

12.已知向量不与5的夹角为。=今,且同=3,忖=2亚

（1）若6+2万与3公+45共线，求左;

（2）求展小日+4；

（3）求a与£+另的夹角的余弦值

【答案】（1）|；（2）ah=-6,|«+*|=>/5;（3）号.

【解析】

【分析】

（1）利用向量共线定理即可求解.

（2）利用向量数量积的定义：无3=耶卜。$（£@可得数量积，再将B+q平方可求模.

（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.

【详解】

（1）若总+2）与32+4万共线,

则存在4,使得3a+4B）

即任-3*+（2-4/1»=6,

又因为向量1与方不共线,

（新）高中数学《平面向量》高考专题复习典型训练30道试题梳理汇总（附答案解析）

左一3/1=03

所以所以k=1.

2-42=0

(2)ab

|«+S|=+2a-b+b~=,9-12+8=#＞，

a(a+ba+a-b_9-6_6

(3)cos(“,a+B)=

厢+B门语+旷达一行

13.已知£=。,0）石=（2,1）.

（1）当％为何值时，历+5与£+2区共线？

（2）当火为何值时，+B与Z+4垂直？

（3）当上为何值时，出£+石与£+2五的夹角为锐角？

【答案】（1）y;（2）-£；（3）k>-葭且Zx；.

【解析】

【分析】

（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.

（2）利用向量垂直的坐标表示：西%+%必=°即可求解.

（3）利用向量数量积的坐标表示，只需用々+%%>0且不共线即可求解.

【详解】

解：⑴ka+b-（k+2,l）,a+2b-（5,2）.

・.•Z2+囚与£+2弓平行，・•.（％+2）x2—1*5=0,解得4=g.

（2）,••后+B与2+25垂直，

.•.（依+5〉（万+潺）=0,即5x（Z+2）+2xl=0,.-.A:=-y

ioi

（3）由题意可得5x（A+2）+2xl>0且不共线，解得上>-（且左才；.

14.如图，在菱形48C£>中，BE=­BC,CF=2FD.

10

DC

（1）若丽=》丽+），而，求3x+2y的值:

（2）若|福卜6,ZB4D=60。，求衣.丽.

（3）若菱形ABCQ的边长为6,求醺.前的取值范围.

【答案】(1)3x+2y=-l；(2)ACEF=-9;(3)(-21,-9).

【解析】

【分析】

（1）由向量线性运算即可求得值;

（2）先化/=而+而，再结合（1）中关系即可求解恁.方;

uiuuun1UUM_।_2一.~--/一._

(3)由于AE=AB+^A。，EF=-AD-AB,即可得AE.EF=6cos(A8,A。)75,根据余弦值范围即可求得

结果.

【详解】

解：(1)因为丽=gm，CF=2FD，

_________1___2__.1___2__.21

所以而=*+方=-阮--DC=-AD--而，所以x=—-，y=-,

232332

故3x+2y=3x(-：)+2x；=-l.

(2),：AC=AB+AD,A+^|AD-|ABJ=^AD2-|AB2-^ABAD

,/ABCD为菱形|通卜|亚卜6

苑丽=-1画2-：研cos4AO=-：x36-：x36x；=-9,即而瓯=-9.

ui®uun1uun_,i___2__

(3)因为AE=A8+-A£>,EF=-AD--AB

223

所以语访=(通+g而)(g而一，珂=\福而-|福而2

=4祠.1码cos(而，而)-|希+；而2=6cos〈AB,A£)>-15

-1<cos(丽，到<1

...通.访的取值范围：（-21,-9）.

【详解】

(新)高中数学《平面向量》高考专题复习典型训练30道试题梳理汇总(附答案解析)

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，

再通过向量的运算来解决.

15.已知同=4,网=8,£与石夹角是120。.

(1)求。I的值及|£+闸的值；

(2)当％为何值时,3+25)_1_(%-5)?

【答案】(1)无5=—16;卜，+4=46(2)k=-7

【解析】

【分析】

(1)利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；

(2)由于(£+2杨，(后-杨，可得0+2&.伍-1)=0,利用向量的数量积的运算公式,即可求解.

【详解】

(1)由向量的数量积的运算公式，可得£%=同历际120。=4*8'(_；)=_16,

^a+b^=\la~+2a-b=J4。+82+2x(-16)=4百.

(2)因为(a+2坂)_L(版-B),^T^l(a+2b)(ka-b)=ka-2^+(2k-Y)ab=0>

整理得16后一128+(2左-1)>(-16)=0,解得jfc=_7.

即当上=_7值时，(a+2b)A.(ka-b).

【详解】

本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,

以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

16.设向量”=(6sinx,sinx),B=(cosx,sinx),xe0,y.

(I)若忖咽.求A的值；

(II)设函数"X)=2反求“X)的最大值.

【答案】(DI(II)/«^=|

【解析】

【详解】

(1)由忖=(x/3siar)2+(sinx)2=4sin2ji,

12

W=(cosx)2+(siar)2=1,

及“=卜卜得4sin2%=l.

又。，£,从而sinx=；,所以x=1.

(2)f^x)=ai=73sinx-cosx+sin2x

=^-sinZr—，cos2x+g=sinf2x-^\+g,

222k6J2

当吟时，一'上无一已，兀，

2Jo66

当2x-看=1■时，

即X=9时，Sin(2x-?)取最大值］.

所以7U)的最大值为!■.

17.化简.

(1)AB+CD+BC+DA.

(2)(AB+MB)+(BO+BC)+bM.

【答案】(1)6；(2)AC.

【解析】

(1)利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；

(2)利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.

【详解】

(1)AB+CD+BC+DA=AB+BC+CD+DA=O;

(2)(AB+MB^+(Bd+BC)+OM=AB+Bd+OM+MB+BC=AC.

18.已知点A(-2,0),风1,9),。是原点.

(1)若点A8,C三点共线，求加与〃满足的关系式；

(2)若AA"的面积等于3,且配，肥，求向量近.

【答案】(1)n-3m-6=0(2)比=(4,3)或无=(-5,3)

【解析】

【分析】

(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；

(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.

【详解】

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(1)通=(3,9),AC=(m+2,n),

由点A,B,C三点共线，知丽〃/，

所以3“一9。"+2)=0,即〃一3〃?一6=0；

(2)由AAOC的面积是3,得gx2x|〃|=3,〃=±3,

由而J.册，得左已配=0，

所以(％+2,1,〃-9)=0,HP/n2+n2+/n—9n—2=0,

当〃=3时，nr+/«-20=0,解得机=4或〃z=-5,

当〃=-3时，/n2+w+34=0,方程没有实数根，

所以诙=(4,3)或双=(-5,3).

【详解】

本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解

能力.

19.如图，在直角梯形。4BC中，OA〃C8,OA，OC,QA=28C=2OC,M为A3上靠近8的三等分点，OM交AC

(1)用丽和反表示丽；

⑵求处;

DM

(3)设砺=几方+〃而，求九•〃的取值范围.

____2___7__.3

【答案】⑴丽=耳)§丽；(2)3；(3)[0,R.

【解析】

【分析】

(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；

(2)选定一组基向量，历将由这一组基向量的唯一表示出而得解；

(3)由动点P设出所=1函(04%4：),结合平面向量基本定理，小〃建立为x的函数求解.

【详解】

I___2__,

⑴依题意函=]砺，AM=-AB,

14

___2______2__.__.2__.2__.i___2__?__.i___

:.AM=-(OB-OA)^-(OC+CB)——OA=-OC+-OA——OA=-OC——OA,

33333333

____________2___i__2___2__.

:.OM=OA+AM=OA+(-OC——OA)^-OA+-OC；

3333

⑵因OM交AC于。，

由⑴知。方=fOA/=r(§Q4+§oC)=O力=1必+了。1,

由共起点的三向量终点共线的充要条件知，y+y=l,则t=,，OD=3DM，^==3；

⑶由已知丽=反+而=反+；砺，

—,—.1

因P是线段8c上动点，则令CP=xOA(04x4/),

OB=ACA+〃。户=A(OA-OC)+p(OC+CP)=(A+^ix)OA+(〃一A)OC,

jU—A=1A=ju—l

又反，砺不共线，贝ij有<1=>[3，

A+UX=—U=----

I2U2+2x

133

0<x<—=>l<x+l<—=>1<//<—,

222

ii3

小〃=〃(〃-1)=(〃-])2-a在〃€[1,-]上递增，

33

所以=0,〃=5，(九〃)皿*="

3

故加〃的取值范围是[0,=].

【详解】

由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

20.设向量满足H=W=I,且忸-20=>/7.

(1)求】与否的夹角;

(2)求悔+3.的大小.

【答案】(1)y;(2)则

【解析】

【分析】

(1)由已知得|3)-2邛=7,展开求得£石=g,结合夹角公式即可求解；

(2)由悼+=«22+3M="1+11+9广化简即可求解.

【详解】

(1)设£与万的夹角为。

(新)高中数学《平面向量》高考专题复习典型训练30道试题梳理汇总(附答案解析)

由已知得恒-2甲=7,即歹-3石+4片=7,因此9-12$+4=7,

得4力=],于是8$，=丽=],故0=?,即£与》的夹角为?；

(2)由忸+=J(2d+3M=\l4a2+I2a-b+9b2=-4+6+9=M.

21.已知。4=(1,0),OB=((),1),OMO是坐标原点.

(1)若点A,B,M三点共线，求f的值；

(2)当，取何值时，曲.无而取到最小值？并求出最小值.

【答案】(1)/=；；(2)当r=g时，必•福的最小值为

【解析】

【分析】

(1)求出向量的坐标，由三点共线知福与丽共线，即可求解，的值.

(2)运用坐标求数量积，转化为函数求最值.

【详解】

(1)AB=OB-OA={-\A),AM=OM-OA=(t-1,t),

VA,B,M三点共线,

，通与丽7共线，即而7=4通。eR),

u—1=~X1

•••2，解得：

[f=X2

(2)MA=(1—Z,—f),MB—(—Z,1—t),M4MB=2广-2/=2(/—Q)~—Q,

•••当/=3时，必•丽取得最小值-;.

【详解】

关键点详解：

(1)由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.

(2)利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.

一1一

22.设向量a=(T,2),6=(1,—1),c=(4,-5).

⑴求1+2年

⑵若c=&z+〃b,4〃eR,求4+〃的值；

UL1U11__________

(3)若=〃BC=a-2b,CD=4a-2b.求证：A,C,。三点共线.

16

【答案]⑴1

(2)2

(3)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)先求£+办=(1,0),进而求卜+24；(2)列出方程组，求出进而求出彳+〃；(3)求出品=2〉力，

从而得至U丽=4£-21=2/，得到结果.

(1)

£+涕=(-1,2)+(2,-2)=(1,0),p+2h|=VI+0-l；

(2)

(4-5)=2(-1,2)+//(1,-1),所以解得：匕IO所以2+〃=2；

(3)

AC=AB+BC=a+b+a-2b=2a-b>所以丽=4公-2各=2前，所以A,C,。三点共线.

23.在平面直角坐标系中,已知二=(1,-2),5=(3,4).

(I)若(32叫//(£+助,求实数k的值；

(II)若(£-历)，求实数r的值.

【答案】(I)-1；(II)

【解析】

(I)求出向量32-B和2+心的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于人的方程，解出即可；

(H)由R-法)得出(£-屈)出=0,利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数，的方程，解出即可.

【详解】

(I)Qa=(l,-2),b=(3,4),3a-i=3(1,-2)-(3,4)=(0,-10),

2+防=(1,-2)+%(3,4)=(3女+1型-2),

■：(3a-b)//[a+kh),,-.-10(3^+1)=0,解得无=—；；

(II)a-rft=(l,-2)-Z(3,4)=(l-3/,-2-4r),

■.■(a-tb)l.b,.•.(a-r^)-fe=3x(l-3r)+4x(-2-4r)=-25z-5=0,解得f=-g.

(新)高中数学《平面向量》高考专题复习典型训练30道试题梳理汇总(附答案解析)

【详解】

本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.

24.在AABC中，AB=2,AC=\,N84C=120",点E,F在BC边上且丽=义型，BF=juBC.

(1)若义=；，求AE的长；

(2)若通.酢=4，求;+'的值.

【答案】(1)巫；(2)

【解析】

【分析】

(1)先设而=£,〃=石，根据题意，求出7人通再由向量模的计算公式，即可得出结果；

(2)先由题意，得到通=(1-为£+4,AF=(l-^a+;ib,再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得

到7M-5(/1+4)=0,即可求出结果.

【详解】

(1)设丽=£，AC=b^

则忖=2,忖=1,因此£4=同降0$120。=一1,

11

^\^AE=AB+BE=a+-^b-a)=-a+-b,

网[序+¥)=枷6+1一4)=平,

(2)因为丽=%反,所以通=4方+在=£+九，一£)=(1一；1)£+/万，

同理可得，A/7=AB+BF=a+〃(B-a)=(l-pi)a+fjb,

所以A/7=++=4(1-2)(1-//)+A//-[(1-2)//+(1-//)Z]

=4+7九R—5(4+〃)，

4+7沏-5(/1+〃)=4,g|J7沏-5(2+//)=0,

同除以入〃可得，J

x/z5

18

【详解】

本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运

算法则即可，属于常考题型.

25.己知向量丽=己，诙=5，ZAOB=60,且同=何=4.

(1)求卜+司，卜-同；

(2)求万+5与万的夹角及与2的夹角.

【答案】⑴k+.=4技卜-同=4；(2)30\60.

【解析】

【分析】

(1)由卜+5『=(万+盯、结合平面向量数量积的运算即可得解；

(2)记a+5与&的夹角为夕。€[0°,180。],6-5与4的夹角为,180],由平面向量数量积的定义可得

COSa,cos夕，即可得解.

【详解】

(1)因为向量次=小而=5，ZAO8=60,且同=村=4,

所以,+4=(4+6)=a2+2a-b+b2=\a^+2|a11/?,|cos60+16-|

=16+2x4x4x1+16=48,

2

所以卜+同=46,

又忖一回=("5)=矫_2无6+52=同2-2同Wcos6(y+卜]

=16-2x4x4x—+16=16,

2

所以卜一闸=4；

(2)记a+5与G的夹角为a,ae[(T,1801,与。的夹角为民?e[0'[80],

皿।("孙万讲+打石16+4x4xg6

贝cosa=q——ZT—-=•一尸——=-----尸==—>

k+N同4V3x416V32

所以a=30.

2

(a-b)-a5-ab骁-4x4x；]

2斤丽=F^=—^=5'

(新)高中数学《平面向量》高考专题复习典型训练30道试题梳理汇总(附答案解析)

所以力=60。.

【详解】

本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

26.平面内给定三个向量丘=(3,2),5=(-1,2),c=(4,l).

(1)求满足汗=〃区-1的实数加，〃；

(2)若(1+M)//(25-1)，求实数学的值.

【答案】(1)m=〃=-：；(2)k=

【解析】

【分析】

(1)依题意求出，序-您的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；

(2)首先求出苕+笈与涕-。的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得;

【详解】

解：(1)因为M=(3,2),b=(—1,2),c=(4,1),且d=—成

(3,2)=a=mb-nc=/n(-l,2)-n(4,\)=(-m-4n,2m-n).

一加-4〃=3解得加=，«=-1•

2m-n=2

(2)万+%=(3,2)+左(4,1)=(3+4Z,2+k).

2b-a=2(—1,2)—(3,2)=(-5,2).

.•.-5(2+幻一2(3+4公=0,解得人=一3.

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27.如图，已知A4BC中，。为BC的中点，AE=^EC,AD,BE交于点F,设衣=£,AD=b.

(1)用分别表示向量而，丽；

(2)若衣=,而，求实数1的值.

__A-1

【答案】(1)AB=2h-a，£8=-铲+2万；(2)t=—.

【解析】

20

(1)根据向量线性运算，结合线段关系，即可用之,分别表示向量荏，丽；

(2)用£石分别表示向量丽，EB，由平面向量共线基本定理，即可求得f的值.

【详解】

1__I__

(1)由题意，为3c的中点，AE=—EC,可得A£1=§AC,AC=a»AD=b-

,:AB+AC=2ADf

,,48=2b—a，

：・EB=AB-AE

=2b-a--a

3

=--a+2b

3

(2)\'AF=tAD=tb^

,•FB=AB—AF

=-a+(2-t^b

—,4——

'