高中数学必修知识点总集

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高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性；

2.元素的互异性；

3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不

是

这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合

时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它

们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：｛…｝如｛我校的篮球队员｝，｛太平洋，大西洋,印度洋，北冰洋｝

1.用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,5｝

2.集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素,

就说a属于集合A记作a£A,相反，a不属于集合A记作

aA

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确

定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法：①语言描述法：例：{不是直角三角

形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xRx-3>2}或{x!x-3>2}

4、集合的分类：

1.有限集含有有限个元素的集合

2.无限集含有无限个元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系一子集

注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

B或BA反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A

2.“相等”关系（5美5,且5W5,则5=5）实例：设A={x|x2T=0}B={-1,1}“元

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素相同”

结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集

合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,即：A=B①任何

一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）③如果

AB,BC，那么AC

④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为中

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1、交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交

集.记

作ACB(读作"A交B"),即ACB=

{x|x6A,且XGB}.

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做

A,B的并集。记作:AUB(读作"A并B"),即AUB={xxGA,或xG

B).

3、交集与并集的性质：AAA=A,AA6=<b,ADB=BAA,AUA=A.AU<t>=

A,AUB=BUA.

4、全集与补集

(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即AS),由S

中所有不属于A的元素组成的

集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作：CS

即CSA={xxS且xA}

(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,

这个集合就可以看作一个全集。

通常用U来表示。

(3)性质：(l)CU(CUA)=A(2)(CUA)AA=0(3)(CUA)UA=U

四、函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合

中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就

称f：AfB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x),xGA.其

中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应

的y值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|xWA｝叫做函数的值域.

注意：如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使

这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义

域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列

不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

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(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分

都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解

集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：

(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系

决

定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为

同一函数)

(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函

数

值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具

备)

值域补充：(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值

域

都应先考虑其定义域.

(2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求

解复杂函数值域的基础。

2.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xWA)中的x为横坐标，函数值y

为纵

坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(xWA)的图象.C上每一点的坐标(x,y)

均满足函数关系y=f(x),反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点

(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),xGA}。图象C一般的是一条光滑

的连续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲

线或离散点组成。

⑵画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标

在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变

换和对称变换

(3)作用:

1、直观的看出函数的性质；

2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

3.了解区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数

轴表示.

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4.什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中

的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB

为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”

给定一个集合A到B的映射，如果aCA,bGB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元

素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是

确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的

对应关系一般是不同的；③对于映射f：A-B来说，则应满足：(I)集合A中的每一个

元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(H)集合A中不同的元素，在集合B中对

应的象可以是同一个：(III)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、

折线、离散的点等等，注意判断。

个图形是否是函数图象的依据；2解析法：必须注明函数的定义域；。3图象法：O

描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表

法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.O

注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围

里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式

不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一

个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)

分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函

数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

补充二:复合函数:如果y=f(u),(uGM),u=g(x),(xeA),则y=f[g(x)]=F(x),(x6A)

称为f、g的复合函数。例如：y=2sinXy=2cos(X2+l)

5.函数单调性

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量

xl,x2,当xl<x2时，都有f(xl)〈f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称

为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)

如果对于区间D上的任意两个自变量的值xl,x2,当xl<x2时，都有f(xl)>f(x2),

那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.1函数的单调性

是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：02必须是对于区间D

内的任意两个自变量xl,0x2；当xl〈x2时，总有f(xl)<f(x2)。

(2)图象的特点

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如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有

(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右

是下降的.

(3)函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：1任取xl,x2eD,且xl<x2；02作差f(xl)—f(x2)；03变形(通

常是因式分解和配方)。；4定号(即判断差f(xl)—f(x2)的正负)。；5下结论(指

出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)O.

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,

敏

u=g(x)增增减减

y二电)增减增减

y=flg(x)]增减减增

区间和在一起写成其并集.

2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

6.函数的奇偶性

(1)偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫做

偶函数.

(2)奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫

做奇函数.1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，注意：。函数的奇偶性是函

数的整体性

质；函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数。2由函数的奇偶性定义可

知，。函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x,则一x也一定是

定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定

义域是否关于原点对称；O

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2确定f(-x)与f(x)的关系；03作O出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-

f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(—x)=—f(x)或f(―x)+f(x)=0,则f(x)是奇函

数.

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义

域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(D再根据定义判定；

(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)土f(x)=0或f(x)/f(-

x)=±l来判定；(3)利用定理，或借助函数的图象判定.

7、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要

求

出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

(2).求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数

解

析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这

时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达

式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

8.函数最大(小)值1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值02

利用图象求函数的最大(小)值03利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果

函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递O

增，在区间［b,c］上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)

在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)

第二章基本初等函数

一、指数函数

-)指数与指数辱的运算

1.根式的概念：一般地，如果xna,那么x叫做a的n次方根(nthroot),其中

n>L且nWN*.

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.此时，a的

n次方根用符表示.式a叫做根式(radical),这里n叫做根指数(radical

exponent),a叫做被开方数(radicand).

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a的正的n

次方根用符a表示，负的n次方根用符号a表示.正的n

次方根与负的n次方根可以合并成土a(a>0).由此可得：负数没有偶

a(O)|a记|Oo次方根；0的任何次方根都a,aa0)注意：当n是奇数

时aa,当n是偶数时，

2.分数指数塞mlIn(a0,m,nN,n1)正数的分数指数哥的anam(a：

0,m,nN*,nDaaO的正分数指数某等于0,0的负分数指数某没有意义

annnnmn*m

nm

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指出：规定了分数指数'暴的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，

那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕.3.实数指数幕的运算性

质

a0,r,sR)(1)a,aa(

(a0,r,sR)(a(2a))

(a0,r,sR)(3ab).aa()

-)指数函数及其性质1、指数函数的概念：

一般地，函数ya(a0,且a1)叫做指数函数(exponentialfunction),其中x是

变量，函数的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

a>l0<a<l

觥邮

a>10<a<la>10<a<l

向xy轴面湖田曲申彝妊定货妫R

嬲频联x轴Jt方跚的直妫出

a=j

SW#,S^

tw；«(

WTW

在第一象限内的图

象魁折都特x>0,a'>ix>0.a'<i

i1

在第二象限内的图

大于

蒙娓幽都dyx<O.ax<1x<0.a'>i

i1

函数值开始增雌酸郎

图象上升趋越慢，至！JT臬T直快存

泵®走后增长速度极后减，

快；慢；

r

r

rs

rsr

r

s

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注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

(1)在［a,b］上，f(x)a(a。且a1)值域是［f(a),f(b)］或［f(b),f(a)］；

(2)若x0,则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；

(3)对于指数函数f(x)ax(a0且a1),总有f⑴a；

(4)当a1时、若xx,则f(x)f(x)；

二、对数函数

-)对数

1.对数的概念：

一般地，如果aN(a0,a1),那么数x叫做以的对数，记作：NNxlog.a为

底..(a—N底数，N—真数，一对数式)logl注意底数的限制a0,月.a23注意

对数说明：O；OaIN；OlogNx的书写格式.1常用对数：以10为底的对数

IgN；02自然对数：以无理数两个重要对数：。

底的对数的对数InN.e2.71828为

对数式与指数式的互化logNxaN对数式指数式对数底数一af界底数对数

-X—指数真数一Nf基

-)对数的运算性质

如果a0,且a1,M0,N0,那么：1O+log(MN)logMlogNM20logaM—

logaN；logN3logaMnnlogaM(nR).O

logcb注意：换底公式(a0,且a1；c0,且c1；

b0).logablogcalnlogblogblogb利用换底公式推导下面的结论；

(2).logam三)对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0,且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，

函数的定义域是(0,+8).1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注

意辨别。注意：Oxlog如：y21ogy都不是对数函数，而只能称其为对数型x525函

数.2对数函数对底数的限制：(a0,且a1).

a>l

o

xl212xaaxaxaaaaanamaab

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1、基函数定义：一般地，形如yx(aR)的函数称为基函数，其中为常数.2、

幕函数性质归纳.

(1)所有的基函数在(0,+8)都有定义，并且图象都过点(1,1)；

(2)0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间［0,)上是增函数.特别地，当

塞函数的图象下凸；当01时.，塞函数的图象上凸；1时;

(3)0时，幕函数的图象在区间(0,)上是减函数.在第一象限内，当x从右边

趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上

方无限地逼近x轴正半轴.

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0成立的实数x叫做函数

零点。yf(x)(xD)的

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)

的图

象与X轴交点的横坐标。即：方程f(x)0有实数根函数

图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.yf(x)的

3、函数零点的求法：

求函数yf(x)的零点：

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a>10<a<1a>10<a<1

骤处定义蹴(0,+8)

翻浅璃捋口丫辅夕椅

向y轴［改/彘比蒯申僦的百妫R

蛆1=0

喇攵

SrTW

腱

.v>l.log.v>00<.v<l,logx>

楣肽于0楣肽开or

0<.r<l.bgx<0x>l.k)g,r<

标都」于0标都J于。uu

1(代数法)求方程f(x)0的实数根；02(几何法)。对于不能用求根公式的方

程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数yax2bxc(a0).

1)△>(),方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点,

二次函数有两个零点.

2)△=0,方程ax2bxc0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有

个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

3）Z\V0,方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无

零点.

高一数学必修2知识点

1、圆柱是由矩形旋转得到，圆锥是由直角三角形旋转得到，圆台是由直角梯形旋转得

到，球是由半圆旋转得到.

2、中心投影的投影线相交于一点，平行投影的投影线互相平行.

3、圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是圆；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三

角形，俯视图是圆和圆心；圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；

球的三视图都是圆.

4、空间几何体的表面积：

（1）直棱柱的侧面展开图是矩形；设棱柱的高为h,底面多边形的周长为c,则直棱柱

的侧面积S直棱柱侧面积ch；

（2）正棱锥的侧面展开图是全等的等腰三角形；设正棱锥底面正多边形的边

11长为a,底面周长为c,斜高为h,则正n棱锥的侧面积S正棱锥侧面积

nahch；22

（3）正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形；设正n棱台的上底面、下底面边长分别

为a、a,对应的周长分别为c、c,斜高为h,则正n棱台的侧面积

11naahcch；S正棱台侧面积22

（4）圆柱的侧面展开图是矩形；设圆柱的底面半径为r,母线长为1,则圆柱的底面面

积为r,侧面积为2rl,圆柱的表面积S圆柱表面积2rr1；

（5）圆锥的侧面展开图是扇形；设圆锥的底面半径为r,母线长为1,则圆锥的侧面积

为rl,表面积S圆锥表面积rr1；

（6）圆台的侧面展开图是扇环；设圆台的两底面半径分别为r、r,母线长

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为1,则圆台的侧面积为rr1,表面积S圆台表面积

（7）设球的半径为R,则球的表面积S球表面积4R.

5、空间几何体的体积：2r2rr1rl；2

（1）设柱体（棱柱、圆柱）的底面积为S,高为h,则柱体的体积V柱体Sh；

1（2）设锥体（棱锥、圆锥）的底面积为S,高为h,则锥体的体积V锥体Sh；3

（3）设台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别为S、S,高为h,则台体

后

1的体积V台体hSS；3

（4）设圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的体积V圆柱rh；

12（5）设圆锥的底面半径为r,高为h,则圆锥的体积V圆锥rh；32

（6）设圆分的上、下底面半径分别为r、r,高为h,则圆台的体积

IV圆台3hr2rrr；2

43（7）设球的半径为R,则球的体积V球R.3

6、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.

7、平面的基本性质：

一公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.数学符号表

示：1,1,1

公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

数学符号表示：，，C三点不共线有且只有一个平面，使，,C公

理3、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

数学符号表示：1且1

公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.

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数学符号表示：a//b,b//ca//c

推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.

推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.

8、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或

直角）相等.

9、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的条直线平行，则该直

线与此平面平行.

数学符号表示：a,b,a//ba//

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此

平面的交线与该直线平行.

数学符号表示：a//,a,ba//b

10、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平

行，则这两个平面平行.

数学符号表示：a,b,ab,a//,b////

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.

数学符号表示：a,a//

（3）平行于同一个平面的两个平面平行.

数学符号表示：〃，〃〃

平面与平面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直

线均平行于另一个平面.

数学符号表示：〃，aa//

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.数学符号表

示：//,a,ba//b

11、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂

直，则该直线与此平面垂直.

数学符号表示：m,n,mn,1m,1n1

（2）如果两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平

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面.

数学符号表示：a//b,ab

(3)如果一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.

数学符号表示：〃，aa

直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.

数学符号表示：a,ba//b

12、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

数学符号表示：a,a

平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个

平面垂直.

数学符号表示：，b,a,aba

13、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那

么它也利这条斜线垂直.

数学符号表示：，为在内的射影,a,aa

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它与这个平面的一条斜线垂直，那么

它也和这条斜线在平面内的射影垂直.

数学符号表示：，为在内的射影,a,aa

14、求异面直线所成的角(090)的步骤：

(1)选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线.

(2)将这个角放入某一个三角形中.

(3)在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等

特殊三角形，便易求此角大小.

15、求直线与平面所成的角(090)的步骤:

(1)在斜线上找适当的点，过该点作平面的垂线，连结垂足和斜足，则斜线与射影的夹角

就是直线与平面所成的角.

(2)将这个角放入某一个三角形中.

(3)在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等

特殊三角形，便易求此角大小.

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16、求二面角的平面角(0180)的步骤：

(1)在二面角的棱上找适当的点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射

线所成的角，即为二面角的平面角.

(2)将这个角放入某一个三角形中.

(3)在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等

特殊三角形，便易求此角大小.

17、直线的倾斜角和斜率：

(1)设直线的倾斜角为0180,斜率为k,则

ktan.2

当时，斜率不存在.2

(2)当090时，k0；当90180时，k0.

(3)过1x,y,x,y的直线斜率k11222yyxx.xx2

21121

18、两直线的位置关系：

两条直线ll:yklxbl;12:yk2xb2斜率都存在，则：

(1)

(1//112klk2且blb2；2)

212111klk212当1的斜率不存在，1的斜率为0时，111

（3）11与12重合klk2且blb2.

19、直线方程的形式：

（1）点斜式：

（2）斜截式：yyOkxxO（定点，斜率存在）ykxb（斜率存在，在y轴

卜.的截距）

Page14of35

yxy,xx（两点）y（3）两点式：yyxxy2111212121

（4）截距式：ay

b1（在x轴上的截距，在y轴上的截距）

（5）•般式：xyC0

1102220、直线的交点坐标：设

1:xyC110,12:2x2yC20,则联立方程组

lxlyCl02x2yC20

（1）当方程组有惟解时，两条直线相交，此解是交点的坐标;

（2）当方程组无解时，两条直线平行；

（3）当方程组有无数组解时，两条直线重合.设

11:lxlyCl0,12:2x2yC20,贝I」：

（1）11与12相交

（2）11//1211212；Cl

2212；

(3)11与12重合C11

2212.

21、两点1X,yx,y间的距离公式

xO,y到直线1:xyC

麻小匚C

JA'B：

O的距离d

⑴点0

x.y到直线1:xC0的距离d

0C

(2)点0

xO,y到直线1:yC0的距离d

yc

(3)点0,0到直线1:xyC

JC|

，A+B，

0的距离d

23、两条平行直线xyCl0与xyC2

lc-c：|

0间的距离d

24、过直线11:lxlyCl0与12:2x2yC20交点的直线方程为

xyC

1

1

1

2x2yC20R

25、与直线1:xyC0平行的直线方程为xyD0CD与直线

1：xyC。垂直的直线方程为xyD026、中心对称与轴对称：

(1)中心对称：设点

x,y,x,y关于点x,y

1

2

2

2

1

2

2

21

xO

2

对称，则

yiy2

y20

（2）轴对称：设

1

x,y,x,y关于直线1:xyC0对称，贝I」：

1

2

a、0时，有

2

C

且yl

y

2

b、0时,有

yy

1

2

2

c

且xlx2

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yy21xlx2c>0时，有212yyl2

2C0

227、圆的标准方程：xayb

2

222r(圆心a,b，半径长为r)222圆心0,0,半径长为r的圆的方程

xyr28、点与圆的位置关系:aybr,点x,y,贝lj：

(1)当点在圆上时，x0abr；0

(2)当点在圆外时，xOabr；0

(3)当点在圆内时，xOaybr.0

27、圆的一般方程:yDxEyF0DE4F0设圆的标准方程

2002222222222222

22DE(1)当DE4F0时，表示以，22

的圆;

22DE(2)当DE4F0时，表示一个点，；22

(3)当DE4F0时，不表示任何图形.

28、直线与圆的位置关系：

设直线1:xyC0与圆C:

22xay

|A«+B/^+C|

JAQB。

br

2222,圆心到直线的距离d

xyC02方程组xaybr2,为方程组消去一元后得到的

方程的判别式，则：

(1)相交dr0方程组有两组实数解；

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(2)相切dr0方程组有一组实数解；(3)相离dr0方程组

无实数解.29、圆与圆的位置关系：

设圆C1的半径为rl,圆C2的半径为r2,则：(1)C1与C2相离(2)C1与

C2相切(3)C1与C2相交(4)C1与C2内切(5)C1与C2内含

2

2

CC

1

2

rlr2；rlr2；

CC

1

2

rr

1

2

CC

1

2

rlr2；

CC

1

2

rr

1

2

2

2

CC

1

2

rr

1

2

30、过两圆xyDlxElyFl0与xyD2xE2yF20交点的圆的方程

xyDlxElyFl

2

2

x

2

yDxE

2

2

2

yF201

当1时，即两圆公共弦所在的直线方程.

31、点a,b,c关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标：(1)关于xoy

平面的对称点坐标为a,b,c；(2)关于xoz平面的对称点坐标为a,b,c；

(3)关于yoz平面的对称点坐标为a,b,c；(4)关于x轴的对称点坐标为

a,b,c；(5)关于y轴的对称点坐标为a,b,c；(6)关于z轴的对称

点坐标为a,b,c；(7)关于原点的对称点坐标为a,b,c；32

点

x,y,zx,y,z

1

1

1

1

2

2

间的距离

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12点10,0,0,2x,y

,z间的距离12

高中数学必修3知识点

第一章.算法初步

算法的概念

1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一

类

问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

2.算法的特点：(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停

止，不能是无限的.

(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不

应当是模棱两可.

(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只

能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执

行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能

完成问题.

(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不

同的算法.

(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器

计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

1、程序框图基本概念：

-)程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明

来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必

要文字说明。

掰

罚掷起蹴辘,

起I怖

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人、Mgr/r

的规则如下:

1、使用标准的图形符号。

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向面。

3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一

个退出点的唯一符号。

4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个

结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从

上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它

是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行

算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在指定的操作后，才能接着执

行B框所指定的操作。

2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断

根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立A

框或B框之一，

不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。构

可以有多个判断框。

3、循环结构：在•些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某

一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，

显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环

结构可细分为两类:

(1)、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P

成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如

果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P

Page20of

35

耘5«瑜鹏睡出集

却田黜的E

赋值算却蛾嫉

—

硼瞌多4第成立，啦

O明"是'或丫；板洞f薄

不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

(2)、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然

后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A

框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开

循环结构。

当

直到型循环结构

INPUT“提小内容二变量

注意：1循

PRINT"提示内容”：表达式

环结构要在某个条件下

图形计算器

格式

终止

Disp“提示内容”,变量

循环，这就需要条件结构来判断。

因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。

2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用F记录循

环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步

执行的，累加一次，计数一次。

三.输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句

（1）输入语句的一般格

型

图形计算器：

格式:

____________________________J

循环结构

INPUT“提示内容客变般

式法（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可

以变化的量；

（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式;

（5）提示内容与变量之间用分号“：”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗

号“，"隔开。

2、输出语句

（1）输出语句的一般格式Page21of35

变量:=发达式