高中数学苏教版选修23教学案25随机变量的均值和方差

/

12.5陵机变量的均值和方差

第1课时离散型随机变量的均值

入门答辩——辨析问题解疑惑

新知自解——自读教材找关键

梳理主干zizf>u）（,ueK.iffiulizdugan

勿勿入口答料〃/

设有12个西瓜，其中4个重5kg,3个重6kg,5个重7kg.

问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X的取值是多少？

提示：x=5,6,7.

问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？

煌一11A

•3，4，12,

问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？

提示：5x1+6X^+7Xp^.

//////lf\i«解7〃〃

1.离散型随机变量的均值(或数学期望)

(1)定义：假设离散型随机变量X的概率分布为

X・•・

X\X2Xn

PPiP2・・•Pn

那么称x0…+x”p”为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的

概率分布的均值，记为E(X)或〃，即E(X)=〃=xim+诩2+…+从〃“.其中，》是随机变量X

的可能取值,p,是概率,pBO,i=l,2,•••,n,pi+p2H卜P"=L

(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度.

2.两种常见概率分布的均值

⑴超儿何分布：假设X〜H(〃，M,N),那么凤出=得.

(2)二项分布：假设X〜2(〃，p),那么E(X)=迎.

［归纳.升华.领悟］-------------------------<

1.随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平

均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数.

2.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是

随机变量的屡次观测值的算术平均值的稳定性，即由观测组成的随机样本的均值的稳定

值.而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值.

课

堂

突破考点总结规律

互

II动

高考为标提炼技法

把握热点考向贵在学有所悟区

$hi$fienggongi)antupozfiongnan师生共研突破更难

考点1求离散型随机变量的均值

I例1］甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑

球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.

(1)求取出的4个球均为黑球的概率；

(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

(3)设X为取出的4个球中红球的个数，求X的概率分布和均值.

［思路点拨J首先确定X的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及均值.

［精解详析］(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球"为大事A,“从乙盒内取出的2

个球均为黑球"为大事B.

由于大事A,B相互，且尸(A)=^=1,

\_x4乙

02

故取出的4个球均为黑球的概率为

I21

P(AB)-P(A)P(B)=2X5=5,

(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个

是黑球"为大事C,

“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑

球”为大事。

由于大事C,。互斥，且詈=R,

ClC?1

P(所己•Cl=5-

故取出的4个球中恰有1个红球的概率为

417

P(C+D)=P(O+尸(。)=百+§=正.

(3)X可能的取值为0,1,2,3.

17

由(1),(2)得P(X=0)=5，P(X=1)=石,

稣=3)噜•表4.

3

从而P(X=2)=1-P(X=O)-P(X=1)-P(X=3)=6.

所以X的概率分布为

X0123

2731

p

5I5w30

故X的均值

!7317

£(X)=OX-+1X运+2Xm+3X而=4.

［一点通］求离散型随机变量X的均值的步骤：

(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；

(2)求X取每个值的概率；

(3)写出X的概率分布表(有时可以省略)；

(4)利用定义公式E(X)=X\p\^-X2P2^------\-Xnpn求出均值.

“〃/数粮集钝'〃/〃

1.(广东高考)离散型随机变量X的分布列为

X123

331

P

5ToTo

那么X的均值E(X)=.

3313

解析：E(X)=1X-+2X-+3X—

3

答案：乙

2

2.假设对于某个数学问题，甲、乙两人都在讨论，甲解出该题的概率为东乙解出该题

的概率转4，设解出该题的人数为X,求及X).

解：记“甲解出该题”为大事A,“乙解出该题”为大事B,X可能取值为0,1,2.

P(X=0)=P(AB)=P(A>P(B)

P(X=1)=P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B)+P(A)P(B)

248

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=3X5=]7-

所以，X的分布列如下表：

X012

128

p

155

„1,2,822

故E(X)=OX—+1X-+2X—=—

超几何分布及二项分布的均值

［例2］甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率尺，乙每次击中目标的概率为

2

东记甲击中目标的次数为X,乙击中目标的次数为K

(1)求X的概率分布；

(2)求x和y的均值.

［思路点拨］甲、乙击中目标的次数均听从二项分布.

［精解详析］(i)p(x=o)=c§a=〃；

P(X=l)=cg|=|；

P(X=2)=C壮)=|；

P(X=3)=C：W)=/

所以X的概率分布如下表：

X0123

1331

P

8888

1331

⑵由(1)知E(X)=OX-+1X^+2X-+3XQ,

oooo

或由题意X〜43,£),y〜B(3,I),

12

所以E(X)=3X］,E(y)=3Xg=2.

I一点通］超几何分布和二项分布是两种特别的而且应用相当广泛的概率分布，解题时

假如能发觉是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出概率分布，求出均值.

〃〃，题做臬•钟'〃〃

3.某运发动投篮命中率为p=06

(1)求一次投篮时命中次数X的均值；

(2)求重复5次投篮时，命中次数y的均值.

解：(1)投篮一次，命中次数X的概率分布如下表：

X01

P

那么E(X)=p=0.6.

(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数y听从二项分布，即-2(5,).

那么E(Y)=叩=5X0.6=3.

4.一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球.现从箱子中一次性摸出

3个球，每个球是否被摸出是等可能的.

(1)求至少摸出一个白球的概率；

(2)用X表示摸出的黑球数，写出X的概率分布并求X的均值.

解：记“至少摸出一个白球”为大事A,那么大事A的对立大事4为“摸出的3个球

中没有白球"，

Ci1

那么P(A)=点=与

4

P(A)=1—P(A)=g,

.4

即至少摸出一个白球的概率等于亍

(2)X的全部可能取值为0,1,2,3.

G1Ci•C59

噂=0)=温=而，P(x=l)=-^-=而，

C?•Cl9C51

P(X=2)=-^―=而，RX=3)=而=4-

X的概率分布为

X0123

1991

P20202020

199133

所以E(X)=0X—+1XTT+2X—+3XTT=~,即X的数学期望为(

均值的实际应用

［例3］甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人竞赛，另一人当裁判，每局竞赛结束

时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为去各局竞赛的结果相互，第

1局甲当裁判.

(1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值.

［思路点拨1(1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参与竞赛且负.

(2)X的取值为0,1,2.

［精解详析］(1)记Ai表示大事“第2局结果为甲胜"，A2表示大事“第3局甲参与竞

赛，结果为甲负"，

A表示大事“第4局甲当裁判”.

那么A=A\•A2.

P(A)=P(AI•A2)=P(AI)P(A2)=1.

(2)X的可能取值为0,1,2.

记A3表示大事“第3局乙和丙竞赛时，结果为乙胜丙"，囱表示大事”第1局结果为

乙胜丙"，B2表示大事''第2局乙和甲竞赛时，结果为乙胜甲"，治表示大事''第3局乙

参与竞赛时，结果为乙负".

那么P(X=O)=P(Bi•良•4)=尸(BI)P(B2)P(A3)=4,P(X=2)=P(囱•&)=尸(豆i)P(&)

O

=不

P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-0-7=1，

o4o

9

E(X)=()•P(X=0)+1•P(X=1)+2・P(X=2)=［

o

［一点通］解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的学问去

分析相应各大事可能性的大小，并列出概率分布表，最终利用有关的公式求出相应的概率及

均值.

〃〃，罪做臬■到“〃/

5.某保险公司新开设了一项保险业务，假设在一年内大事E发生，该公司要赔偿。元,

设一年内E发生的概率为p,为使公司收益的均值等于。的10%,公司应要求投保人交多少

保险金？

解：设保险公司要求投保人交x元保险金，以保险公司的收益额X作为随机变量，那

么不难得出其^率分布表如下：

XXx-a

pl-pP

由上述概率分布表可求得，保险公司每年收益的均值为

E(X)=x{\-p)-\-(x—d)p=x-ap,

由题意可知x—“pa,解得x=(0.1+p)a.

即投保人交(0.1+p)a元保险金时，a.

6.现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为本每命中一次得1

分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为昌命中得2分，没有命中得0分.该

射手每次射击的结果相互.假设该射手完成以上三次射击.

(1)求该射手恰好命中两次的概率；

(2)求该射手的总得分X的概率分布及均值.

解：(1)记''该射手恰好命中两次”为大事4,“该射手第一次射击甲靶命中"为大事8,

“该射手其次次射击甲靶命中”为大事C,“该射手射击乙靶命中“为大事D

32

由题意知，P(B)=P(C)=a，P(.D)=-j,

所以P(A)=P(BC5)+尸(B^£>)+P(万CD)

=P(B)尸(C)P(Q)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)

232_2_

X=

343l6"

(2)依据题意，X的全部可能取值为0,1,2,3,4.

P(X=0)=P(BCD)=X■aX

P(X=l)=P(BCD)+P(BC5)=1xfl-7)X

P(X=2)=P(3C万)+P(万力0=卜*(1一|)+0—5义(1一3义|=*

__3(3、2(3A321

P(X=3)=P(BCD)+P(BCE>)=4X^l-4jX-+^l-^X-X-=-

3323

P(X=4)=P(8CD)=jXjXQ=

故X的概率分布是

X01234

11113

P

4884848

11111317

所以E(X)=OX—+1X-+2X—+3XT+4X-=—.

4oo4o4oO

［方法•规律•小结〉

1.求随机变量X的均值，关键是正确求出X的分布列，在求X取每一个值的概率时，

要联系概率的有关学问，如古典概型、互斥大事的概率、大事的概率等.

2.对于aX+6型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX+8)=aE(X)+b；也可

以先列出aX+b的概率分布表，再用均值公式求解，比拟两种方式明显前者较便利.

训

练

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提

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课下力量提升(十五)

一、填空题

1.随机变量X的概率分布为

X-2-1012

1

Pm

43520

那么E(X)=.

解析：由随机变量分布列的性质得，；+!+：+，“+需=1,解得相=:,

IJJ^\J

于是，X的概率分布为

X-2-1012

1111

P

435620

所以E(X)=(—2)X^+(—1)X-+OX^+1X：+2x[j=一底.

。JU/JI/

答案.一“

口"30

2.假设随机变量X~8(〃)，且E(X)=3,那么P(X=1)=.

解析：・・・X〜5(〃，),E(X)=3,

/I=3,即〃=5.

:.P(X=1)=egXX(1—0.6)4=3X4=0.0768.

答案：0.0768

3.考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温.现有一种

[1,能够承受600度高温，

这样的材料，，假设令随机变量丫=干化40/皿小八曲一旧那么X的均值为_________.

10,不能够承受600度高温，

解析：依题意X听从两点分布，其概率分布为

X10

P

所以X的均值是£(X)=0.7.

答案：

4.设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，那么查得次品数的均值为

解析：设取得次品数为X(X=0,1,2),

那么尸(X=0)=署=卷P(X=1)=黑=高

。途=2)=品+

7713

.'.ECYJ=OX—+1X—+2X—=-

3

答案2

5.(湖北高考改编)如下图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的

小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X,那么X的均值

E(X)=.

解析：X的取值为0,1,2,3且P(X=0)=叵,

54368

P(X=1)=m，P(X=2)=市，P(X=3)=市，

故£(X)=0X—+1X—+2Xj^+3X-

答案：|

二、解答题

6.两名战士在一次射击竞赛中，战士甲得1分，2分，3；战士乙得1分，2分，3,0.6,

0.3,那么两名战士中获胜盼望较大的是哪一个？

解：设这次射击竞赛中战士甲得x分，战士乙得y分，那么它们的概率分布如下：

依据均值公式，得

E(X)=1XO.4+2XO.1+3X,

E(r)=lX0.1+2X0.6+3X0.3=2.2.

'：E(Y)>E(X),

这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的盼望也较大.

7.一接待中心有A,B,C,。四部热线，某一时刻A,B,C,D,各部是

否占线相互间没有影响，假设该时刻有X部占线，试求随机变量X的概率分布和它的均

值.

解:「(MX2,

p(x=D=cix2x2+cix2xX,

P(X=2)=C?X2X2+CiC!X2XX+C2X2X2,

P(X=3)=QX2XX+ClCzX2X2,

P(¥X2=0.04.

于是得到X的概率分布列为

X01234

P

所以£(X)=0X0.09+1X0.3+2X0.37+3X0.2+4X=1.8.

8.某种工程的射击竞赛，开头时在距目标100m处射击，假如命中记3分，且停止射

击；假设第一次射击未命中，可以进行其次次射击，但目标已在150m处，这时命中记2

分，且停止射击；假设其次次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m处，

假设第三次命中那么记1分，并停止射击；假设三次都未命中，那么记0分，且竞赛结束.射

手甲在100m处击中目标的概率为去他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击

都是的.

(1)求射手甲在这次射击竞赛中命中目标的概率；

(2)求射手甲在这次射击竞赛中得分的均值.

解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为大事A,B,C,三次都未击中目标为大

事。，依题意P(A)=g,

设在xm处击中目标的概率为尸(x),

k1k

那么P(x)=季，且］=砺，

.•/=5000,即4的=驾坦,

50002

P(B)=

150291

小50001

P(C)=200r=3'

17749

P<D)=2X9X8=l44-

由于各次射击都是相互的，

，该射手在三次射击中击中目标的概率

P=P(A)+P(AB)+P(A^O

=P(A)+P(A)-P(B)+P(A)-P(B)-P(C)

W+(l-捐+(1-分(1-1)《=翳

(2)依题意，设射手甲得分为X,那么P(X=3)=；,

]211717

P(X=2)=]Xg=g,p(X=\)=-X-X-=—f

八49

P(X=O)=前

1174925585

所以E(X)=3X-+2X-+1X—+0X—=-^=-

第2课时离散型随机变量的方差和标准差

预

习

入门答辩——辨析问题解疑惑

导

*

引

新知自解——自读教材找关键

区

zizfiuK.uCK.1shutizfiugan自主学习梳理主干

〃人口答薜

A,8两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时;出次品的概率如下表:

A机床

次品数X10123

P

3机床

次品数Xi0123

P

问题1：试求E(Xi),E(X2).

提示：E(Xt)=0X0.7+1X0.2+2X0.06+3X0.04=0.44.E(X2)=0X0.8+1X0.06+

2X0.04+3X0.10=0.44.

问题2:由E(Xi)和E(X2)的值说明白什么？

提示：E(Xt)=E(X2).

问题3：试想利用什么指标可以比拟加工质量？

提示：样本方差.

//////6解"〃/

1.离散型随机变量的方差和标准差

(1)离散型随机变量的方差

①定义：设离散型随机变量X的均值为〃，其概率分布为

•••

XXIX2Xn

・・・

PPiP2Pn

那么(加一")2m+(及—----Hx”一(其中mN0,/=!.2,…，n,pi+p2H-…

+p〃=l)称为离散型随机变量X的方差，也称为X的概率分布的方差，记为VVO或近.

2

②变形公式：v(x)=y^Pi-u.

产।

③意义：方差刻画了随机变量x与其均值〃的平均偏离程度.

(2)离散型随机变量的标准差

X的方差WX)的算术平方根称为X的标准差，即。的).

2.两点分布、超几何分布、二项分布的方差

(1)假设X〜0—1分布，那么V(X)=p(l-p);

…，nM(N—M)(N—〃)

(2)假m设X〜//(〃，M,N),那么叭X)=N1N—\)；

(3)假设X〜B(n,p),那么V(X)=np(\-p).

［归纳.升华.领悟］---------------------------------------

1.随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集

中与离散程度.丫(为越小，稳定性越高，波动越小.

2.随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常

数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差那么是随机变量，它是随样本不同而变化

的.对于简洁随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差.

课

堂

规律

总结

考点

互突破

I

动I

为标

高考

技法

区提炼

考向

热点

把握

所悟

学有

贵在

nan

ftong

upoz

ant

gongy

skeng

sfii

重难

突破

共研

师生

算

的计

准差

和标

方差

1

考点

布为

概率分

X的

变量

随机

［例1］

0

X

X

1

2

P