2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z+3−2i=4+i，则z等于(

)A.1+i B.1+3i C.−1−i D.−1−3i2.下列向量中与a=(2,−3)共线的是(

)A.(13,12) B.(−3.下列说法正确的是(

)A.以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥

B.以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台

C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面

D.圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高4.在△ABC中，AB=3，A=45°，C=75°，则BC=(

)A.3−3 B.2 C.25.已知向量a，b满足a=(1,−3)，a⋅A.2 B.3 C.4 D.66.如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线BE1=25A.33+24

B.123+16

7.在锐角三角形ABC中，43S−2bc=a2−(b−c)2A.(23,3+3] B.(3,28.某同学打算测量一座塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进20米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，那么在下列选项中，塔高最接近(    )米.(参考数据：3≈1.7，

A.31.33 B.31.94 C.32.45 D.33.21二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是(

)A.|z1|=|z2| B.z10.在图示正方体中，O为BD中点，直线A1C∩平面C1BD=M，下列说法正确的是A.A，C，C1，A1四点共面

B.C1，M，O三点共线

C.M∈平面BB1D

11.《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).图中的曲池，AA1垂直于底面，AA1=5，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，A.弧AD长度为3π2

B.曲池的体积为10π3

C.曲池的表面积为10+14π

D.三棱锥A−C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，两块斜边长均为2的直角三角板模具拼在一起，则OD⋅BA=

13.如图，直角梯形ABCD是某个多边形的斜二测直观图，∠ABC=45°，AD=DC=1，DC⊥BC，则该多边形原本的面积为______．

14.如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为3km，高为315km，B是母线SA上一点，且AB=7km.现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为______千米．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=7，b=3且3sinC=5sinB．

(1)求c；

(2)求A的大小及△ABC的面积．16.(本小题15分)

已知A(−2,1)，B(−1,3)，C(3,4)，AD=(1−λ)AB+λAC，λ∈R．

(1)若点D在第一、三象限的角平分线上，求λ的值；

(2)若点D为线段BC17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形，M，N，Q，S分别为PC，CD，AB，PA的中点．

(1)求证：平面MNQ/​/平面PAD；

(2)求证：NS//平面PBC．18.(本小题17分)

Ⅰ.四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：

(1)如图，A，B，C，D四点共圆，BD为外接圆直径，CB=CD，∠ACD=30°，AB=4，求BD与AC的长度；

Ⅱ.古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：

①(托勒密定理)任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．

②(婆罗摩笈多面积定理)若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．

根据上述材料，解决以下问题：

(2)见图1，若AB=2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD，求线段BD长度的最大值；

(3)见图2，若AB=2，BC=6，AD=CD=4，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出此时四边形ABCD的面积．19.(本小题17分)

我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对(z1,z2)(z1,z2∈C)视为一个向量，记作α=(z1,z2).类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量α=(z1,z2)，β=(z3,z4)的数量积记作α⋅β，定义为α⋅β=z1z3−+z2z4−；复向量α的模定义为|α|=α⋅α．

(1)设α=(3,4)，β=(1−i,i)，求复向量α与β的模；

(2)已知对任意的实向量参考答案1.B

2.B

3.D

4.A

5.D

6.C

7.C

8.A

9.ABC

10.ABD

11.AD

12.1

13.314.1441315.解：(1)由正弦定理可得bsinB=csinC，

又3sinC=5sinB，

所以3c=5b，

又b=3，

所以c=5；

(2)由余弦定理cosA=b2+c2−a22bc=16.解：(1)由A(−2,1)，B(−1,3)，C(3,4)，

可得AB=(1,2)，AC=(5,3)，又AD=(1−λ)AB+λAC，

则AD=(1−λ)(1,2)+λ(5,3)=(4λ+1,λ+2)，

故D(4λ−1,λ+3)，

若点D在第一、三象限的角平分线上，

则有4λ−1=λ+3，解得λ=43；

(2)若点D为线段BC的一个三等分点，则有BD=13BC或BD=23BC，

若BD17.证明：(1)连接MN，QN，QM，

因为M，N，Q，S分别为PC，CD，AB，PA的中点，

所以QN//AD，MN/​/PD，

因为AD⊂平面PAD，QN⊄平面PAD，

所以QN/​/平面PAD，

同理可得MN/​/平面PAD，又因为QN∩MN=N，

所以平面MNQ/​/平面PAD；

(2)连接SQ，SN，

S为PA的中点，所以SQ//PB，QN/​/BC，

PB⊂平面PBC，SQ⊄平面PBC，

所以SQ//平面PBC，

同理可得QN/​/平面PBC，又因为QN∩SQ=Q，

所以平面SQN//平面PBC，

NS⊂平面SQN，

所以NS//平面PBC．

18.解：(1)因为BD为外接圆直径，CB=CD，∠ACD=30°，AB=4，

由同弧所对的圆周角相等，可得∠ABD=∠ACD=30°，∠ADB=60°，

∠CDB=∠CBD=45°，所以∠ADC=105°，

而sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=22(12+32)=6+24，

所以BD=ABcos30∘=432=833，

AD=33AB=433，

在△ACD中，由正弦定理可得ACsin∠ADC=ADsin∠ACD，

即AC=sin∠ADCsin∠ACD⋅AD=sin105°sin30∘⋅433=6+2412×433=62+263；

即BD=833，AC=62+263；

(2)由托勒密定理及图19.解：(1)因为α=(3,4)，所以α⋅α=3×3+4×4=25，所以α的模为|α|=5；

因为β=(1−i,i)，所以β⋅β=(1−i)(1−i)+i⋅i−=(1−i)(1+i)+i⋅(−i)=2+1=3，可得β的模为|β|=3．