空间中直线、平面的平行+高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第1章空间向量与立体几何1.4.1.2空间中直线、平面的平行人教A版2019选择性必修第一册情景导入牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物，

一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢?1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.核心素养：数学抽象逻辑推理直观想象学习目标自主学习知识点1直线和直线平行设u₁,u₂分别是直线l₁

,l₂的方向向量，则l₁

//l₂-u

₁//u

₂

⇔3λ∈R,使得u₁=

λu,.注意点：(1)此处不考虑线线重合的情况.(2)证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算利用向量共线的充要条件证明.②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示.知识点2直线和平面平行设u是直线的方向向量，n是平面α的法向量，l4a,

则1//a=u_

u·n=0.注意点：(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)特别强调直线在平面外.知识点3平面和平面平行设n₁,n₂

分别是平面α,β的法向量，则a//β=

n₁//n

₂

→3λ∈

R,

使

得n₁=λn

₂.问题1如何借助空间向量证明直线和直线平行?问题2如何借助空间向量证明直线和平面平行?合作探究合作探究探究点1直线和直线平行例

1在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中

，AB=3,AD=4,AA₁=2,BB₁上，且BM=2MB₁

,点S在DD₁

上，且SD₁

=2SD,

点N,R

BC的中点.求证：MN//RS.点M在棱分别为A₁

D₁证明方法一如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得

N(0,2,2),R(3,2,0),

则MN,RS

分别为MN,RS

的方向向量，所

,2,2),

7所以MN=RS,

所以MN//RS,

因为M≠RS,所以MN//RS.所以MN=Rs,所以MN//RS.又R∈MN,所以MN//RS.方

法

二

设AB=a,AD=b,AA₁=c,教师点评利用向量证明线线平行的思路证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.跟踪训练

如图所示，在正方体ABCD-A₁

B₁C₁

D₁

中

，E,F

分别为DD₁

和BB₁的中点.求证：四边形AEC₁F是平行四边形.C₁证明以点D

为坐标原点，分别以DA,DC,DD₁所在直线为x轴

，y轴

，轴建立空间直角坐标系，则AE,FCi,EC,AF分别为直线AE,FC,EC₁

,AF

的方向向量，不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),,C₁(0,1,1),■∴AE=FC₁,EC₁=AF,∴AE//FC₁,EC₁//AF,又∵FEAE,F∈EC₁,∴AE//FC1,EC₁//AF,∴四边形AEC₁F是平行四边形.探究点2直线和平面平行例2在四棱锥P-ABCD

中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.证明：PA//平

面EDB.PD=DC=a.连接AC,交BD于点G,连接EG,依题意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),证明如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设方法

一

设平面BDE的法向量为n=(x,y,

z),则有B(所以n.PA=(1,-1,1)·(a,0,-a)=a-a=0.所以n⊥PA.又PA4平面EDB,所以PA//

平面EDB.令z=1,贝

又A=(a,0,-a),所以n=(1,—1,1),方法二因为四边形ABCD

是正方形，所以G

是此正方形的中心，故点G的坐标又PA=(a,0,-a),所以PA=2EG,这表明PA//EG.而EGc

平面EDB,且PA4平面EDB,所以PA//

平面EDB.所以A=-DE+EB,

又PAd平面EDB,所以PA//

平面EDB.方法三假设存在实数λ,μ使得PA=λDE+μEB,则

解变式探究如图，在四棱锥P-ABCD中

，PA⊥底面ABCD,

底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°,

.问：在棱PD上是否存在一点E,

使

得CE//平面PAB?若存在，求出E

点的位置，若不存在，请说明理由.解分

别以AB,AD,AP

所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0).假设在棱PD上存在符合题意的点E,设

E(0,y,z),则PE=(0,y,z-1),PD=(0,2,

一1).∵PE//PD,∴—y-2(z—1)=0.∵AD=(0,2,0)是平面

PAB的法向量，CE=(-1,y-1,z),∴由CE//平面PAB,

可得CE⊥AD.①∴(一1,y-1,z)·(0,2,0)=2(y—1)=0.∴y=1,

代入①式得∴E是PD

的中点，即存在点E

为PD的中点时，CE//

平面PAB.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示.(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.教师点评EF//BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,GAB//平面DEG.跟踪训练

在如图所示的多面体中，EF⊥

平面AEB,AE⊥EB,AD//EF,是BC

的中点，求证：平面AEB,BEc平面AEB,所在直线分别为x轴

、y

轴、z

轴建立如图证

明

∵EF⊥平面AEB,AEc∴EF⊥AE,EF⊥BE.又∵AE⊥EB,∴EB,EF,EA

两两垂直.以点E为坐标原点，EB,EF,EA所示的空间直角坐标系.由已知得，A(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,2),G(2,2,0),∴ED=(0,2,2),EG=(2,2,0),AB=(2,0,-2).设平面DEG的法向量为n=(x,y,z),令y=1,得z=—1,x=—1,则n=(一1,1,一1),∴AB·n=-2+0+2=0,

即AB⊥n.∵AB4平面DEG,∴AB//

平面DEG.即探究点3平面和平面平行例3

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,E,F

分别是BB₁

,DD₁的中点，求证：平面ADE//平面B₁C₁F.证明

建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,0),C₁(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B₁(2,2,2),所以FC₁=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1),C₁B₁=(2,0,0),设n₁=(x₁,y1,z₁

)是平面ADE

的法向量，则n₁

⊥DA,n₁⊥AE,即

令z₁=2,

则y₁=—1,所以可取n₁=(0,

一1,2).同理，设n₂=(x₂,y₂,z₂)是平面B₁C₁F的一个法向量.解令z₂=2,

得y₂=—1,所以n₂=(0,—1,2).因为n₁=n₂,

即

n₁//n₂,所以平面ADE//

平面B₁C₁F.由n₂⊥FC₁,n₂⊥C₁B,教师点评证明面面平行问题的方法(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.跟踪训练如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁梯

形

，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,AA₁=2,F中，底面ABCD为等腰是棱AB的中点.求证：平面AA₁D₁D//平面FCC₁

.因为ABCD为等腰梯形，AB=4,BC=CD=2,所以∠BAD=∠ABC=60°取AF的中点M,

连接DM,则DM⊥AB,

所以DM⊥CD.以D为原点，DM,DC,DD₁所在直线为x轴

，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则

D(0,0,0),D₁(0,0,2),A(√3,—1,0),F(√3,1,0),C(0,2,0),Ci(0,2,2),所以DD₁=(0,0,2),DA=(√3,-1,0),CF=(√3,-1,0),CC₁=(0,0,2),证明

因

为AB=4,BC=CD=2,F所以BF=BC=CF,所以△BCF

为正三角形.是棱AB

的中点，所以DD₁//CC,DA//CF,又DD₁∩DA=D,CC₁∩CF=C,DD₁,DAc平面AA₁D₁D,CC₁

,CFc

平面FCC₁,所以平面AA₁D₁D//平面FCC₁

.l₁//l₂,

则A.x=6,y=15

B.x=3,C.x=3,y=15

Vx

=6,当堂训练1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l₁

,l₂

的方向向量，若解析由题意得，∴x=6,

2.(多选)若直线的方向向量为a,

平面α的法向量为n,能

使l//α的

是A.a

=(1,0,0),n=(0,-2,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)-Da=(1,-1,3),n=(0,3,1)解

析

若l//a,则a·n=0.而A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=—1,D中a·n=—3+3=0.3.设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2

,-2),v=(-3,-6,6),的位置关系为_

平

行.解

析∵v=—3(1,2,

一2)=—3u,∴a//β.则α

,4.已知直线1//平面ABC,且1的一个方向向量为a=

(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0)