中考数学模拟试卷含解析 (三)

湖北省黄石市中考数学模拟试卷（解析版）

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1.4的算术平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.16

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.角B.等边三角形C.平行四边形D.圆

3.我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，"PM2.5”是指大气中危

害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米.用科学记数法表示

0.0000025为（）

A.2.5X105B.2.5X105C.2.5X106D.2.5X106

4.将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的直角边和含45。角的三角板的一条直

角边重合，则/I的度数为（）

A.60°B.75°C.65°D.70°

5.下列运算正确的是（）

A.a2*a3=a6B.a84-a4=a2C.a3+a3=2a6D.（a3）2=a6

6.一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是

7.如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同,

而另一个不同的几何体是（）

①,正方体②国柱③园锥④球

A.①②B.②③C.②④D.③④

8.如图，AABC内接于半径为5的。O,圆心O到弦BC的距离等于3,则/A的正切值

34

A亏B?c7

9.四川雅安地震期间,为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷,

若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（）

A.4种B.11种C.6种D.9种

10.在如图所示的棱长为1的正方体中，A、B、C、D、E是正方体的顶点，M是棱CD的

中点.动点P从点D出发，沿着D玲A玲B的路线在正方体的棱上运动，运动到点B停止运

动.设点P运动的路程是x,y=PM+PE,则y关于x的函数图象大致为（）

A

二、认真填一填：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）

11.分解因式：（2a+l）2-a2=.

12.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=2x+l的图象经过Pi（xi，yi）、P2（x2,y2）

两点，若xi<X2，则yiy2.（填"或"="）

13.如图，在AABC中，ZACB=90°,ZABC=30",AB=2.将AABC绕直角顶点C逆时

针旋转60。得△ABC,则点B转过的路径长为.

14.如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关

A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是.

15.如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，OC的圆心坐标为（2,O）,

半径为2,若D是。C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,则4ABE面积的最小值和

最大值分别是.

16.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（1,0）,（0,1）,（-1,

0）.一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点Pi.使得点Pi与点O关于点A成

中心对称；第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点

P3,使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点

A成中心对称；第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重

复下去，则点P7的坐标是，点P的坐标为.

三、全面答一答（本题有9个小题，共72分）

17.（7分）计算：管-51+2cos30°+^）-1+）°点.

22

aba+bV3M

18.（7分）化简求值：a-ba+b）a-，其中a=l-,b=l+.

19.（7分）如图，在aABC中，AB=AC,以AB为直径的。0分别与BC,AC交于点D,

E,过点D作。O的切线DF,交AC于点F.

（1）求证：DF_LAC；

（2）若。O的半径为4,ZCDF=22.5°,求阴影部分的面积.

21.（8分）某中学为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问

卷调查.问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选.同时把调查

得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）.请根据图中提供的信

息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？通过计算补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，"公交车”部分所对应的圆心角是多少度？

（3）若全校有1600名学生，估计该校乘坐私家车上学的学生约有多少名？

»费（人）

28

24

20

16

12

8

4

0

自

步

行

行

车

22.（8分）如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD,台阶每层图0.2米，且AC=17.2

米，设太阳光线与水平地面的夹角为a,当a=60。时，测得楼房在地面上的影长AE=10米,

现有一-只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳.小取1.73）

（1）求楼房的高度约为多少米？

（2）过了一会儿，当a=45。时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.

耳

*

,_$、.」—二~]

AECD

23.（8分）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承

包了种植蔬菜和水果的任务.小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的

函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图

②所示.

（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是一元，小张应得的工资总额是一

元，此时，小李种植水果一亩，小李应得的报酬是一元；

（2）当10<nW30时，求z与n之间的函数关系式；

（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10<mW30时，求\¥与!!1之间的

函数关系式.

24.（9分）阅读材料

如图①，ZXABC与4DEF都是等腰直角三角形，ZACB=ZEDF=90°,且点D在AB边上，

AB、EF的中点均为0,连结BF、CD、CO,显然点C、F、。在同一条直线上，可以证明

△BOF^ACOD,贝［JBF=CD.

解决问题

（1）将图①中的Rt^DEF绕点。旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，

并证明你的结论；

（2）如图③，若AABC与4DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为0,上述（1）中

的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

（3）如图④，若aABC与4DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0,且顶角NACB=

BF

NEDF=a，请直接写质的值（用含a的式子表示出来）

V3.

25.（10分）M为双曲线厂工上的一点，过点M作于点D、C两点，右直线y=-x+m与

y轴交于点A,与平移后与双曲线丫哼交于P、Q两点，且PQ=",求平移后m的值.

（3）若点M在第一象限的双曲线上运动，试说明AMPQ的面积是否存在最大值？如果存

在，求出最大面积和M的坐标；如果不存在，试说明理由.

湖北省黄石市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1.4的算术平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.16

【考点】算术平方根.

【分析】根据乘方运算，可得一个数的算术平方根.

【解答】解：；22=4,

I=2,

故选：A.

【点评】本题考查了算术平方根，乘方运算是解题关键.

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.角B.等边三角形C.平行四边形D.圆

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【分析】根据轴对称及中心对称的定义，结合选项所给图形的特点即可作出判断.

【解答】解：A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C、平行四边形不轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

D、圆既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确；

故选D.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴,

图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

3.我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，"PM2.5”是指大气中危

害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米.用科学记数法表示

0.0000025为（）

A.2.5X105B.2.5X105C.2.5X106D.2.5X106

【考点】科学记数法一表示较小的数.

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXl（rn,与较大数

的科学记数法不同的是其所使用的是负指数哥，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面

的0的个数所决定.

【解答】解：0.0000025=2.5X10-6,

故选：C.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为aXlO?其中iw|a|<10,n

为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的直角边和含45。角的三角板的一条直

角边重合，则N1的度数为（）

A.60°B.75°C.65°D.70°

【考点】三角形内角和定理.

【分析】根据三角形的内角和求出N2=45。，再根据对顶角相等求出N3=N2,然后根据三角

形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可.

【解答】解：；/2=90。-45。=45。（直角三角形两锐角互余），

，/3=/2=45°,

/1=/3+30°=45°+30°=75°.

故选B.

【点评】本题考查的是三角形的内角和，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与

它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.

5.下列运算正确的是()

A.a2*a3=a6B.a8-ra4=a2C.a3+a3=2a6D.(a3)2=a6

【考点】同底数幕的除法；合并同类项；同底数塞的乘法；暴的乘方与积的乘方.

【分析】分别根据合并同类项、同底数募的乘法和除法、幕的乘方法则进行计算即可.

【解答】解：A、a2.a3=a5^a6,故A选项错误；

B、a8-i-a4=a4#:a2,故B选项错误；

Ca3+a3=2aM2a6,故C选项错误；

D、（a3）2=a3X2=a6,故D选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了合并同类项，同底数暴的乘法，同底数塞的除法，塞的乘方，熟练掌握

运算法则是解题的关键，合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的次数不变.

6.一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是

()

11

【考点】几何概率.

【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面

积的比值.

【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（3块）的面积占总面积（9块）y,故其概率

7•

故选：A.

【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影

区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件

（A）发生的概率.

7.如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同,

而另一个不同的几何体是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【考点】简单几何体的三视图.

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形,

分别得到每个几何体的三视图，进而得到答案.

【解答】解：正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形；

圆柱主视图和左视图是长方形，俯视图是圆；

圆锥主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆；

球主视图、左视图、俯视图都是圆，

故选：B.

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置.

8.如图，AABC内接于半径为5的。0,圆心0到弦BC的距离等于3,则NA的正切值

等于（）

3434

A亏B百cyDy

【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形.

【分析】过点。作0D_LBC,垂足为D,根据圆周角定理可得出NB0D=/A,再根据勾股

定理可求得BD=4,从而得出/A的正切值.

【解答】解：过点。作ODLBC,垂足为D,

V0B=5,0D=3,

；.BD=4,

1

ZBOC,

.•.ZA=ZBOD,

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，要熟练掌握这几个知识点.

9.四川雅安地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷,

若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（）

A.4种B.11种C.6种D.9种

【考点】二元一次方程的应用.

【分析】设6人帐篷用了x个，4人帐篷用了y个，根据题意列出方程，求出方程的解即可

得到结果.

【解答】解：设6人帐篷用了x个，4人帐篷用了y个，

,,一60-6x30-3x

根据题显得：6x+4y=60,即y------------------------,

当x=0时,y=15；

当x=2时，y=12；

当x=4时,y=9；

当x=6,y=6；

当x=8时，y=3；

当x=10时，y=0；

则不同的搭建方案有6种.

故选：C.

【点评】此题考查了二元一次方程的应用.

（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程.

（4）根据未知数的实际意义求其整数解.

10.在如图所示的棱长为1的正方体中，A、B、C、D、E是正方体的顶点，M是棱CD的

中点.动点P从点D出发，沿着D玲A玲B的路线在正方体的棱上运动，运动到点B停止运

动.设点P运动的路程是x,y=PM+PE,则y关于x的函数图象大致为（）

【考点】动点问题的函数图象.

【分析】由题意，可知y关于x的函数是分段函数，分别求出OWxWl及1<XW2时y关于

x的函数解析式，再求出端点处及每一段的最小值即可求解.

［解答］解：当0（而瓦商亚m，PEVPA2+AE2V（1-X）2+12,

.•.小2号V（l-x）2+l,

当x=0时，3理；当x=l时，yW+1；

当侧面展开图中M、P、E三点共线时，y的值最小，最小值,（1卷）2+12隼,

当（x-—）2+i,PEVPA2+AE21）2+1,

.-.y^（x-1）2+lV（x-1）2+1,

当?R.V5V2

3x=2时，+；

当侧面展开图中M、P、E三点共线时，y的值最小，最小值J昼）22迂；

:函数图象分为两段，A错误;

岩子，即第一段的最小值〈第二段的最小值，

7”噂+1噂”，即X为。时的函数值<x为1时的函数值<x为2时的函数值，

•••B、D错误；

故选C.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，注意分析y随x的变化而变化的趋势，比较四个

选项之间的区别.分别计算出两段函数的最小值是解题的关键.

二、认真填一填：(本题有6个小题，每小题3分，共18分)

11.分解因式：(2a+l)2-a2=(3a+l)(a+1).

【考点】因式分解-运用公式法.

【分析】直接利用平方差公式进行分解即可.

【解答】解：原式=(2a+l+a)(2a+l-a)=(3a+l)(a+1),

故答案为：(3a+l)(a+1).

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

12.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=2x+l的图象经过Pi(xi，yi)、P2(x2,y2)

两点，若X1<X2，则yi<、2.(填"或"=")

【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据一次函数的性质，当k>0时，y随x的增大而增大.

【解答】解：..•一次函数y=2x+l中k=2>0,

；.y随x的增大而增大，

Vxi<x2,

*'"yi<y2-

故答案为：<.

【点评】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b,当k>0时，y随

x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小.

13.如图，在AABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AB=2.将AABC绕直角顶点C逆时

针旋转60。得△A，B，C,则点B转过的路径长为看」L

0

【考点】旋转的性质；弧长的计算.

【分析】先在AABC中利用NABC的余弦计算出BC=2cos3(r«,再根据旋转的性质得N

BCB，=60。，然后根据弧长公式计算点B转过的路径长.

【解答】解：在Z^ABC中,VZACB=90°,ZABC=30",

BC

；.cosNABC版,

MVs

BC=2cos300=2"^—=,

VAABC绕直角顶点C逆时针旋转60。得△A，B，C,

.•.ZBCBz=60°,

60•兀

...弧BB，的长一行卢等Mn.

loU3

故答案专^n.

【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段

的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了弧长的计算.

14.如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关

A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是

【考点】列表法与树状图法.

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情

况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：画树状图得:

开始

ABCD

/N/1\/Kz1\

BcDAcDABDABC

..•共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，

61

，小灯泡发光的概率为2■

故答案为E.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完

成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

15.如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，0c的圆心坐标为（2,0）,

半径为2,若D是。C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,则4ABE面积的最小值和

最大值分别是8-遮.和8+返・.

【考点】圆的综合题.

【分析】求出0A、0B值，根据已知得出求出BE的最大值和最小值即可，过A作。C的

0E'

两条切线，连接0D,0D,求出AC,根据切线性质设EQ=E，D，=x，根据sin/CAD屈7一，

代入求出x,即可求出BE的最大值和最小值，根据三角形的面积公式求出即可.

【解答】解：y=x+4,

*.*当x=0时，y=4,当y=0时，x=-4,

;.OA=4,OB=4,

VAABE的边BE上的高是OA,

/.△ABE的边BE上的高是4,

...要使4ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可,

过A作。C的两条切线，如图

当在D点时，BE最小，即AABE面积最小;

当在D，点时，BE最大，即4ABE面积最大;

：x轴J_y轴，OC为半径，

.♦.EE是。C切线，

是。C切线，

.,.OE,=E,D,,

设E'O=E'D'=x,

：AC=4+2=6,CD'=2,AD'是切线，

.•.ZADzC=90°,由勾股定理得：AD，=y,

,D’C0E，

---sinZCAD-AC皿，，

2x

64^2-x'

解得：xM,

.•.BE，=4*，BE=4'，2,

1V2

.♦.△ABE的最小值彳X(4-)X4=8-

最大值是/X(4”)X4=8+/,

故答案为：8-和8+^2.

【点评】本题考查了切线的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识点，解

此题的关键是找出符合条件的D的位置，题目比较好，有一定的难度.

16.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,1),(-1,

0).一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1.使得点P1与点O关于点A成

中心对称；第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点

P3,使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点

A成中心对称；第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重

复下去，则点去的坐标是(2,0),点P的坐标为(0,0).

V

"A

5-

【考点】规律型：点的坐标.

【分析】计算出前几次跳跃后，点Pl，P2,P3,P4,P5,P6,P7的坐标，可得出规律，继而

可求出点P的坐标.

【解答】解：点Pi(2,0),P2(-2,2),P3(0,-2),P4(2,2),P5(-2,。)，

P6(0,0),P7(2,0),

从而可得出6次一个循环，

+6=336,

.♦.点P的坐标与P6相同，坐标为(0，0).

故答案为(0,0).

【点评】本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后

点的坐标，总结出一般规律.

三、全面答一答(本题有9个小题，共72分)

17.计算:“-5|+2COS30°+4)-1+(94)。鹿.

0

【考点】实数的运算；零指数幕；负整数指数暴；特殊角的三角函数值.

【分析】本题涉及零指数暴、负整指数募、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.针

对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【解答】解：原式5-盗+2X冬3+1+2

=11.

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的

关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幕、零指数塞、二次根式、绝对值等

考点的运算.

22

aba+bMV3

18.化简求值：a-ba+b)a-b,其中a=l-,b=l+.

【考点】分式的化简求值.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形,

约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值.

a(a+b)-b(a_b)a-b

［解答］解：原式(a+b)(a-b)-a2+b2

a?+b2ai

-22

(a+b)(ab)a+b

1

a+b'

当a=l-3,b=l胃时，原式衣.

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。O分别与BC,AC交于点D,E,过

点D作。。的切线DF,交AC于点F.

(1)求证：DF±AC；

(2)若。。的半径为4,NCDF=22.5。，求阴影部分的面积.

A

q

B^=^DC

【考点】切线的性质；扇形面积的计算.

【分析】（1）连接OD,易得NABC=NODB,由AB=AC,易得NABC=NACB,等量代

换得NODB二NACB,利用平行线的判定得OD〃AC,由切线的性质得DFXOD,得出结论；

（2）连接OE,利用（1）的结论得NABC二NACB=67.5。，易得NBAC=45。，得出NAOE=90。，

利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论.

【解答】（1）证明：连接OD,

VOB=OD,

AZABC=ZODB,

「AB二AC,

・•・ZABC=ZACB,

.'.ZODB=ZACB,

・・・OD〃AC,

・・・DF是。O的切线，

.\DF±OD,

・・・DFJ_AC.

(2)解：连接OE,

VDF±AC,ZCDF=22.5°,

・・・NABC=NACB=67.5。，

ZBAC=45°,

VOA=OE,

・・・ZAOE=90°,

・・・。0的半径为4,

・.S扇形AOE=4IC,SAAOE=8，

；・S阴影=4、-8.

【点评】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作

出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键.

x2,y2

-----+------二1

515

20.解方程组W5

支丁0"

【考点】高次方程.

【分析】将方程②代入①后得关于X的一元二次方程，解方程可得X的值，再将X的值代

回方程②即可求得相应y的值，可得方程组的解.

(22

台+上=1①

【解答】解V3跖小，

②

由①得：3x2+y2=15③,

将②代入③得：3x2^(x+5)2=15,

整理，得：x2+x-2=0,即(x-1)(x+2)=0,

解得：x=l或x=-2,

将x=l代入②，得：丫=押，

将x=-2代入②，得：y盛，

.x=l卜=-2

故原方程组的解为(产2存Iy=73-

【点评】本题主要考查解高次方程组的能力，熟练掌握解方程组的消元思想是解题的根本,

灵活运用加减消元法或代入消元法是解题的关键.

21.某中学为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查.问

卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选.同时把调查得到的结果

绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）.请根据图中提供的信息解答下列

问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？通过计算补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，"公交车”部分所对应的圆心角是多少度？

（3）若全校有1600名学生，估计该校乘坐私家车上学的学生约有多少名？

“贵（人）

28X

24

2-4

20

16

12

8

4

一

0

一

自

步

行

行

车

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图.

【分析】（1）上学方式为自行车的人数除以所占的百分比，即可得到调查的学生数，根据

总人数乘以步行的百分比求出步行的人数，补全条形统计图即可；

（2）求出"公交车”所占的百分比，乘以360度即可得到结果；

（3）求出"私家车”上学的百分比，乘以总人数1600即可得到结果.

【解答】解：（1）在这次调查中一共抽取学生24・30%=80（名），"步行”的人数为：80

X20%=16（名），

26

（2）根据题意得：360。丽=117°,

答：在扇形统计图中，"公交车”部分所对应的圆心角为117。；

（3）根据题意得：1600丽=200（名），

答：估计该校乘坐私家车上学的学生约有200名.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图

中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统

计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了用样本估计总体的思想.

22.如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD,台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太

阳光线与水平地面的夹角为a,当a=60。时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只

小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳.合取1.73）

（1）求楼房的高度约为多少米？

（2）过了一会儿，当a=45。时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.

耳

a]"I

AECD

【考点】解直角三角形的应用.

ABAB

【分析】（1）在Rt/XABE中，由tan60°NE1万,即可求出AB=1在tan60°=17.3米;

（2）假设没有台阶，当a=45。时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F,与MC的

交点为点H.由/BFA=45。，可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF-AC=0.1米，CH=CF=0.1

米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳.

【解答】解：（1）当a=60。时，在Rt^ABE中，

ABAB

Vtan600AE10,

；.AB=10・tan60°=l6^10X1.73=17.3米.

即楼房的高度约为17.3米；

（2）当a=45。时，小猫仍可以晒到太阳.理由如下：

假设没有台阶，当a=45。时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F,与MC的交点为

点H.

：/BFA=45。，

AB

；.tan45。正=1,

此时的影长AF=AB=17.3米，

.\CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1米，

.\CH=CF=0.1米，

大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，

，小猫仍可以晒到太阳.

AECFD

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化

为数学问题是解题的关键.

23.某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植

蔬菜和水果的任务.小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图

①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示.

（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是140元,小张应得的工资总额

是2800元,此时，小李种植水果10亩,小李应得的报酬是1500元;

（2）当10<nW30时，求z与n之间的函数关系式；

（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10<mW30时，求w与m之间的

函数关系式.

【考点】一次函数的应用.

【分析】(1)根据图象数据解答即可；

(2)设z=kn+b(kWO),然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；

(3)先求出20cmW30时y与m的函数关系式，再分①10<mW20时，10<nW20；@20

<mW30时，0<nW10两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解.

【解答】解：(1)由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资专(160+120)

=140元，

小张应得的工资总额是：140X20=2800元，

此时，小李种植水果:30-20=10亩，

小李应得的报酬是1500元；

故答案为:140；2800；10；1500；

(2)当10<nW30时，设2=1<1^^(k=0),

:函数图象经过点(10,1500),(30,3900),

fl0k+b=1500

l30k+b=3900'

解“ffbk=31020'

所以，z=120n+300(10<nW30)；

(3)当10<mW30时，设丫=1<111+1),

•.•函数图象经过点(10,160),(30,120),

fl0k+b=160

130k+b=120'

k二一2

b二180

y=-2m+180,

Vm+n=3O,

n=3O-m,

，①当10cm(20时，10^n<20,

w=m(-2m+180)+120n+300,

=m(-2m+180)+120(30-m)+300,

=-2m2+60m+3900,

②当20<mW30时，0Wn<10,

w=m(-2m+180)+150n,

=m(-2m+180)+150(30-m),

=-2m2+30m+4500,

-2m2+60nH-3900(10<m<20)

所以‘w与m之间的函数关系式为21n2+30/4500（20<m<30）-

【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，（3）难

点在于要分情况讨论并注意m、n的取值范围的对应关系，这也是本题最容易出错的地方.

24.阅读材料

如图①，aABC与4DEF都是等腰直角三角形，ZACB=ZEDF=90°,且点D在AB边上，

AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明

△BOF^ACOD,贝UBF=CD.

解决问题

（1）将图①中的RtaDEF绕点。旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，

并证明你的结论；

（2）如图③，若AABC与4DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O,上述（1）中

的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

（3）如图④，若aABC与4DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0,且顶角NACB=

BF

NEDF=a，请直接写质的值（用含a的式子表示出来）

【考点】几何变换综合题.

【分析】(1)如答图②所示，连接OC、0D,证明ABOF也△COD；

(2)如答图③所示，连接OC、OD,证明△BOFs/^cOD,相似比塔；

_a

(3)如答图④所示，连接OC、OD,证明△BOFS^COD,相似比为.

【解答】解：(1)猜想：BF=CD.理由如下:

如答图②所示，连接OC、0D.

VAABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，

.•.OB=OC,ZBOC=90°.

「△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，

，OF=OD,ZDOF=90°.

ZBOF=ZBOC+ZCOF=90°+ZCOF,ZCOD=ZDOF+ZCOF=90°+ZCOF,

ZBOF=ZCOD.

:在△BOF与△COD中，

fOB=OC

-ZBOF=ZCOD

kOF=OD

.-.△BOF^ACOD(SAS),

.\BF=CD.

（2）答：（1）中的结论不成立.

如答图③所示，连接OC、OD.

答图③

1/AABC为等边三角形，点。为边AB的中点,

0B

OC=t,ZBOC=90°.

1/ADEF为等边三角形，点O为边EF的中点,

ZDOF=90°.

QBOFV3

OC0D~

ZBOF=ZBOC+ZCOF=90°+ZCOF,ZCOD=ZDOF+ZCOF=90°+ZCOF,

/.ZBOF=ZCOD.

在ABOF与△COD中,

OBOFV3

OCODV,ZBOF=ZCOD,

.'.△BOF^ACOD,

BF返

CD3

（3）如答图④所示，连接OC、OD.

答图④

1/△ABC为等腰三角形，点O为底边AB