2020-2021学年上海市松江区高一下学期期末考试数学试题

松江区2020学年度第二学期期末质量监控试卷高一数学（满分150分，完卷时间120分钟）2021．06考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号．3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．计算______．（为虚数单位)2．已知向量，，若，则实数的值是______．3．复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则______．4．已知，则______．5．已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的周长为______．6．化简：______．7．在中，若，则的形状是______三角形．8．函数的部分图像如图所示，则______．9．已知，向量，，当取到最大值时，的值是______．10．已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为______．11．如图，是线段外一点，，，是线段的垂直平分线上的动点，则的值为______．12．已知函数，，若的所有零点依次记为，，，…，，且，则______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若，则（）A． B． C． D．14．要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向左平移个单位； B．向左平移个单位；C．向右平移个单位； D．向右平移个单位15．欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（）16．设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，，…，，若，则的值为（）A． B． C． D．三、解答题（本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值．(2)证明恒等式：．18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知复数，（，是虚数单位）．(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．东西向的铁路上有两个道口、，铁路两侧的公路分布如图，位于的南偏西15°，且位于的南偏东15°方向，位于的正北方向，，处一辆救护车欲通过道口前往处的医院送病人，发现北偏东45°方向的处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为．(1)判断救护车通过道口是否会受火车影响，并说明理由；(2)为了尽快将病人送到医院，救护车应选择、中的哪个道口？通过计算说明．20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数，．(1)求函数的值域；(2)求函数单调递减区间；(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知是线段外一点，若，．(1)设点是的重心，证明：；(2)设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；（3）如果在线段上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．松江区2020学年度第二学期期末质量监控试卷高一数学参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．【答案】：2．【答案】：3．【答案】：34．【答案】：65．【答案】：6．【答案】：17．【答案】：等腰8．【答案】：9．【答案】：（或或）10．【答案】：1011．【答案】：12．【答案】：【解析】：令，可得，即函数的对称轴方程为，又的周期为，令，可得，所以函数在上有9条对称轴．根据正弦函数的性质可知，，，…，，(最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），将以上各式相加得，．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【答案】C14．【答案】B15．【答案】A16．【答案】C【解析】：因为，则有或，，，解得或，，又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，，…，，所以，，，，，，…，故，．所以，即，则，解得，故．三、解答题（本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．【解析】：解（1）当时，点到原点的距离为，由三角比的定义可得：，原式；（2）证明：．18．【解析】：（1）．∵在复平面内对应的点落在第一象限，∴解得：．∴实数的取值范围是；(2)∵虚数是实系数一元二次方程的根，．∴也是实系数一元二次方程的根，19．【解析】：（1）依据题意：在中，正弦定理：，解得：，∴救护车到达处需要时间：，火车到达处需要时间：，火车影响道口时间为，，∴救护车经过会受影响．(2)若选择道口：一共需要花费时间为：若选择道口：由余弦定理求长：，得：，所以火车到达处所需时间为：，救护车到达处所需时间为，所以不受火车影响。．∴一共花费时间为：∴选择过道．20．【解析】：（1），∵，∴，∴，∴函数的值域为．(2)得，，又，∴函数的单调递减区间是；(3)函数的值域为，于是，，原不等式等价于，由，得的最大值为，所以，实