高中数学必修 5函数 的图象(教学案)

1.5函数y=Asin(<2ir+0)的图象

一、教材分析

三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等

数学及其它学科的基础.本节课是在学习了任意角的三角函数，正、余弦函数的图象和性质

后，进一步研究函数y=Asin(3x+<t>)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线

的关系，以及A、3、巾的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的

性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映.

二、教学目标

1.分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数

图像各种变换的实质和内在规律。

2.通过对函数y=Asin(wx+4)(A〉0,w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图

像各种变换的内在联系。

3.培养学生观察问题和探索问题的能力。

三、教学重点难点

重点：通过五点作图法正确找出函数y=sin才到y=sin(3x+<i>)的图象变换规律。

难点：对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解.

四、学法分析

本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习y=Asin(@c+0)的

图像，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的

学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所

学知识的能力。

在教师的引导下，积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归.在

思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人.

五、教法分析

教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力.本节课突出体现了以学生能力

的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索以发现问题、分

析问题和解决问题的能力，注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维

价值和人文价值的高度统一。

六、课时安排：2课时

七、教学程序及设计意图

(一)复习引入：在现实生活中，我们常常会遇到形如y=/sin(ox+0)的函数解析

式(其中4。，0都是常数).下面我们讨论函数y=/sin(ox+0),xdR的简图的画法.

(二)讲解新课：

兀冗

例1、画出函数丫=5由仪+—),xGR,y=sin(x——),xGR的简图.

解：列表

71712兀7万5/r

X-7~6T~6T

71713万

71

X+——0~2~2

3

71

sin(x+—)010-10

描点画图:

7137r5兀7%9%

X~4TTTT

7171

X——071

4~2

.冗

sin(x-—)010-10

通过比较，发现:

7T7T

⑴函数产sin(x+§),尤GR的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动1个单

位长度而得到.

7T7T

(2)函数y=sin。一一),尤GR的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动一个单位

44

长度而得到.

一般地，函数y=sin(x+0),xGR(其中0WO)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点

向左(当0>0时)或向右(当0<0时=平行移动I(pI个单位长度而得到.(用平移法注意讲

清方向：“加左”“减右”)

y=sin(x+0)与y=sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换

称为相位变换.

jrjr

设计意图：引导学生学习y=sin(x+§),x£R,y=sin(x——),x£R

图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系，获得0对y=sin(x+0)的图象的影响

的具体认识。

例2、画出函数y=2sinxXGR；y=；sinxxeR的图象(简图).

解：画简图，我们用“五点法”

•.•这两个函数都是周期函数，且周期为2〃

...我们先画它们在［0,20］上的简图.列表：

7t3兀

X0712JI

~2

sinx0i0-10

2sinx020-20

1.j_j_

—sinx000

22-2

(l)y=2sinx,x£R的值域是［-2,2］

图象可看作把p=sinx,x£R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变).

(2)y=—sin^r,x£R的值域是［一'，J_］

222

图象可看作把y=sinx,xGR上所有点的纵坐标缩短到原来的工倍而得(横坐标不变).

2

设计意图：研究函数中A对图象的影响。

结论：

1.y=Asinx,xeR(A>0且AH)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸

长(A>1)或缩短(0<Avl)到原来的A倍得到的.

2.它的值域［-A,A］最大值是A,最小值是-A

例3、画出函数丫=51112*xeR；y=sin；xxeR的图象(简图).

27r

解：函数y=sin2x,x£R的周期7=——=兀

2

我们先画在［0,力］上的简图，在［0,兀］上作图，列表：

n3九

2x0~271T2兀

717137c

X0~4~2~T

y=sin2x010-10

作图:

我们画［0,4"］上的简图，列表:

X713兀

0712兀

2~2~2

X0712兀3兀4兀

.X

sin—010-10

2

(1)函数尸sin2x,x£R的图象，可看作把夕=55*x£R上所有点的横坐标缩短到原

来的L倍(纵坐标不变)而得到的.

2

(2)函数y=sinL%,x£R的图象，可看作把旷=$111才，x£R上所有点的横坐标伸长到

2

原来的2倍(纵坐标不变)而得到.

设计意图：研究3对函数图象的影响。

结论：与y=sinx的图象作比较

函数y=sinox,XGR(O>0且川灯)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短

(3>1)或伸长(0<3<1)到原来的—倍(纵坐标不变)

CD

T[

例4、画出函数y=3sin(2x+—)，x£R的简图.

3

27r

解：(五点法)由T——，得T—"列表：

2

7171717〃57c

X

~612T12~6

717137r

2x+——0JI2JT

3~2~2

/冗

3sin(2x+一030-30

3

描点画图:

yr----------1

\/'y=sin(什&

(三)小结：

八、小试牛刀，当堂检测

71

已次口函数y=2sin(3x+§),xeR

(1)作出简图；2)指出经过怎样的变换可得到y=sinx,xeK的图象.

设计意图：教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

九、发导学案、布置预习。

设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延

伸拓展训练。

十、板书设计

三角函数模型的简单应用

例1.例3.练习：

例2例4.小结：

~\■*一*、教后反思

新理念下数学课堂教学的探索是一个长期的过程，充分挖掘数学的应用价

值、思维价值和人文价值，需要我们教育工作者的不断创新，与时俱进.

1.5函数y=Asin（皿+⑼的图象

课前预习学案

一、预习目标

预习图像变换的过程，初步了解图像的平移。

二、预习内容

1.函数y=sin（x+0）,xeR（其中°wO）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的

点（当0>0时）或（当。<0时）平行移动时个单位长度而得

到.

2.函数y=sineR（其中。〉0且的图象，可以看作是把正弦曲线上

所有点的横坐标（当。〉1时）或（当0〈。〈1时）到原

来的僮（纵坐标不变）而得到.

0）

3.函数y=Asinx,xeR（A>0且Ari）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵

坐标（当A>1时）或（当0<A<l）到原来的A倍（横坐标不变）

而得到的，函数y=Asinx的值域为.最大值为,最小值为

4.函数y=Asin（3+°）,尤eR其中的（A〉0,。〉0）的图象，可以看作用下面的方法

得到：先把正弦曲线上所有的点（当0>0时）或（当0<0时）

平行移动附个单位长度，再把所得各点的横坐标（当。>1时）或

（当0<«<1）到原来扯倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标

co

（当A>1时）或（当0<A<l时到原来的A倍（横坐标不变）而

得至U.

课内探究学案

一、学习目标

1.会用“五点法"作出函数y=Asm（wx+（p）以及函数y=Acos（wx+<p）的图象的图象。

2.能说出外W、A对函数y=Asin（恸+夕）的图象的影响.

3.能够将y=sinx的图象变换到y=Asin（vw+@的图象，并会根据条件求解析式.

学习重难点：

重点：由正弦曲线变换得到函数y=Asin（5+9）的图象。

难点：当。彳1时，函数必=Asin（8+%）与函数为=Asin（s+92）的关系。

二、学习过程

1、复习巩固；

作业评讲一一作出函数丁=$也彳在一个周期内的简图并回顾作图方法？

2、自主探究；

问题一、函数图象的左右平移乃变乃换

如在同一坐标系下，作出函y=sm(x+g)数y=sin(x--)和的简图，并指出

它们与y=sinx图象之间的关系。

问题二、函数图象的纵向伸缩变换

1.

。.y=—sinx

如在同一坐标系中作出y=2sinx及-2的简图，并指出它们的图象与

y=sinx的关系。

问题三、函数图象的横向伸缩变换

.1

.y=sin—x.

如作函数丁=$1112%及2的简图，并指出它们与y=sin元图象间的关系。

问题四、作出函数y=2sin(gx-令的图象

问题五、作函数,=Asin(GT+e)的图象主要有以下两种方法：

(1)用“五点法”作图

(2)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(@v+9)的图象，有两种主要途

径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

(三)规律总结

①由正弦曲线变换到函数y=Asin(©+9)的图象需要进行三种变换,顺序可

任意改变；先平移变换后周期变换时平移|同个单位，先周期变换后平移变换时

平移S个单位。

CD

②常用变换顺序一一先平移变换再周期变换后振幅变换(平移的量只与0有

关)。

(四)当堂检测

1、请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程？

2、已知函数、=3岫+争的图象为C,为了得到函数y=2sin(4x+g)的图

象，只需把C的所有点()

A、横坐标伸长到原来的10倍，纵坐标不变。B、横坐标缩短到原

来的工倍，纵坐标不变。

10

C、纵坐标伸长到原来的10倍，横坐标不变。D、纵坐标缩短到原

来的_1倍，横坐标不变。

10

3、已知函数>=京阳+争的图象为C，为了得到函数y=gsin(x+g)的图象，

只需把C的所有点()

A、横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变。B、横坐标缩短到原来

的_1倍，纵坐标不变。

4

C、纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变。D、纵坐标缩短到原来

的L倍，横坐标不变。

4

4、已知函数y=>(4x+争的图象为C，为了得到函数好取公的图象，只

需把C的所有点()

A、向左平移三个单位长度B、向右平移三个单位

66

长度

C、向左平移竺个单位长度D、向右平移型个单位

33

长度

5、将正弦曲线上各点向左平移工个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵

3

坐标不变，则所得图象解析式为()

A、y=sinC^I■一鼻)B、y=$111《+自y=sin(^+y)D、y=sin(2x+g)

课后练习与提高

一、选择题

1、已知函数y=f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2

倍，然后把所得的图形沿着x轴向左平移g个单位，这样得到的曲线与y=2sinx的图象

22

相同，那么已知函数y=f(x)的解析式为().

A.f(x)=gsin(鼻-£)B.f(x)=；sin(2x+/)

C.f(x)=—sin(—+—)D.f(x)=—sin(2x--)

22222

2、把函数y=sinx的图象向右平移?后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得

到的函数的解析式为（).

A.y=sin（gx-［）B.y=sin（；x+?

C.y=sin（2x-§D.y=sin（2x-?）

3、函数y=3sin（2x+1）的图象，可由函数y=sinx的图象经过下述变换而

得到（）.

A.向右平移三个单位，横坐标缩小到原来的工，纵坐标扩大到原来的3倍

32

B.向左平移上个单位，横