高中数学必修4全册教案

高中数学必修4所有知识总结

第一章三角函数

i.i周期现象与周期函数

周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；

f(x+T)=f(x)。

[展示投影]练习：

(1)已知函数f(x)满足对定义域内的任意x,均存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x)。

求：f(x+2T),f(x+3T)

略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x),f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x)

⑵已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)=2005,求f(11)

略解：f(11)=f(6+5)=f(6)=f(l+5)=f(l)=2005

(3)已知奇函数f(x)是R上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8)

略解：f(8)=f(2+2X3)=f(2)=f(-l+3)=f(-l)=-f(l)=-2

角的概念的推广

1、正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程).

我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。一条射线由原来的位置04,绕着它的端点。按逆时针方向

旋转到终止位置,就形成角a.旋转开始时的射线必叫做角的始边，()B叫终边，射线的端点°叫做叫a

的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个

角，并把这个角叫做零角，如果a是零角，那么a=0。。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角.

过去我们研究了0°〜360。范围的角.如果我们将角a的终边0B继续按逆时针方向旋转一周、两周……

而形成的角分别得到390。，750°……的角.角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角.

2.象限角、坐标轴上的角的概念.

由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，我们使角的顶点与原点重合，角的始边

与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限

角.300°、一60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不

属于任一象限.

3.终边相同的表示方法.

如果将终边0B按逆时针方向旋转一圈、两圈……，分别得到390°,750°……的角，这些角的终边与30°角

的终边相同，只是转过的圈数不同，它们可以用30°角来表示，如390°=30°十360°,750°=30°十2X

360°由此可以发现，上面旋转所得到的所有的角（记为B）,都可以表示成一个0°到360°的角与k（kdZ）个

周角的和,即:P=30°+k•360°（keZ）.如果我们把6的集合记为S,那么S={BB=30°十k・360°,

kEZ}.容易看出：所有与30°角终边相同的角，连同30。角（k=0）在内，都是集合S的元素；反过来，集合

S的任一元素显然与30°角终边相同。

（三）、巩固深化，发展思维

例1.判断下列各角是第几象限角.

（1）—60°；（2）585°；（3）—950°12'.

例2.在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（a用0。〜360°的角表示）.

例3.写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式一360°W6<270。的元素B写出来.

1.3弧度制

1.1弧度的角的定义.

我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角（打开课件）.弧AB的长等于半径r,则弧AB所对

的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad。

2.弧度制的定义：一般地，（板书）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是。;

角a的弧度数的绝对值ia|=），其中1是以角a作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，这种以弧度作为

r

单位来度量角的单位制，叫做弧度制.

3.角度制与弧度制的换算.

27r7t

现在我们知道：1个周角=360°=——r,所以，360°=2nrad,由此可以得到180°=nrad,1°=---

r180

1QQ

^0.01745rad,lrad=（—）°457.30°=57°18'。

71

说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°=nrad这一关系式.

（三）、巩固深化，发展思维

1.例题讲评

34

例1.把45°化成弧度。例2.把——rad化成度。

5

例3.利用弧度制证明扇形面积公式S=」lr,其中1是扇形的弧长，r是圆的半径。

2

2.学生课堂练习：（1）填表

度0°45°60°180°360°

71713兀

弧度

~65T

说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算.

（2）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。

练习1：1、已知锐角二终边上一点尸（3,4）,求a角的正弦值。

2、已知「（一2,-3）是角a终边上一点，求sina的值。

3、已知角a的终边落在直线）'=2x上，求sina的值。

JW*S<步冬江"仪X——m*日寸.力—白勺一

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5

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口小.值丁怛w：主"gg名冬短z为由］—,所以,炉近分…

件E乃己处JHI.

练习2

1.下列角中终边与330°相同的角是（）

A.30°B.-30°C.630°D.-630°

2.下列命题正确的是（）

A.终边相同角一定相等B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角D.小于9（F的角都是锐角

3.如果一扇形的弧长为27icm,半径等于2cm,则扇形所对圆心角为（）

71D.也

A.兀B.2nC.—

22

4.若a是第四象限角，则180°+a一定是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

5.一个半径为R的扇形，它的周长为4R,则这个扇形所含弓形的面积为（）

\（1A,1,1,,1,

A.-2--sin2/?-B.-R2sin2C.-R2D.R2--R2sin2

2\2J222

6.若a角的终边落在第三或第四象限，则a2的终边落在（）

2

A.第一或第三象限B.第二或第四象限C.第一或第四象限D.第三或第四象限

二、填空题

7.若三角形的三个内角的比等于2:3:7,则各内角的弧度数分别为.

8.将时钟拨快了10分钟，则时针转了度，分针转了弧度.

9.若角a的终边为第二象限的角平分线，则a的集合为

10.已知a是第二象限角，且|a+2区4,则a的范围是.

三、解答题

11.在0°与360°范围内，找出与卜列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？

(1)-120u(2)640°(3)-95(02'

12.写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(这括边界)

13.单位圆上两个动点M,N,同时从尸(1,0)点出发，沿圆周运动，M点按逆时针方向旋转三弧度/秒，N点

6

按顺时针方向旋转四弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.

3

14.如图，圆上一点A以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A每分钟转过。角(0＜。・兀)，经过2分钟到

达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求。的大小.

15.在扇形A08中，408=90°,弧A8的长为/,求此扇形内切圆的面积.B

1.4.1单位圆与正弦函数

在初中，我们学习了锐角a的正弦函数值：sina=^_,如图：sinA=@,由于

斜边

a是直角边，c是斜边，所sinAG(O,1)。由于我们通常都是将角放到平面直角坐

标系中，我们来看看会发生什么？

7T

在直角坐标系中，(如图所示)，设角a(ae(0,-))的终边与

2

b

半经为r的圆交于点P(a,b),则角a的正弦值是：sina=—.根

r

据相似三角形的知识可知，对于确定的角a,都不会随圆的半经

r

的改变而改变。为简单起见，令r=l(即为单位圆)，那么sina=b,

也就是说，若角a的终边与单位圆相交于P,则点P的纵坐标b就

是角a的正弦函数。

直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义.你认为该如何定义任意角

的正弦函数?

一般地，在直角坐标系中(如上图)，对任意角a,它的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确

定点P(a,b)的纵坐标b,所以P点的纵坐标b是角a的函数，称为正弦函数，记作y=sina(aGR)。通常

我们用X,y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为y=sinx.正弦函数值有时也叫正弦值.

终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kn+a)=sina(keZ),说明对于任意一个角a,每增加2n的

整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kn(keZ,

kWO)为正弦函数的周期。

2n是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般地，对于周期函数f(x),如果它所有的周

期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期。

2

例1.若点P(—3,y)是a终边上一点，且sina=----,求y值.

3

例2.若角a的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在函数y=—3x(xWO)

的图像上，则sina=

1.4.2正弦函数y=sinx的图像

,y

1、正弦函数线MPa

正弦函数的一种几何表示.如右图所示，、

①MP是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段.MP是从M-P,而PM(|\)

则是从P-M。②不论哪种情况，都有MP=y.③依正弦定义，有sina07

=MP=y,我们把MP叫做a的正弦线.

3、五点作图法：由上图我们不难发现，在函数y=sinx,xe[0,2兀]的图

像上，起着关键作用的有以下五个关键点：(0,0)(生，1)(兀,0)(至-1)(2兀,0)。描出这五个点后，

22

函数y=sinx,xe[0,2刊的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五

个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五点

法”。

【巩固深化，发展思维】

1.例题探析

例1.用“五点法”画出下列函数在区间［o,2灭］上的简图。

(1)y=­sinx(2)y=l+sinx

解：(1)列表

7137c

0JI2兀

X~2T

y=­sinx0-10+10

描点得y=-sinx的图像：（略，见教材P22）

兀

X071兀32兀

22

y=l+sinx12101

L4.3正弦函数诱导公式

1、（公式1）sin（360°A+a）=sina

2、对于任一0。到360。的角，有四种可能（其中a为不大于90。的非负角）

B为第一象限角

为第二象限角川/工音启、

B…一人(以下设a为任意角)

B为第三象限角

设a的终边与单位圆交于点P(x,力，则180°+a终边与单位圆交于点P'(-上,-.力，由正弦线可知：sin(180°+a)

=-sina

4.公式3：如图：在单位圆中作出。与一a角的终边，

同样可得：sin(-a)=-sina,

5、公式4：由公式2和公式3可得：

sin(180°-a)=sin[180°+(-a)]=-sin(-a)=sina,

同理可得：sin(180°-a)=sina,

6.公式5：sin(3600-a)=-sina

巩固深化，发展思维

1、例题探析

例1.求下列函数值

7

(1)sin(-1650°)；(2)sin(-150°15,)；(3)sin(--n)

4

例2.化简：,sin(2：一少in(3：+2__

sin(-兀+a)sin(3%-a)sin(-a-兀)

1.4.4正弦函数的性质

归纳得出结论：

1.定义域：y=sinx的定义域为R

2.值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|Wl(有界性)

再看正弦函数线(图象)验证上述结论，所以y=sinx的值域为[T,1]

77

3.最值：1。对于y=sinx当且仅当x=2k7t+—,k^Z时yax=1

2ln

71

当且仅当时x=2k兀一一，k^Z时yin=-1

2m

2°当2k;cVxV(2k+l)冗(kwZ)时y=sinx>0

当(2kT)兀VxV2k?i(kwZ)时y=sinx<0

4.周期性：(观察图象)1。正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2。规律是：每隔2兀重复出现一次(或者说每隔2k兀,kcZ重复出现)

3。这个规律山诱导公式sin(2k;c+x)=sinx也可以说明

结论：y=sinx的最小正周期为2冗

5.奇偶性

sin(—x)=—sinx(x《R)V=>y=sinx(x《R)是奇函数

6.单调性

(keZ),其值从一1增至1；

减区间为[工+2k——+2kat](kGZ),其值从1减至一1。

22

例、利用五点法画出函数y=sinx-l的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。

练习:

2、若sina是方程2/+x—1=0的根，求sin(3%+a)sin(乃-a)的值。

sin(2〃-a)sin(5%+a)

3化简♦sin(;r_a)siii(_3;r-a)sin(a—九)

4,已知A、B、C是的内角，求证：sin(2A+B+C)=-sinAo

2乃

5、若点P在一的终边上，且OP=2,则点P的坐标()

3

A.(1,V3)B.(V3-1)C.(-1-V3)D.(-1,73)

6、若a是三角形的内角，月.sina='，则a等于()

2

A.30°B.30°或150°C.60°D.120°或60°

7、下列函数中，最小值为一1的是()

A.y=2sinx-1B.y=cos-1C.y=l-2sinxD.y=2+cosx

rr

8、将函数y=sin4x的图象向左平移五个单位，得到y=sin(4x+°)的图象，则Q等于()

7t717c71

A.---B.——C.—D.—

123312

9、下列四个命题中，正确的是()

A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角

C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第•象限的角

10、用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是()

A.0,—，^，―,2^-B.0,—，^，―，^-C.0,%,2肛3乃,4%D.0,—,—,—

22446323

11.sinx=f-3,则f的取值范围是

TT

12.函数y=sin(2x-)取最大值时x的集合是___________________________

6

TT

13.函数y=-3sin(2x--)+1的周期是_______；值域是_______________

6

■TT

14..函数y=-3sin(姐-£)-2的周期是2万,则常数CO=

15.函数y=sinx的递增区间是；递减区间是

16.函数y=-sinx的递增区间是；递减区间是

TT

17.函数y=sin(2x—7)—l的递增区间是

TT

18.函数y=sin(—2元+§)+1的递增区间是(注意7,8两题的区别)

19.下列函数中，奇函数是偶函数是非奇非偶函数是

(1)y=sinx；(2)y=sinx-1；(3)y=x-sinx；(4)y=x2-sinl^l

(5)y=sinx2+x；(6)y=|sinA'|-5；(7)sin|x|+|sinA-|-sinx2

1.5余弦函数的概念和诱导公式

1.余弦函数的定义：在直角坐标系中，设任意角a与单位圆交于点P(a,b),

那么点P的横坐标a叫做角。余弦函数，记作：a=cosa(aGR).y4

P(a,b)

通常我们用X,y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示

为y=cosx(x6R).

如图，有向线段0M称为角a的余弦线。

其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要」知角a

的终边上任意一点P的坐标(a,b),求出|OP,记为r,则

角a的正弦和余弦分别为：sina=-,cosa=—.

2.余弦函数的诱导公式

从右图不难看出，角a和角2n+a,2Jt—a,(―a)的终边

与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；

角a和角工+a,Ji-a的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，

所以，它们的余弦函数值互为相反数。

由此归纳出公式：

cos(2n+a)=cosa

cos(—a)=cosa

cos(2n—a)=cosa

cos(n+a)=—cosa

cos(n—a)——cosa

观察右图，角a与角2JT+a的正弦、余弦函数值可以得到:

2

sin(—+a)=cosacos(—+a)=­sina

22

以上公式统称为诱导公式，其中a可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐

角的正、余弦函数问题。

(三)、巩固深化，发展思维

1、例题探析

例1.已知角a的终边经过点P(2,-4)(如图)，求角a的余弦

函数值。

解：Vx=2,y=—4,r=|OP|=2V5cosa=—=

r5

例2.如果将例1中点P的坐标改为(2t,-4t)(t#0),那么怎样求角a的余弦函数值。

解：（提示：在r=|0P|=2j?|t|中，分t<0和t>0两种情况，见教材P31）

求值：(1)COS^X…9兀34

例3.(2)cos—(3)cos(———)

684

cos(27r-a)cos(3%+a)

例4.化简:

cos(-7t+a)cos(3%-a)cos(-a—兀)

1.5余弦函数的图像与性质

（二）、探究新知

1.余弦函数y=cosx的图像

(1)y=cosx,XGR与函数y=sin(x+—)XGR的图象相同

2

(2)将丫=51、的图象向左平移与即得丫=^*的图象

(3)也同样可用五点法作图：y=cosxx.[。,加的五个点关键是（。,1）（。）（…D《，。）

(2兀，1)

（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y=cosxxe[2k7t,2（k+l）;i]keZ,k00的图像与y=cosx

xe[0,2TI]图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2n个单位长度）

y

2.余弦函数y=cosx的性质

观察上图可以得到余弦函数y=cosx有以下性质：

(1)定义域：y=cosx的定义域为R

(2)值域:y=cosx的值域为［―1,1］,即有|cosx|Wl(有界性)

(3)最值：对于y=cosx当且仅当x=2k)t,keZ时y11M=1

当且仅当时x=2kn+n,keZ时丫环汨=一1

当2k?r-工<x<2kn:+£(kwZ)时y=cosx>0

22

2k?t+—<x<2kn+—(keZ)时y=cosx<0

22

(4)周期性:y=cosx的最小正周期为2兀

(5)奇偶性

cos(-x)=cosx(xGR)VAy=cosx(xGR)是偶函数

(6)单调性

增区间为［(2k-l)Ji,2kn］(kGZ),其值从-1增至1；

减区间为［2kn,(2k+l)(keZ),其值从1减至一1。

(三)、巩固深化，发展思维

例.请画出函数y=cosx-1的简图，并根据图像讨论函数的性质。

练习

1、在下列各区间上，函数y=cos2x单调递减的区间是

7C7C713%71

A.---,—B.——C.D.

44445"

2、(1)函数y=2cos(W—g)的单调增区间是：

3、函数y=cosx,xeH图象的一-条对称轴是()

■jr

A.x轴B.y轴C.直线x=5D.直线尤="

4、不等式cosx<0,x£［0,2乃］的解集为()

A.B.（0,1）C.713万

5、已知/(x)=-cosx(x£R),下面结论错误的是()

A-函数小)的最小正周期是.B.函数在区间［。,自上是增函数

C.函数“X)的图像关于x=0对称D.函数“X)是奇函数

TT

6、y=COS(2x+y),当X=时，,min=；

当X=时,'max=；

1.6正切函数的定义、图像及性质

1、正切函数的定义：

7T

在直角坐标系中，如果角&满足：aeR,a#一十kr(k£Z),那么，角。的终边与单位圆交于点P«,b）,

2

bh

唯一确定比值巳.根据函数定义，比值巳是角0的函数，我们把它叫作角a的正切函数，记作y=tanQ,其中

aa

71

Q£R,a#：—+kn,k£Z.

2

sina7t

比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tana=-----(aGR,a#—+kn,kGZ).

cosa2

山此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.

如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意角a

的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线，与角

的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：

当角a位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；

当角a位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。P

分析可以得知，不论角a的终边在第几象限，都可以构造两

个相似三角形，使得角a的正切值与有向线段AT的值相等。因此,

我们称有向线段AT为角a的正切线。

2.正切函数的图象

(1)首先考虑定义域：Xk7T+^(k&z)

(2)为了研究方便，再考虑一下它的周期:

/\sin(x+))-sinx(八口f7t.\

・.♦tan(x+7T)=——)------=----------=tanx\xGA,MX手k兀+一,keZ

COS(X+JT)-COSXI2)

y=tanxlxGR,且％w攵乃+耳，％EZ的周期为丁=乃(最小正周期)

(3)因此我们可选择的区间作出它的图象。

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数y=tanxxeR,且xw'+版'(kez)的

7T

从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x=—+k!t(kwz)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直

2

线叫作正切曲线各支的渐近线。

3.正切函数丫={21^的性质

7F

(1)定义域：,XIXW,+%肛kEz>，

(2)值域：R

观察：当x从小于左乃+•(kwz)，x---->%兀+]时，tanx----->oo

当x从大于]+z),x----->]+k》时，tanx----->-oo。

(3)周期性：T=兀

(4)奇偶性：tan(-x)=-tanx奇函数。

(5)单调性：在开区间(一5+k匹k万卜ez内，函数单调递增。

例2、求函数y=tan(x+?)的定义域、值域和单调区间.

解：设f=x+(,则y=tanf的定义域为{*eR且tWk不ez}x+(N左乃+/,

估:"y+］因此,函数的定义域是［中eR且xw版■+0eZ〕

值域：RL1、4J

,/y=tanf的单调增区间是GZ

...---1■攵7T<Xd<3+攵万37T,71

242----+k兀<x<一+k7r

/a4、4

,函数的单调增区间是卜万-半，/乃+?,keZ

tan(n—a)=—tanatan(Ji+a)=tana

(三)、巩固深化，发展思维

tan(2乃一a)tan(3)+a)

例.化简:

tan(-7i+a)tan(3"-a)tan(—a—4)

2.学生课堂练习

教材P45的练习1、2、3、4

1、正切曲线是先利用平移正切线得丫=1211*J€(-=,二)的图象,

22

再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。

2、y=tanx性质：

{xIxH—+k7i,keZ}

（1）定义域2；（2）值域：R；⑶周期性：万；（4）奇偶性：奇函数，图象关于

原点对称。（5）对称性：对称中心：（彳八°）无对称轴；（6）单调性：在每一个开区间

内都是单函虬+k兀3+k兀）k€Z

22

⑺渐近线方程X=

k兀+kEZ

练习

1、y=tanx（xwk万+eZ）在定义域上的单调性为（）.

A.在整个定义域上为增函数

B.在整个定义域上为减函数

C.在每一个开区间（~|+版•，/+版MAeZ）上为增函数

D.在每一个开区间（-1+2以/+兼砌AwZ）上为增函数

2、下列各式正确的是().

/13、/17、

AA.tan(一-—^)<tan(一-—4)B.tan(—?万)〉tan(—34)

「/13、，17、

C.tan(——zr)=tan(——^r)D.大小关系不确定

3、若tanxWO,则().

JI冗71

A.2k/r--<x<2k7T.keZB.2k7i-^—<x<(2k+\)7T,kGZC.k7i--<x<k7V,k€Z

D.k7T--<X<k7T,kGZ

4、函数四的定义域为().

tanx

A.且B.{X|XER且工工人乃+工,ZGZ

2

C.{x\xeR且xwk不+7,Awz}D.{x\xeR且xwbr—4,AeZ

5、直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tan的（。为常数，且。〉0）相交的两相邻点间的距离为

（）.

A.7VB.—C.-D.与a值有关

CDco

6、函数y=tan（工-x）的定义域是（）.

A.<x\x^—,xeRB.——,XG/?

C.lx\x^k7r+—.k^R,x^R>D.ix\xk7v+—7r,keZ9xeR

8、函数y=tan(ax+2)(awO)的周期为().A.纭B.=C.谷D.-

6a冏\a\a

9、下列函数不等式中正确的是().

43231315

A,tan—〃>tan—万B.tan一刀■<tan一万C.tan(----))<tan(----冗)

775578

/13、/12、

nD.tan(——^r)<tan(——^r)

10、在下列函数中，同时满足：①在(0,')上递增；②以2不为周期；③是奇函数的是().

x

A.y-tanxB.y-cosxC.y=tanyD.y=-tanx

1.7y=sinx和y=Asinx的图像，y=sinx和y=sin(x+<t>)的图像

例1、画出函数y=2sinxXGR；y=—sinxXER的图象(简图)。

2

解：由于周期T=2九・・・不妨在［0,2扪上作图，列表：

7131

X兀冗

0~2T2

sinx010-10

2sinx020-20

1.j_

—smx000

2—22

作图:

结论：

1.y=Asinx,xeR(A>0且Awl)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(O<A<1)到原来

的A倍得到的。2.若A<0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折。

性质讨论：不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期性。变化的有值域、最值、

由上例和练习可以看出：在函数y=Asinx(A>0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常

称A为振幅。

rr7T

例2、画出函数y二sin(x+—)(XER)和y=sin(x---)(x$R)的图像(简图)。

34

解：由于周期T=2兀・・・不妨在［0,2扪上作图，列表：

71713%

07t2K

X+3~2T

71

X712乃7兀5万

~6~T~6T

乃010-10

sin(x+3)

y=sinx

结论：尸sin(x+@),x£R(6M)的图象可以看作把正数曲线上的所有点向左平移小(6>0)个单位或向右平移

—6个单位(6<0=得到的。

性质讨论：不变的有定义域、值域、最值、周期。变化的有奇偶性、单调区间与单调性

山上例和练习可以看出：在函数y=sin(x+6),x£R(6w0)中，6决定了x=0时的函数，通常称6为初

相，x+6为相位。

1、作函数尸Asin(cox+q))的图象：(1)用“五点法”作图。(2)利用变换关系作图。

2、函数y=sinx的图象与函数y=Asin(①x+(p)的图象间的变换关系。

3、函数y=Asin(cox+(p)中A、co、(p的物理意义。

4、函数y=Sinx向左或右平移I<pI个单位y=Sin(x+<p)的图象横坐标缩短或伸长原来的」■y=Sin(cox+

CD

(P)的图象纵坐标伸长或缩短到原来的A倍y=ASin(sx+(p)的图象。

5、函数丫=3sin(3X-7t/3)振幅3,周期2兀/3,频率3/2兀,初相-兀/3

练习

1、已知函数y=3sin(x+n/5)xWR的图象为C.(1)为了得到函数y=3sin(x-“/5)

xWR的图象，只需把C上所有的点()

(A)向左平行移动n/5个单位长度(B)向右平行移动n/5个单位长度

(0向左平行移动2n/5个单位长度(D)向右平行移动231/5个单位长度

2、为了得到函数y=3sin(2x+n/5),x£R的图象，只需把C上所有的点()

(A)横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

(B)横坐标缩短到原来的1/2倍，纵坐标不变

(C)纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

(D)纵坐标伸长到原来的1/2倍，横坐标不变

3、为了得到函数y=4sin(x+n/5),x£R的图象，只需把C上所有的点()

(A)横坐标伸长到原来的4/3倍，纵坐标不变

(B)横坐标缩短到原来的3/4倍，纵坐标不变

(C)纵坐标伸长到原来的4/3倍，横坐标不变

(D)纵坐标伸长到原来的3/4倍，横坐标不变

4、用五点法作出函数的图象并说明这个图象可由余弦函数的图象经过如何变换得到？

y=3cos(—x-^―)

24

1.7函数y=Asin（cox+6）的性质

函数y=Asin（cox+（p）,xe（其中A>0,co>0）的物理意义:

函数表示一个振动量时：A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”

2兀

T：T往复振动一次所需的时间，称