沪教版 九年级数学 平面向量及其加减运算-9年级

Sf平面向量及苴加戒运算＞

茜课前删忒

【题目】课前测试

回答下列两题

图1

(1)如图1,已知向量W、E,求作：W+E

(2)如图2,在四边形ABCD中，填空：BA+AD+DC=—；BO-BC=

【答案】(l)OT；(2)BC；co-

【解析】(1)如图,作元=a，BC=b，

贝4菽=屈+BC=a+b，即菽为所求；

（2）BA+AD+DC=BD+DC=BC；BO-BC=CO-

BT

总结：此题考查了平面向量的知识.注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键.

【难度】3

【题目】课前测试

若标是非零向量，则下列等式正确的是（）

A-IABl=lBAlB.AB=BAC.AB+BA^OD.|AB|+|BA|=O

【答案】A

【解析】：屈是非零向量，标与诬是相反向量

■-IABI=IBAI-

故选A.

总结：本题考查的是非零向量的长度及方向的性质.

【难度】3

o丽立里行

适用范围：沪教版，初三年级，成绩中等以及中等以下

知识点概述：平面向量及其加减运算是八年级下学期第三章第四节的内容，主要对平面向

量的定义与加减运算进行讲解，重点是理解平面向量的定义，熟悉零向量、单位向量、平行

向量的概念特征及相互关系，并能结合四边形及向量的基本知识进行向量的加减运算，为九

年级的向量线性运算打好基础。

适用对象：成绩中等以及中等以下

注意事项：大部分学生试听这个内容主要想听平面向量及其加减运算。

重点选讲：

t------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.

①平面向量的基本概念

②平面向量的加法运算

③平面向量的减法运算

二:如出精•锂

卷如次梳理I:平面向量的基本假念

[软1.有向线段1

规定了方向的线段叫做有向线段.有向线段的三要素：起点、方向、长度

（1）"有向线段AB"符号标记为AB,且通表示点B相对于点A的

位置差别.|[

（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面./]

1Z

■^-2.平面向量的定义及表示

向量：既有大小又有方向的量叫做向量.如风速，力。双重性:方向，大小。

向量的模：其中向量的大小叫做向量的模（向量的长度）.）记做：I而I,I-I.

/‘啤戈敲

；:।

重点1、向量的两要素：大小、方向，缺一不可！

重点2、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、

比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.

向量的表示方法：①小写英文字母表示法：如之及"，…等.

②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如4瓦瓦等.

噌，.特殊向量]

零向量的概念：_

1）定义：长度为o的向量，记作°。

2）结论：〃H—〃—0.

3）简单说：零向量：大小为0,方向任意.即：]。=0.

4）说明：零向量是向量，故零向量既有大小，又有方向的量.

相等向量、相反向量，平行向量：

1)相等向量：方向相同且长度相等的两个向量。(说明：既要考虑方向，又要考虑

长度1

2)相反向量：方向相反且长度相等的两个向量。(既要考虑方向，又要考虑长度X

3)平行向量：方向相同或相反的两个向量。(只要方向相同或相反，与长度无关\

④说明：我们规定6与任意向量平行。

卷如次精《锂3：平面向量的加任

*1.定义

求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.

.运算法则

(1)三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与

第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向

量的终点为终点的向量就是和向量.如下图：

(2)多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们

的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终

点的向量，

(3)平行四边形法则：如果£、h是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以

在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与Z、E相等；

再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点

为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则对角线向量就是

AB+BC=ACAB+AD=AC

A

i.两个向量的和是一个向量，规定〃+6=6+4=。.

2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但注意向量的起点与终点.

______________________________________)

一：@一3.运算律:

(1)交换律：=；

(2)结合律:(a+B)+c=a+(B+c)

卷如衣帽锂?:平面向量的江茫

◎1.定义

已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.

一9一2.运算法则

三角形法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的

差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这

样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.

Xl向量的加减法有什3

么联系呢？

----_______

1.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：通-莅=通+次=历，

从而用加法法则来解决减法问题.

2.向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定£-。。.

亳俐股晡第

【题目】

判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

(1)向量与是平行向量，则AB、C。四点必在一直线上.

(2)单位向量都相等.

(3)任一向量与它的相反向量不相等.

【答案】

【解析】

①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量取AC

在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.

总结：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互

关系必须把握好.

【难度】2

【题目】题型1变式练习1:题型1:平面向量的基本概念

1,下列关于向量的说法中，不正确的是()

A-3(&-1))=3@-3匕8.若|2|=3|匕|，则a=3b或a=-3b

C.31al=|3aID•m(na)=(mn)a

【答案】B

【解析】

A、正确.根据去括号法则可得结论；

B、错误.因为G|=31EI，模相等，平面向量不一定共线，故结论错误；

C、正确.根据模的性质即可判断；

D、正确.根据数乘向量的性质即可判断；

总结：本题考查平平面向量、模、数乘向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，属于中考基础题.

【难度】2

【题目】题型1变式练习2:题型1:平面向量的基本概念

已知二E为非零向量，下列判断错误的是（）

A.如果a=2b'那么a"b

B.如果|g|=|口＜那么a-b或a-b

C.7的方向不确定，大小为0

D.如果彳为单位向量且力=2彳,那么|胃=2

【答案】

【解析】:A、如果a=2bi那么a"b"正确；

B、如果IWI=IEI，没法判断W与E的关系；故错误.

c、元的方向不确定，大小为o,正确；

D、如果彳为单位向量且W=2W，那么1n=2,正确；

故选：B.

总结：此题考查了平面向量的知识.此题难度不大，注意熟记定义是解此题的关键.

【难度】3

【题目】题型2:平面向量的加法

9.如图，已知向量力，E，7，那么下列结论正确的是（）

A-a+b=c-b+c=a-a+c=bD.a+c=-b

【答案】D

【解析】如图所示二+E=-1或W+3=-E或E+3=-W-故D选项符合题意.

总结：此题考查了平面向量的知识.注意掌握三角形法则的应用

【难度】2

【题目】题型2变式训练1:平面向量的加法

已知互不平行的向量a、6、c、d（如图），求作a+0+c+d.

【答案】如图；

【解析】在平面内任取一点0,顺次作向量。4=a,AB=b,BC=c,CD=d；再以

O为起点，D终点作向量,则：

0D=0A+AB+BC+CD=a+b+c+d-

总结

：0A+A4+A3A4++4TA=0An

【难度】3

【题目】题型2变式训练2:平面向量的加法

如图，在AABC中，AD垂直平分BC,垂足为D,下列说法中正确的是（）

A-AB=ACB-BD=DCc-IABl+lACl=lBClD-BD+DC=^

【答案】

【解析】.AD垂直平分BC,垂足为D,

BD=DC-

利用排除法亦可：

A、AB=AC,但方向不同，，标W菽；

B、.AD垂直平分BC,..而=前;

C、由两边之和大于第三边可知，|屈|+1菽|>|前|；

D、「AD垂直平分BC,.•.赤沃

总结：本题考查了平面向量以及线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质找出

元=云是解题的关键.

【难度】3

【题目】题型3:平面向量的减法

下列各式错误的是（）

A.ir+（-IT）=。B.|Q|=0C.n+『"nD.n--0）

【答案】A

【解析】

A、ir+（-ir）=0，故A错误；

B、0=0,故B正确;

C、ir+n=n+IT,故C正确；

D、K-n=K+（-n），故D正确.

总结：考查了平面向量，关键是熟练掌握向量的计算和性质.

【难度】2

【题目】题型3变式练习1:平面向量的减法

如图，已知在AABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点.下列结论不正确的是（）

A-DEHBCB-AD-AE=DEC.DB=-FED,DB+DE+FE=DE

【答案】C

【解析】•••点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

.-.DEIIBC,

.'.DE11BC，A选项正确；

AD-AE=ED'B选项错误；

DB=_FE-c选项正确；

DB+DE+FE=DE'D选项正确；

总结:本题主要考查了平面向量以及三角形中位线定量的知识，解题的关键是掌握向量的运

算法则，此题难度不大.

【难度】3

【题目】题型3变式练习2:平面向量的减法

化简：AB-DE-CD+BE=-

【答案】AC

【解析】原式=(AB+BE)-(CD+DE)

=AE-CE

=AE+EC

=AC，

总结：本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问

题，属于中考基础题

【难度】3

【题目】兴趣篇1

(1)如图1,一只蚂蚁从点/出发，沿着"Be的边爬行一周回到点/,则

AB+BC+CA=；

(2)如图2,一只蚂蚁从点Z出发，沿着四边形的边爬行一周回到点力,则

AB+BC+CD+DA=；

(3)如图3,一只蚂蚁从点4出发，沿着〃边形的边爬行一周回到点4,那么

A4+44+A3A4++4A=.

【答案】0；0；0

【解析】利用平面向量的多边形加法法则解答。

总结：当所有向量首尾依次形成闭合图形的时候，结果为无

【难度】2

【题目】兴趣篇2

定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面向量可以用有向线段表

示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.其中大小相等，方

向相同的向量叫做相等向量.

如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个

不同的向量：屈、BA.菽、忌、而、五、BD.泥(由于屈和云是相等向量，因此

只算一个).

(1)作两个相邻的正方形(如图1).以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向

量，可以作出不同向量的个数记为f(2),试直接写出f(2)的值；

(2)作n个相邻的正方形(如图2)"一字型"排开.以其中的一个顶点为起点，另一个

顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f(n),试直接写出f(n)的值.

【答案】(1)14;(2)6n+2

【解析】：(1)作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向

量，可以作出不同向量的个数f(2)=14;

(2)分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形(如图1).以其中的一个顶点为起点，

另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，

■.f(1)=6xl+2=8,f(2)=6x2+2=14,f(3)=6x3+2=20,f(4)=6x4+2=26,

.,.f(n)=6n+2.

总结：此题考查了向量的知识.注意解此题的关键是找到规律：f(n)=6n+2.

【难度】3

【题目】

若屁是非零向量，则下列等式正确的是()

A-IABI=IBAIB-AB=BAC-AB+BA^°D-IABI+IBAI=°

【答案】

【解析】•.•屈是非零向量，

'''IABI=IBAI-

总结：本题考查的是非零向量的长度及方向的性质.

【难度】3

已知A(3,0),B(0,4)，那么|而=

【答案】5.

【解析】:A(3,0),B(0,4),

.'.OA=3,OB=4,

'IABl=V32+42=5-

总结：此题考查了平面向量的知识.注意掌握摸的定义是解此题的关键.

【难度】3

已知平行四边形ABCD，点E是BC边上的点，请回答下列问题：

(1)在图中求作而与亚的和向量并填空：AD+DC=；

(2)在图中求作标减前的差向量并填空：AD-DC=；