高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (17)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(17)

一、解答题(本大题共29小题，共348.0分)

1.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

(T)h2+c2=52；②△ABC的面积为3座；③荏2+而.玄=_6.

在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b-c=2,A为钝角，sinA=旦.

4

(1)求边。的长；

(2)求sin(20-§的值.

2.平面内有向量万X=(1,7)，丽=(5,1)，而=(2,1)，点。为直线。2上的一个动点.

(1)当9•证取最小值时，求的的坐标.

(2)当点。满足(1)的条件和结论时，求COSNAQB的值

3.在Rt团4BC中，/.BAC=90°,AB=2,AC=6,。为AC边上的中点，E为BC边上一点，且

BE=ABC(0<A<1)-(1)当4时，若族=x而+y晶，求心y的值；

(2)当4E1BC时，求;I的值.

4.在直角梯形A8CD中，已知A8〃C。，4048=90。，AB=6,AD=CD=3,对角线AC交BO

于点。，点M在AB上，且OMJ.BD.

(1)求丽h丽的值；

(2)若N为线段AC上任意一点，求而.而的取值范围.

5.已知向量五，瓦口是同一平面内的三个向量，其中五=(1,一1).

(1)若|4=3奁，且工〃区求向量口的坐标；

(2)若|方|=1，且行10—2方)，求五与。的夹角色

6.设蓝，石是不共线的非零向量，且71*=可-2可，3=可+3岁

(1)若I可-3同ATT+n~b.求儿〃的值；

(2)若药,电是互相垂直的单位向量，求五与B的夹角仇

7.已知耳名是平面内两个不共线的非零向量，荏=2宙+与，骸=-瓦+4孩，前=-2瓦＜+£,

且A,E,C三点共线.

(1)求实数;I的值；

(2)若可=(2,1),竭=(2,-2),求玩的坐标;

(3)已知。(3,5),在(2)的条件下，若A,B,C,。四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A

的坐标.

8.在04BC中，内角4、B、C的对边分别为a、b、c.已知2a-b=2c•cosB.

(1)求角G

(2)若a=2,。在边A3上，且40=2防，CD=V3.求b.

9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知向量沅=(c—a,sinB),n=(b—a,sin/+sinC),

且丁〃元.

(1)求C；

(2)若乃c+3b=3a，求sinA.

10.如图，已知过抛物线C：y2=■的焦点厂的直线交抛物线。于点A,B(点A在第一象限)，线

段A8的中点为M,抛物线C在点4处的切线与以AM为直径的圆交于另一点P.

*

X

(I)若酢=4而，求直线A8的方程;

(n)试问温*是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值.

11.如图，平行四边形ABCD中，丽=3祝，N为线段C。的中点,E为线段MN上的点且碗=2EN.

⑴若荏=4而+〃而，求加的值；

(2)延长MMAD交于点P,F在线段NP上(包含端点)，若方=t祠+(1-t)而，求，的取值范

围.

12.在直角梯形ABC。中，4B〃CD,4B=2CD,乙4。。=90。,“是CZ)的中点，N是BC上一点，(不

包括端点)，AC=AAM+//AN，求:+£的最小值.

13.设两个非零向量瓦，石不共线，已知超=2瓦+/c筱，CB=e^+3e^,而=2瓦(—芍问：是

否存在实数上使得4B,。三点共线，若存在，求出上的值；若不存在，说明理由.

14.在△4BC中，AB=3,AC=6,^BAC=―,。为边BC的中点，M为中线4。的中点.

(1)求中线A。的长；

(2)求丽与前的夹角。的余弦值.

15.在△48C中，角A,B,C的对边分别为a,6c,△4BC的面积为S.现在有下列三个条件：①(2c+

b)cosA+acosB=0；②siMB+sin2C-si/A+sinBsinC=0；@a2-b2—c2=殍S.请从

以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解.

已知向量记=(4sinx,4V3)>n=(cosx,sin2x),函数/(x)=m.n-2V3,在小ABC中，a=/(3

且______，求2b+c的取值范围.

16.已知定点4(0,1)、B(0,-l)、C(l,0),动点P满足：APBP=k\PC\2(ke/?).

(1)求动点尸的轨迹方程，并说明方程表示的图形；

(2)当k=2时，求|都+前|的最大值和最小值.

17.在团CMB的边。4,。8上分别有一点P,Q,已知|而|：|可|=1:2,\OQ\-.\QB\=3:21连接

AQ,BP,设它们交于点R,若万？=五，OB=b.

(1)用社与方表示赤：

(2)过R作RH14B,垂足为4,若|五|=1,@=2,五与石的夹角96若得，求鬻的范围.

18..如图，在平行四边形A8CO中，点E,F,G分别在边AB,AD,8c上，且满足AE="4B,

AF=\AD,BG=\BC,设法=—访=》.

B

(1)用Z，b表示升，EG'

(2)若EFJ.EG,.说.就=2i.g，求角A的值.

19.己知丽•前=0，M是BC的中点.

(1)若|靠|=2|而求向量屈一近与向量通+近的夹角的余弦值；

(2)若。是线段4W上任意一点，且|通|=2|戢|=2，求福・丽+沃的最小值；

20.已知@=(1,0)1=(2,1).

(1)当k为何值时，k五+3与五+2石共线？

(2)当％为何值时，k五+E与1+2方垂直？

(3)当上为何值时，上日+石与不+2方的夹角为锐角？

21.如图在矩形A8CD中，而=乙屈=另,/7是8的中点，M是线段A8上的点，回=2,同=1。

(1)若M是AB的中点，求证：而与国共线；

(2)在线段AB上是否存在点M,使得配与前垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点

的位^1.;

(3)若动点P在矩形ABCD上运动，试求寿•厢的最大值及取得最大值时P点的位置。

22.已知椭圆C$+3=l(a>b>0)的左、右焦点分别为FI，F2,以F/2为直径的圆过椭圆的上、

下顶点，长轴长为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的右焦点且不平行于x轴的动直线/与椭圆C交于点A,B,则在x轴上是否存在点

N,使福.而为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.

23.在ZL4BC中，43=e,4。=2,尸是边8。的中点.E为4WC外接圆圆心，求而•国的值.

24.如图，在AOAB中，已知|。才|=2,\OB\=2V3.^AOB=90°,单位圆。与04交于C,4方=

AB.Ae(0,1)>P为单位圆。上的动点.

(1)若。^+o户=o万，求;I的值；

(2)记伊方|的最小值为/(Q,求/(Q的表达式及/(A)的最小值.

25.已知复数z满足忆|=夜，z2的虚部为2.

(1)求复数Z；

(2)设复数Z、於、z-z2在复平面上对应点分别为A、B、C,求(耐+话)・灰的值.

26.如图，在梯形ABC。中，E为DC的中点，AD//BC.Z.BAD=Z.BDA=^BC=BD.

⑴求荏•丽;

(2)求正与前夹角的余弦值.

27.己知非零向量房b满足I方I=2|BI，且倡—b)_Lb.

(1)求］与I的夹角;

(2)若卜+q=V14,求b.

28.在448C中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知向量记=(cos芸sin—),五=(cosgsing),

且满足|济+宿=V3.

(1)求角A的大小;

(2)若b+c=V5a,试判断△ABC的形状.

29.已知向量区b满足|2|=&,|b|=L

（1）若五］的夹角。为%求|弓+方|：

（2）若（日+方），方，求方与石的夹角e.

【答案与解析】

1.答案：解：方案一：选择条件①

⑴由仁之52解得忆::

A为钝角，sirii4=—，cos4=一：,

44

22

则Q2=b+c-2bccosA

=36+16-2x6x4x(-i)=64,

故Q=8;

：•cos2c=2cos2c-1=—,sin2C=2sinCcosC=

717171

・•・sin(2C-w)=sinZCcos--cos2Csin--

666

一

--7-^-1--5X--V-3-----1--7X—1=--2-1-6-----1-7.

32232264

方案二：选择条件②

(1)4为钝角，sin4=手，cosA=—

:%曲1A==3v^l5，

・•・be=24,

22

则Q?=64-c-2bccosA

=364-16-2X6x4x(-i)=64,

故Q=8;

(2)同方案一.

方案三：选择条件③

(1)4为钝角，sinA=半，cosA=—%

2

AB+荏灰=而•港+硝

=AB-AC=bccosA=-6，

be=24,

由仁二失，解得仁6,c=4,

则Q2=匕2+_2bccosA

=36+16-2x6x4x(-i)=64,

故a—8；

(2)同方案一.

解析：本题主要考查了余弦定理，二倍角公式，三角形的面积公式，和差角公式在求解三角形中的

应用，属于中档试题.

(1)选择条件①，由已知可求AC,然后结合余弦定理可求a；

选择条件②，由已知条件结合三角形面积公式解得b,c,结合余弦定理进而可得结果.

选择条件③，利用向量的数量积，结合已知条件，求出儿c,结合余弦定理进行求解.

(2)由余弦定理可求cosC,然后结合同角三角函数的平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解.

2.答案：解：(1)设0Q,=(%,y),

•••点。在直线0P上，

•••向量的与羽共线.

又而=(2,1)，

・,・%—2y=0,即％=2y.

0Q=(2y,y).

又诵=瓦?-丽，0A=(1,7).

.­.QA=(l-2y,7-y).

同样证=OB-OQ=(5-2y,l-y).

于是QXQB=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(l-y)

=5y2-2Oy+12=5(y-2)2-8.

.,.当y=2时，QA-谑有最小值一8,此时丽=(4,2).

(2)当丽=(4,2),即y=2时，^QA=(-3,5).~QB=(1,-1).

网=V34»画=V2.

4a7

・•・cos乙4QB

\QA\\QB\一17

解析：本题考查平面向量的数量积，向量的坐标运算，二次函数的最值.

(1)因为点。在直线OP上，向量的与前共线，可以得到关于的坐标的一个关系式，再根据训•诬

的最小值，求得的的坐标；

(2)cos乙4Q8是近与谑夹角的余弦，利用数量积的知识易解决.

3.答案：解：(1)建立平面直角坐标系，如图所示；

V

则4(0,0),8(0,2),C(6,0),£)(3,0)

当4时，BE=^BC,E是8c的中点，

所以E(3,l),'BD=(3,-2).AC=(6,0),AE=(3,1);

又AE=xBD+yACy

所以(3,1)=x(3,-2)+y(6,0)=(3%+6y,-2x)

哨誓j3,

解得x=-py=|;

(2)设点E(x,y),则荏=(x,y)；

当4E18。时，AE-JD=0,

即3x-2y=0①;

又说=(x,y-2)

JC=(6,-2),且通与前共线，

所以一2x-6(y-2)=0(2);

由①②组成方程组，解得x=中，y=算；

所以而=卓,-右,

所以诙=看配，

即;I的值为卷.

解析：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了用向量法解答三角形的有关问题，是综合性题目.

(1)建立平面直角坐标系，表示出向量前、左和荏，利用平面向量的坐标表示和向量相等列出方程

组，即可求出x和y的

值；

(2)设出点E(x,y),利用4EJ.BD时荏.丽=0,和丽与配共线，列出方程组，解方程组求出点E

的坐标，即可求出4的

值.

4.答案:解：⑴因为NZMB=90。,

所以以A为坐标原点，A8、AO分别为x、y轴，建立平面直角坐标系如下图：

「C

因为4B〃CD,AB=6,AD=CD=3,Dk—--------------九

所以4(0,0),B(6,0),C(3,3),D(0,3).\

又因为对角线AC交8。于点O,N/

所以由布=t就得而=(3t,3t)，即0(3t,3t),pA/____________f

hl—MB

因此。0=(3t,3t—3)，DB=(6,-3).

而前〃而，所以一3x3t-6X(3t-3)=0,解得t=|,

因此。(2,2).

又因为点M在AB上，所以设M(m,O),

因此丽=(m-2,-2),前=(-6,3)，

而OMJ.BD,所以南•前=-6(ni-2)-6=0，

解得巾=1,即

因此祠=(1,0).而丽=(-6,3)，

所以奇•丽=-6-

即宿•前的值为一6；

(2)因为N为线段AC上任意一点，

所以由(1)知：可设N(n,冗)(0<n<3)(包括端点)，

因此祠=(n,n),丽=(n-l,n),

所以-MN=n(n-1)+n2=2n2—n-

因为函数的图象开口上，对称轴为

y=2/—nn=%

而04n43,

所以函数y=2n2-n的值域为[一表15],

即丽•丽的取值范围是卜3,151

解析：本题考查了二次函数，向量的数量积，相等向量的概念，向量垂直的判断与证明，平面向量

的坐标运算，平面向量共线的充要条件和向量的几何运用，属于中档题.

(1)根据题目条件，以A为坐标原点，AB、A。分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，利用相等向量

的概念的坐标运算得m=(3t,3t),从而得O(3t,3t),再利用向量的坐标运算得前=(3t,3t-3)和

丽=(6,-3)，再利用平面向量共线的充要条件得得t=|,从而得。(2,2),设M(m,0),从而得而=

(m-2,-2),前=(一6,3)，再利用向量垂直的判断的坐标运算得m=l,从而得再利用向

量的坐标运算得前=(1,0),再利用向量数量积的坐标运算，计算得结论；

(2)利用(1)的结论，结合题目条件设N(n,n)(03)(包括端点)，再利用向量的坐标运算得而=

5,n)和而=(n-l,n),再利用向量数量积的坐标运算得前•丽=2n2-n,最后利用二次函数，

计算得结论.

5.答案:解:(1)设H=(x,y),•・•©=3衣，且不〃落

ry+%=0

AU2+y2=18,

解瞰二3唏：二

故1=(一3,3),或7=(3,-3).

(2)val(a-26)，

.-.a-(a-2b)=0，

即/一2五i=0，2—2五•9=0,

即方■b=1-

解析：（1）设H=（x,y）,根据向量共线和模长公式列方程解出；

（2）由五•（为一2万）=0得出苍•石=1，代入夹角公式求出夹角.

本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，平面向量的共线定理，属于中档题.

6.答案：解：（1）2五+〃方=/1（百-2或）+〃（彳+3孩）=（4+〃）5+（3〃-2；1）孩，

•.,4瓦—3孩=4五+〃3，

.0+〃=4,

〔3〃-2a=-3,

A=3,4=1.

（2）五不=（百一2孩）•（百+3宅）=前2+国•逐一6孩2=一5，

lal=J®-2的2=小瓦2―4瓦传+4玛2=后,

日|=J（百+3①"=]同2+6瓦•其+9年2=同,

八a-b-5V2

•*,COSc7-7==—,

|a||b|V5xV102

又•・•06[0,7T],

・・.0=-.

4

解析：本题主要考查了平面向量共线的充要条件，向量垂直的性质，向量的数量积，向量的模及向

量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

（1）根据平面向量共线的充要条件可得_3由此可求出;I,〃的值；

（2）由向量垂直与向量数量积的关系，从而可求出五.芯进而利用向量的夹角公式求解即可.

7.答案：解析：

解：（1）荏=宿+而=（2瓦+瓦）+（-瓦（+；!瓦）=区+（1+4）瓦.

■-A,E,C三点共线,.•.存在实数屋使得荏=人品，即瓦＜+（1+Q宅=k（-2浣+宅），得（1+2々）区=

（k-1一4）名.

•・・£,祕是平面内两个不共线的非零向量,

北二3°，解得八4"V

(2)阮=旗+正=一3宙一:名=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).

(3)-.M,B,C,。四点按顺时针顺序构成平行四边形，

:.AD=BC.

设4(%,y),则而=(3—％5-y),•••就=(一7,—2)，

•J；二江二;，解得即点A的坐标为(10,7).

解析：

本题考查平面向量的坐标运算，以及平面向量共线的充要条件.

(1)根据平面向量的加法运算法则和向量共线的性质即可得解：

(2)根据平面向量的坐标运算法则即可得解；

(3)根据平面向量的坐标运算法则和向量相等求解即可.

8.答案：解:(1)因为2a-b=2c-cosB,

由正弦定理得2sinA-sinB=2sinC-cosB,

因为sinA=sin[7r-(B+C)]=sin(B+C),

代入上式得2sinBcosC4-2cosBsinC-sin8=2sinCcosB,

即2sinBcosC—sinB=0,

因为B€(0,7r),即sinBH0,

所以cosC=I，

因为。是三角形内角，

所以C=g.

(2)如图所示：由题知同=2丽,

A

即而_不=2(方一而)，

所以而=5?7+|恒则而2=(，以+|国)2,

所以3=”2+gx2bxq+gx4,

即川+4b-11=0,解得6=V15-2或b=-V15-2(舍去).

所以。=6一2.

解析：本题考查了正弦定理，三角恒等变换，向量加减运算，向量数量积和模长公式的运用，考查

了分析和运算能力，属于中档题.

(1)由2a—b=2c-cosB,结合正弦定理，三角函数两角和正弦公式化简即可得到cosC=：,即可

求出C；

(2)由题意可得而=9不+|方，将式子两边平方，展开计算，建立关于匕的方程求解即可.

9.答案：解：(1)因为向量沆=(c一a,sinB),n=(h-a,sin714-sinC),且沆〃五，

所以(c—a)(sin44-sinC)=(b—d)sinB,

由正弦定理得(c-a)(a+c)=定-d)b,

所以cosC=QW=4=±

2ab2ab2

因为C€(0,7r),故。=:;

(2)由(1)知3=与-A,由题设及正弦定理得通由1。+3sin(,一从)=3sin.A,

即立+^cosA+三sinA=sin4,可得sin(.A-1)；，

222\2

由于0<A<；,<<-g<；,所以=竽，

故sinA=sin(.A-

.7万、7T/7T\,7T4+遮

sinL44--Jcos—+cosI-4——1sin1=-------------•

解析：本题主要考查了向量的数量积，向量的平行性质，正弦定理的应用，属于中档题；

(1)根据题意由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b—a)b,所以cosC=的F=々=工，即可得解；

2ab2ab2

（2）由（1）知B=三-A,由题设及正弦定理得/6sinC+3sin（，-力）=3sinA,得到

siii（A—鼻）=，co«（A一:）='即可得解.

10.答案：解：（I）设，用x=my+1，4件yj，B信丫2），由｛：2」X：+1得y2-4my-4=0,

则为+、2=4m,yry2=-4因为方=4或，所以y】=-4y2＞从而y1=4,y2=-1＞机=£

所以直线AB的方程为4x-3y-4=0；

2

（II）设过A点的切线的方程为：y=攵（％-%1）+y「代入y2=4x,由/=0得攵=工，

所以。的方程为：yxy=2x+2X1.设直线〃与y轴交点为。，令x=0,得y。=等=*

AQ=（一去一纱•••福E荏="常一一月），

.I初一丽•初一冷寥+1一强鸣_例+4）。

,■11-_W_嚣^_F-，

...|衲2=（元+4下=y，+12*+48yf+64

•••|4F|•|4B|=荏•而=（1一?，一月）•（?一乃一%）=

.I研2=1

**\AB\AF\-4*

所以必是定值，定值毋

解析：本题主要考查的是直线与抛物线位置关系问题及圆锥曲线中的定值问题，难度较大.

（I）设，用x=my+l,4件%），3件必），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及条件方=

4方求解即可；

（II）设过A点的切线匕的方程为：y=/c（x-x1）+y1,与抛物线方程联立，结合判别式得％=%,再

结合M为AB中点分别求出|而『="善当过上，|力可•|AB|=型"譬上，即可得解.

11.答案：解：根据题意可得荏=南+而7+旗

，一.—.»1,2—>

1__2_____k

=AB+-AD+-（MC+CN）

_1__,22_,1—,

=AB+-AD+-（-AD--AB}

33、32J

=海+河

又荏=4瓶+〃而，由平面向量的基本定理可得4号，

所以川=蒜

(2)由题意可得而=而，因为尸在线段N尸上(包含端点)，

所以设和=4而=4而7(0W2W1)>

所以方=^M+MF=^4M+(1+A)W

=宿+(1+A)(AN-初)

———AAM+(1+A)AN>

又存=1翔+(1-1)前，

所以t=-AG[—1,0].

解析：(1)利用向量的加法及平面向量的基本定理即可求得人4，从而得解；

(2)利用共线向量定理可设标=A而=AMN(0<A<1),由向量的加法法则可得方=-AAM+

(1+4)而，由平面向量的基本定理可得t=-九即可求得，的取值范围.

本题主要考查向量的线性运算、平面向量的基本定理的应用，属于中档题.

12.答案：解：由已知有前:=4宿+〃前=1(正+而)+〃俞=4(麻?一；荏)+〃丽，

所以丽=—AB+—AC,

4“H

因为N,B,C三点共线,

所以比+"=1，

4〃〃

:.32+4〃=4,

1,31,3、\,彳、1“,4〃，94、、27

..•/「=否+/（3；1+4〃）=］（15+彳+丁）之彳.

当且仅当;l=g,4=|等号成立.

所以：的最小值为日.

4〃4

解析：本题考查平面向量的加减运算及平面向量共线的条件的使用，同时考查利用基本不等式求最

值，考查推理能力和计算能力，属于中档题.

由己知得到标=/通+号被由MB,C三点共线，求得34+44=4,然后利用基本不等式

求最值即可.

13.答案：解：设存在keR,使得A,B,。三点共线.

因为DB=CB—CD=（可+3荀—（2瓦—ej）=一百+4孩，AB=2e^+ke^-

又因为A,B,。三点共线，所以通=4而，

所以2瓦+k芍=2（一百+4的,

所以设二1；'所以k=—8,

所以存在k=-8,使得A,B,。三点共线.

解析：本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力，属于基础题目.

设存在使得A,B,。三点共线，则荏=2而，即益=4（一瓦+4的，利用向量共

线的充要条件得忙=、'，求解即可.

14.答案：解：（1）根据题意，得而="希+前）

所以I而|2=而2=［（南+前）2

122

=-（AB+2AB-AC+AC）

I,?27r

=-(32+2x3x6xcos—+62)

43

27

=r

...I而I=苧;

>,—>i—>>—>a—>i>

(2)BM=AM-AB=-(AB+AQ-AB=--AB+-AC,

所以|丽|2=^X9_|X(_9)+^X36=^,

loololo

从而I的|=竽.

~BM-AD=(-^AB+^AC)-^(AB+AC)=-1x9-|x(-9)+：x36=小

BMAD_2742_局

所以COS。=

\BM\fAD\―T3V19X乖一"19

解析：本题考查了平面向量的应用问题，利用平面向量的线性运算法则和平面向量的数量积，求模

与夹角，是中档题.

(1)根据题意，利用向量的加法法则，得出而；求出|而『的值，即得AZ)的长;

(3)利用平面向量的数量积求出夹角J的余弦值.

15.答案：解：/(%)=m-n—2V3=4sinxcosx+4V3sin2x—2V3

=2sin2x—275cos2x—4sin(2x—g),

Q=f9=4sin三=2V3,

①若(2c+b)cosA+acosB=0,

则由正弦定理可得：2sinCcos4+sinBcosA+sinAcosB=0,

即2sinCcos4+sin(B+A)=2sinCcosA+sinC=0,

因为C为三角形内角，sinC>0,可得cos4=-%

因为26(0,兀)，可得4=手

②若siMB+sin2c—sin2i44-sinBsinC=0,

由正弦定理可得：炉+。2-小+加=0,

由余弦定理可得cos4==也=-i,

因为ae(o,7r),可得人=拳

③若a2j2—C2=4

贝E4-c2—a2=——S=——x-bcsinA=——bcsinA^

3323

所以cos/=b二a.=—@sin4,可得tanA=-V5,

2bc3

因为46(0㈤，可得4=拳

bca2y/3,

由正弦定理可得忑而=菽=加=百=4,

2

所以b=4sinB,c=4sinC,

因为B+C=$所以C=；-

所以2b+c=8sinB+4sin—B)=8sinB+4(-ycosB-|sinB)

=6sinB+2>/3cosB=4V3sin(B+§,

因为0<B<g所以l<sin(B+^)<1,

3obZ2\6/

所以2g<4>/3sin(B+§<4VI,

即2b+c的取值范围为(2b,48).

解析：本题考查了正余弦定理的应用，两角和与差的三角函数公式，向量的数量积，三角函数的最

值，属于中档题.

根据题意，求出和“，再由所选条件，结合正弦定理、余弦定理解得角A,进而得到2b+c=

4百sin(B+勺，即可求得2b+c的取值范围.

16.答案：解：(1)设动点P的坐标为(x,y),则而=(x,y-1),BP=(x,y+1),PC=(1-x,-y).

vAP-BP=fc|PC|2,x2+y2-1=fc[(x-I)2+y2],即川-l)x2+(k-l)y2-2kx+k+l=0

若k=l,则方程为x=l,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线；

若kKl,则方程为(x+±)2+y2=(")2,表示以(生,0)为圆心，以心为半径的圆；

(2)当k=2时，方程化为(x-2)2+y2=1,|而+前|=|(2x,2y)|=2"4亍

令x=2+cos。，y=sind,则|赤+乔|=245+4cos®

.,.当cos。=1时，|而+前|的最大值为6,当cosJ=-1时，|而+乔|的最小值为2.

解析：(1)根据题意，设出尸的坐标(x,y),可得向量的坐标，代入而•乔=k|定中，可得(卜-

l)x2+(fc-l)y2-2kx+k+1=0,分k=1与k*1两种情况讨论，可得答案；

(2)表示出向量和的模，利用圆的参数方程设点的坐标，即可求得|而+而|的最大值和最小值.

本题考查直线与圆的方程的综合运用，考查向量知识的运用，考查圆的参数方程，属于中档题.

17.答案：解：(1)由瓦？=弓，点P在边。A上且|而而|=1:2,

可得加=：区同理可得的=|另，

设荏=4而，丽=〃前，4、〃为实数，

则加=成+而=市+；1而=1+；1(|3—五)=(1-A)a+|Ab,

OR=0B+~BR=0B+=b+H^a-h)=^na+(l-n)b,

•••向量五与石不共线，

(1-A=^p.(A=-

.“33,解得1:,

知=1一〃(n=-

・••/=%+与

62

(2)设=r,则丽=rR4=r(a-h),

.•.丽=丽_既=丽_(而一裙)=(一加+(卜丁)反

•・•而_L雨，.••丽•雨=0，

即[（厂—3）五十）一7）司，（d）=o，

则（r-方之+（厂-01之+（|-2r）a-K=0,

又。同=1,同=2,

所以（丁一£）+4（厂一+（|-2丁）（2cos0）=0,

113-8COS01（3,c\

Ar=6X5-4COS6=6\S-4COS0+2）f

•••叱曲朗…孙六卜也土・・・5-4coseE[3,7],

1

6*)

即上w，

故制的取值范围是

解析：本题考查平面向量的加法、减法、数乘运算的应用，及向量垂直的判断的应用，考查运算化

简的能力，涉及余弦函数的性质，属于中档题.

4=2

1所以苏=颉+/；

⑵设解=八利用平面向量垂直，得「="事=|(直篇+2)，由三角函数的性质得奈<r<

?故制的取值范围是助卜

18.答案：解：(1)由题意可知前=而-荏=［而-;而=.-扣；

―,―,—.2__，2_.2_2_

EG=EB+BG=—+—/1Z)=~&-F—a;

(2)EF-EG=l(b-a)-(a+b)=l(\b\2-\a\2)=0,即|中=|石

4B-EG=a-(^K+|a)=||a||b|cosA+||a|2=2|矶@cos4,

22

即-+-cos/=2cos4,

33

解得cos4=I，

即4=p

解析：本题主要考查了平面向量的加减运算，考查了向量的数量积，属于中档题.

(1)利用平面向量的加减运算可求得就，EG-.

(2)根据向量垂直的性质可得而•而=0,求得|8|=|方然后由加.用2H.l7,利用向量的

数量积，可求出A的值.

19.答案：W：(1)•••AB•^C=0，-.AB1AC，

以A为原点，AB,尼的正方向分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.

令|前|=a，则C(0,a),B(2a,0),

:.AB—AC=(2a,—a)，AB+AC=(2a,a)»

设向量荏-而与向量南+配的夹角为8,

A_(AB-AC\(AB+AC')_4a2-a2_3

‘COS"=\AB-AC\-\AB+AC\=而a•店a=5-

(2)-ABAC=0rAABLAC，

以A为原点，AB,前的正方向分别为x轴、)，轴建立平面直角坐标系.

V\AB\=2\AC\=2.则C(0,l),B(2,0),

设。(x，W),xe[0,1],

：.OA-OB+OC-OA=OA-(OB+OC')=2OAOM

X1X

=2(-x,--)'C1-x>2-

2

XX

=2(x2-%+---)

=|(%2-X)

TH

.•.当且仅当x时，面.布+反•而取得最小值-1，

解析：本题考查平面直角坐标系的应用、平面向量的运算、基本不等式，考查考生的运算求解能力

和转化与

化归思想、数形结合思想.

(1)建立平面直角坐标系，求出而-前.与通+前的坐标，再利用平面向量的夹角公式求解；

(2)建立平面直角坐标系，设出点。的坐标，利用平面向量的数量积公式化简待求式，再结合二次函

数的最值求解

20.答案:解：因为五=(1,0),b=(2,1)，

所以比方+了=(k+2,1)a+2b=(5,2).

(1)因为k五+方与五+2坂共线，所以(k+2)x2-lx5=0,解得k=5，

即当k=泄，k百+消2+2膜线.

(2)因为k五+石与五+2石垂直，

所以(kH+石)•(为+23)=0，即5x(k+2)+2xl=0,解得k=一孩，

即当女=一当时，kE+石与五+2石垂直.

(3)因为k五+1与五+23的夹角为锐角，

所以(k五+石)・@+21)>0且k五+石与五+29不共线，

因此5x(k+2)+2xl>0且(k+2)x2-lx5x0,

解得k>一蔡且kK右

即当k>一孩且kK：时，k五+石与五+2冽勺夹角为锐角.

解析：本题考查了向量垂直的判断与证明，向量的数量积，平面向量的坐标运算和平面向量共线的

充要条件，属于中档题.

利用平面向量的坐标运算得k苍+方=(k+2,1)和苍+2方=(5,2).

(1)利用平面向量共线的充要条件，计算得结论；

(2)利用向量垂直的判断得(k五+1)・0+2石)=0,再利用向量数量积的坐标运算，计算得结论；

⑶利用向量的数量积得(k五+石)-(a+2b)>0且k五+石与1+2反不共线，再利用向量数量积的坐

标运算和平面向量共线的充要条件，计算得结论.

21.答案：(1)证明：•••丽=而+而=方+［方，

.〉一一>',,',—>1_

CM=CB+BM=-b--2a,

.-.AN=-CM,

前与两共线.

(2)解：在线段A8上存在点M,使前与而垂直.

理由：设的=4花BD=AD-AB=b-a，CM=CF+FM=-b+Aa.

•・•前与而垂直，.•.前•国=0.

即(另一3)•(—石+4五)=0，

•••131=2,|/)|=1，君■/?=()，；"=一；.

・••存在满足条件的点M,即4M=|,使得前与国垂直.

此时点M在线段AB的四等分点，最靠近点B的位置.

⑶解：

①当P在线段AB上时，设9=kZ(0<fc<1),则：AP-AB=ka-a=4k,

.•.而•南的最大值为4,此时P在B点处；

②当尸在线段8c上(不含端点)时，设9=五+々石，.•.而•话=(五+kB)2=4，

此时P在线段8c上(端点除外)；

③当P在线段CO上时，设加=一人方，(0</c<1),AP-AB=(a+b-kaya=4(1-k)，

.•.9•荏的最大值为4,此时P在C点处：

④当尸在线段A。上时，AP-AB=0.

综上所述，当P在线段BC上时，而.丽的最大值是4.

解析：本题考查了向量共线的判定，向量垂直的判定，向量的数量积，向量的几何运用.

(1)解答本题的关键是由向量的几何运用将丽和由用弓和石表示出来，可发现丽=-而，由此即可

证得而与丽共线；

(2)解答本题的关键是将前、不7用万和方表示出来，由向量垂直的条件可知：BD-CM=由此即

可求得点M的位置；

(3)解答本题的关键是将点P的位置进行分情况讨论，再分别求出而•荏的最大值,最后得出而•AB

的最大值及点P的位置即可.

22.答案：解：(1)由题可知2c=26,即/)=的

又2a=4,所以a=2,

又炉+c2=a2=2匕2=4=/=2,

所以椭圆的方程为。+:=1.

42

(2)易得右焦点尸2(企,0)，假设存在点N(t,o)满足要求.

设直线/的方程为％=my+遮，设4(%1，%)，8(%2，乃).

联立｛'2整理可得(加+2)y2+2\/2my-2=0»

则/>0,yi+y2=yi-y2=品'

又福=(%1-~NB=(x2-t,y2^

所以福-1TB=(%1—1)(%2—t)+y02,

又因为(与-t)(x2-t)=(jny14-V2-t)(my2+&-£)

=62yly2+^(V2-t)(yi+y2)+(鱼-g

22

所以a•WB=(m+l)yty2+巾(&一t)(yi+为)+(V2—t)

2「2y12m「

=-(mo2+1)-m(V2―t)+(V2-t)02

m2+2m2+2

-(2m2+2)—(4-2V2t)m

+(&_£)

m24-2

(严—4)m2+2t2-4V2t+2

m2+2

要使•而为定值，

则必须有三=且史经，

12

解得t=这，

4

所以存在点N(乎,0),使可了•雨为定值-京

解析：本题主要考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、椭圆中的定点与定值问题，

涉及向量的数量积，属较难题.

(1)根据题意解出m〃的值，从而得到椭圆方程；

(2)假设存在点N(t,0)满足要求，设直线/的方程为x=/ny+VL设4(刈,乃)，B(x2,y2),联立直线

与椭圆方程，结合韦达定理表示出斓•雨=以幽字二2上，要使福.而为定