浅析数学分析一致连续性

一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。数学分析中的三个“一致性”(即一致有界,一致连续,一致收敛)的概念对数学根底知识的学习很重要。弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f〔x〕在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析根底,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成局部和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，表达在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定能定量的事物开展过程。这也是初学者无法理解分析中定义的原因。而几何意义将是数学分析课程入门的一引导者，它向学生展示了数学分析中最根本的思想方法，有利于学生对抽象概念的理解，能更好地开展学生的思维能力。本文通过揭示一致连续与一致收敛概念之间的内在联系，导出了利用连续性判定一致收敛的方法。此方法对于通常的初等函数及函数列一致收敛与非一致收放的判定非常有效，且很简便，可说是一目了然。它不仅限于在指一致连续与一致收敛定区间上的讨论，还便于作全面的研究。通过对函数及函数列的一致连续的定义的对照对函数列的一致收敛与一致连续问题进行了讨论,通过这种讨论使我们清晰的看到函数列的一致连续问题不仅和函数列本身有关而且和极限函数有着密切的关系。探讨了一致连续和一致收敛的关系,并在有界区间上给出了一致连续和一致收敛的等价关系。掌握这些关系为今后研究连续、收敛问题提供了更多的依据。二对数学分析中一致连续的概念的理解一致连续是从函数连续的概念派生出来的，是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，那么这两点对应的函数值之差就能到达任意小。函数一致连续的概念一直是《数学分析》学习中的难点，在多年的教学实践中，深感学生对函数一致连续的概念掌握的不是很好，经常听到学生有这样的疑问：函数连续和一致连续究竟有什么区别？本文谈的就是在教学中如何让学生较快地理解函数一致连续的概念。1从连续的概念引出一致连续的概念函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。也就是说：对于任给的正数ε，要求存在一个与x无关的正数δ，使对自变量的任意2个值x'，x"，只要它们的距离︳x'-x"︳＜δ，对应的函数值︳f〔x'〕-f〔x"〕︳＜ε，。显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f〔x〕在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解，那么我们在上课时就不宜照本宣科，需要把概念中所隐含的知识逐步解释清楚，才可以帮助学生较快地理解一致连续的概念。下面我们从函数f〔x〕在区间I上连续的定义出发，通过2个例子，快速建立函数f〔x〕在区间I上一致连续的定义。定义1〔函数f〔x〕在区间I上连续〕设f〔x〕为定义在区间I上的函数，假设对ε＞0，对于每一点x∈I，都存在相应δ=δ〔ε，x〕＞0，只要x'∈I，且︳x-x'︳＜δ，就有︳f〔x〕-f〔x'〕︳＜ε，那么称函数f〔x〕在区间I上连续。给出以下2个例子。例1考查函数f〔x〕=在区间〔0，1］上的连续性。解对∈〔0，1］，因为x=＞0，那么存在邻域U〔，δ'〕，使得x∈U〔，δ'〕，有x＞，所以有︳-︳=＜=2。对ε＞0，取δ=min，就有︳-︳＜ε。这里δ与有关，有时特记为δ〔ε，〕。注意本例中不存在可在区间〔0，1］上通用的δ，即不存在最小的〔正数〕δ。强调：的位置不同，δ的取值也随之产生变化。例2考查函数f〔x〕=在区间上［c，+∞〕〔c＞0〕的连续性。解对∈［c，+∞〕〔c＞0〕，存在邻域U〔，δ'〕，使得x∈U〔，δ'〕时，有︳-︳=<。对ε＞0，取δ=ε，就有︳-︳＜ε。这里可取得最小的，也就是可通用的δ=ε，该δ却与无关，可记为δ〔ε〕。比拟例1中δ与例2中δ的不同，引出较函数f〔x〕在区间I上连续的概念条件更强的函数f〔x〕在区间I上一致连续的概念。定义2〔一致连续〕设〔fx〕为定义在区间I上的函数，假设对ε＞0，存在δ〔＞0〕，使得对任何x'，x"∈I，只要︳x'-x"︳＜δ，就有︳f〔x'〕-f〔x"〕︳＜ε，那么称函数f〔x〕在区间I上一致连续。连续概念中δ与一致连续概念中的δ不同，通过具体的例子来说明，就更加直观，对初学的学生来说，更容易接受。通过这样的2个例子引出函数f〔x〕在区间I上一致连续的概念，可使学生在刚接触到一致连续时，就对其中的δ有一种直观的感受。这样学生对δ的取法就比拟清楚，可以迅速让学生理解一致连续的概念。2利用函数一致连续的概念证明函数一致连续为了进一步加深学生对函数一致连续概念的理解和记忆，随即提出用定义验证一致连续的方法：对ε＞0，确证δ〔＞0〕存在。为此，从不失真地放大︳f〔x'〕-f〔x"〕︳这个式子入手，使在放大后的式子中，除因子︳x'-x"︳之外，其余局部中不含有x'和x"，然后使所得式子︳f〔x'〕-f〔x"〕︳＜ε，从中解出︳x'-x"︳.例3验证函数f〔x〕=sin在区间〔c，1〕〔0＜c＜1〕内一致连续。证明因为︳sin-sin︳=2︳sin︳︳cos︳≤≤所以对ε＞0，取δ=ε，使得对任何x'，x"∈〔c，1〕，只要︳x'-x"︳＜δ，就有︳sin1x'-sin1x"︳＜ε。3函数不一致连续的概念下面证明例1中的函数f〔x〕=在区间〔1，0］上不一致连续。找不到可在区间〔0，1］上通用的δ，即不存在最小的δ〔正数〕。先给出函数f〔x〕在区间I上不一致连续的定义。定义3存在某个ε0，无论δ是怎么样小的正数，在I上总有两点x'和x"，虽然满足︳x'-x"︳＜0，却有︳f〔x'〕-f〔x"〕︳＞ε。证明取ε0=1，对δ〔＜1〕，取x'=min｛δ，12｝与x"=，便有︳x'-x"︳=≤＜δ，但=︳-︳=≥2＞1=。因此也可以说函数f〔x〕在区间I上连续，存在一个集合A=﹛δx︳x∈I﹜，如果当集合A中存在一个最小的δ时，那么f〔x〕就是I上一致连续，而f〔x〕在区间I上连续那么只要求存在集合A就可以了。三一致收敛概念1函数列一致收敛的定义设S1(x),S2(x),⋯,Sn(x),⋯是一列定义在同一数集X上的函数,称为定义在X上的函数列.设{un(x)}称为定义在X上的函数列,表达式u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+⋯,x∈X称为定义在X上的函数项级数,简记为un(x)或un(x).设数集X为函数项级数un(x)的收敛域,那么对每个x∈X,记S(x)=un(x),称S(x)为函数项级数un(x)的和函数.定义i设有函数列{Sn(x)},假设对任给的ε>0,存在只依赖于ε的正整数N(ε),当n>N(ε)时,不等式︱Sn(x)-S(x)︱<ε对X上一切x成立,那么称{Sn(x)}在X上一致收敛于是s〔x〕.一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达:定义ii设‖sn-s‖=|Sn(x)-S(x)|,假设‖sn-s‖=0,就称Sn(x)在X上一致收敛于S(x).定义2＞0，N，当时，对一切，都有．这时称函数列在上一致收敛于，记作．一致收敛与逐点收敛之间的区别：定义2中的只依赖于，它适用于一切；而定义1中的极限式(1)假设用陈述方式来表示时，其中的既与有关，又与中的考察点有关．定义设函数项级数的局部和函数列为．如果，那么称在上一致收敛于．由定义2与定义易知：●假设,那么．●假设或在上一致收敛，，那么它们在上必一致收敛．●当把数列看作一个特殊的函数序列时，如果收敛，那么可认为它在上一致收敛．●当把数项级数看作一个特殊的函数项级数时,如果收敛，那么可认为它在上一致收敛．●又假设，那么同样可以认为．把逐点收敛〔即数列或数项级数收敛〕的柯西准那么推广为一致收敛的柯西准那么，即为以下两个定理．定理在上一致收敛的充要条件是：，当时，对一切和一切都有．定理5.1'在上一致收敛的充要条件是：，当时，对一切和一切都有．有关定义2、定义以及柯西条件的否认说法，分别示于相关知识．例5讨论函数列分别在和上的一致收敛性．解首先，对每一固定的，恒有，即在上处处收敛于．(i)当时，，，当时，对一切，都有．由于上述只依赖于，依据定义2，证得，．(ii)当时，由解出．由此可见既依赖，又依赖，故，．四对函数一致连续性的几点讨论弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充,本文做以下几点讨论:1关于函数一致连续的概念定义设函数f(x)在区间I有定义,假设Pε>0,vδ>0,x1,x2∈I:|x1-x2|<δ,有|f(x1)-f(x2)|<ε,称函数f(x)在I一致连续。对函数的一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题:(1)要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。比拟函数在区间的连续性和一致连续性定义可知:前者的δ不仅与ε有关,而且还与点x0有关,即对于不同的x0,一般来说δ是不同的,这说明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续;后者的δ仅与ε有关,与x0无关,即对不同的x0,δ是相同的。这说明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的(即连续可对一点来讲,而且对于某一点x0,δ取决于x0和ε,而一致连续必须以区间为对象,δ只取决于ε,与点x0的值无关)。在区间I一致连续的函数在这个区间一定是连续的,事实上,由一致连续性定义将x1固定,令x2变化,即知函数f(x)在x1连续,又x1是I的任意一点,从而函数f(x)在I连续。但在区间I连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如f(x)=1/x在区间(0,1)就是如此。(2)函数一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差,就绝对值来说,可以任意小,即x1,x2∈I,当|x1-x2|<δ时,就有|f(x1)-f(x2)|<ε.(3)要注意函数一致连续的否认表达。一致连续的否认就是非一致连续,即设函数f(x)在区间I有定义,假设ε0>0,δ>0,x1,x2∈I:|x1-x2|<δ,有|f(x1)-f(x2)|≥ε0,那么称函数f(x)在I非一致连续。总的来说,函数的连续性反映了函数的局部性质,而函数的一致连续性那么反映了在整个区间上的整体性质。二者之间既有区别又有联系。2关于函数一致连续的条件根据函数一致连续性定义可以判别函数在区间上的一致连续性,这种判别方法关键在于找出对于区间上的点可以共用的δ,但对某些函数而言找这样的δ并非易事。因此有必要去探讨判别函数在区间上的一致连续的简便方法。由一致连续定义自然地得到函数连续是函数一致连续的必要条件,但不是充分条件,那么连续函数在区间还应满足什么条件才能使函数在区间上一致连续呢?G·康托定理告诉我们:函数f(x)在闭区间[a,b]上一致连续的充分必要条件是f(x)在[a,b]上连续。所以在闭区间[a,b]连续的函数必一致连续,在一定条件下G·康托定理也可以推广到有界的开区间和无界的区间。阻碍由区间连续性转变为区间一致连续性有两种情况:(1)区间有界但非闭,这时开的端点可能成为破坏一致连续性的点;(2)区间的一个端点为无穷或两个端点为无穷,这时,函数在无穷远处也可能破坏一致连续性。这时只要我们对于破坏一致连续性的开的端点或无穷远点附加一定的限制条件,函数就一致连续了。因此在数学分析教材的根底上补充以下定理和推论。定理1函数f(x)在(a,b)内一致连续的充分必要条件是f(x)在(a,b)连续,且f(x)与f(x)都存在。证明:必要性()假设f(x)在(a,b)内一致连续,那么对ε>0,δ>0,x1,x2∈(a,b)且|x1-x2|<δ时,有|f(x1)-f(x2)|<ε,此时对端点a,当x1,x2满足0<x1-a<δ/2,0<x2-a<δ/2时,就有|x1-x2|≤|x1-a|+|x2-a|<δ,于是|f(x1)-f(x2)|<ε.由柯西收敛准那么知f(x)存在，同理可证f(x)也存在,从而f(x)在(a,b)连续,且f(x)与f(x)都存在。充分性()假设f(x)在(a,b)连续,且f(x)与f(x)都存在,补充定义f(a)=f(x),f(b)=f(x),这样f(x)在闭区间[a,b]上连续,从而f(x)在[a,b]上一致连续,故f(x)在(a,b)内一致连续。根据定理1容易得出以下推论:推论1函数f(x)在[a,b)内一致连续f(x)在[a,b)连续且f(x)存在。推论2函数f(x)在(a,b]内一致连续Zf(x)在(a,b]连续且f(x)存在。定理2假设f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)和f(x)都存在,那么f(x)在(-∞,+∞)上一致连续。证明:ε>0,δ1>0,由f(x)=A,b>0,当x>b时,有|f(x)-A|<ε/2,从而当x1,x2>b且|x1-x2|<δ1时,有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)-A|+|f(x2)-A|<ε由此可知f(x)在[b,+∞)上一致连续。同理可证当|x1-x2|<δ2时,有|f(x1)-f(x2)|<ε,即知f(x)在(-∞,a]上一致连续。又f(x)在[a,b]上连续,因此δ3>0当|x1-x2|<δ3时有|f(x1)-f(x2)|<ε,故f(x)在[a,b]上一致连续。取δ=min{δ1,δ2,δ3},当|x1-x2|<δ时便有|f(x1)-f(x2)|<ε即f(x)在(-∞,+∞)上一致连续。由定理2容易得出以下推论:推论1函数f(x)在(a,+∞)内一致连续的充分条件是f(x)在(a,+∞)内连续,且f(x)与f(x)都存在。推论2函数f(x)在[a,+∞)内一致连续的充分条件是f(x)在[a,+∞)内连续且f(x)存在。推论3函数f(x)在(-∞,b)内一致连续的充分条件是f(x)在(-∞,a)内连续且f(x)与f(x)都存在。推论4函数f(x)在(-∞,b]内一致连续的充分条件是f(x)在(-∞,b]内连续且f(x)存在。以上的定理及推论提供了判断函数一致连续性简单而有效的方法。例1,以下函数在指定区间上是否一致连续?(1)f(x)=,x∈(0,1);(2)f(x)=1/(1+),x∈(0,+∞);(3)f(x)=sinx/x,x∈(0,π)解:(1)显然f(x)=在(0,1)内连续,且=0,x3=1即=0与x3=1都存在故f(x)在(0,1)一致连续。(2)显然f(x)=1/(1+)在(0,+∞)内连续,且f(x)=[1/(1+x2)]=1f(x)=[1/(1+x2)]=0故f(x)=1/1+在(0,+∞)内一致连续。(3)f(x)=[sinx/x]=1f(x)=[sinx/x]=0因此f(x)在(0,π)内一致连续。对于任意区间,也有以下结论函数f(x)在区间I上一致连续的充分必要条件是对区间上I任意两个数列{xn}与{yn}当(xn–yn)=0时,有[f(xn)-f(yn)]=0.由此可见,判断函数一致连续的方法是多种多样的,只要我们灵活多变,才能做到事半功倍,在教学中恰当地去引导学生去思考去运用,学生的创造性思维能力必将有效地得到提高。3证明函数非一致连续的简便方法根据函数的非一致连续定义可以证明函数在区间上的非一致连续性。例2证明函数f(x)=在R非一致连续。证明:=1/2,δ>0(n>),x′=ln(n+1),x″=lnn∈R:|x′-x″|=|ln(n+1)–lnn|=ln(1+1/n)<ln=δ,有|f(x′)-f(x″)|=|(n+1)-n|=1>1/2=所以f(x)=在R非一致连续。利用定义证明函数f(x)在I非一致连续的关键在于确定>0,找出x′,x”∈I使得|f(x′)-f(x”)|≥,而做到这一点,对于某些函数来说并非易事。根据函数的一致连续性的充要条件,容易得出证明函数在区间I非一致连续的较简便的两个充分判别法。(1)连续函数f(x)在区间(a,b)内非一致连续的充分条件是f(a+0)和f(b-0)至少有一个不存在。(2)连续函数f(x)在区间I非一致连续的充分条件是在区间I上存在两个数列{xn}、{yn},使得(xn–yn)=0,但[f(xn)-f(yn)]≠0现在利用判别法(2)证明例2:证明:取xn=ln(n+1),yn=lnn∈R,且(xn–yn)=(ln(n+1)–lnn)=ln(1+)=0但[f(xn)-f(yn)]=(-)=(n+1-n)=1≠0所以由判别法(2)知f(x)=ex在R非一致连续。利用这两个判别法证明函数f(x)在区间上非一致连续性的优点是显而易见的:不用直接确定>0找x1,x2∈I满足|f(x1)-f(x2)|≥,而只须观察f(a+0)和f(b-0)的存在性或找出两个数列{xn}和{yn}满足判别的条件即可。例3证明以下函数在所示区间内非一致连续f(x)=cos,x∈(0,1)证明:因为cos不存在,所以f(x)在(0,1)内不一致连续。五关于函数列的一致连续性的研究一、关于一致性的几个定义一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。本文就从这里人手展开讨论,对于函数的一致连续性我们知道有如下定义定义1:函数f(x)在数集E上一致连续是指:对Pε>0,存在δ>0,使得当:x1,x2∈E,且|x1-x2|<δ时,有|f(x1)-f(x2)|<ε。函数的一致连续性定义使我们考虑问题角度从局部化问题转入了整体问题。如:“有界闭区间上的连续函数一定是一致连续的”。在研究函数的整体性质时,一致连续显的特别有用。例如:黎曼积分存在时,有这样的命题如下:命题假设函数f(x)在区间[a,b]上有界,且至多具有有限多个点不连续点,那么函数f(x)在区间[a,b]上可积。特别是:函数f(x)在区间[a,b]上连续时,那么函数f(x)在区间[a,b]上可积。此命题的证明中,函数的一致连续性起着非常重要的作用。在实变函数中有名的卢津定理,给出了连续函数和可测函数之间的关系,说明用连续函数可以“逼近”可测函数,从而可以用比拟熟悉的连续函数,去把握比拟抽象的可测函数,并在某些场合可以适当地把可测函数转化为连续函数。因而连续、一致连续性的许多等价命题和定理,为研究实际问题提供了依据。对于函数列{fn(x)}的一致连续性要比函数f(x)的一致连续性复杂,因为它不只是涉及到一个函数,而是要涉及到一个函数列{fn(x)},其定义如下:定义2设函数列{fn(x)}在数集E上有定义,假设对任意给定ε>0,总存在δ>0,使得当:x1,x2∈E,且|x1-x2|<δ时,对一切的n∈N,都有|fn(x1)-fn(x2)|<ε,那么称函数列{fn(x)}在数集E上一致连续。函数列{fn(x)}在E上一致收敛于f(x)又有定义如下:定义3设函数列{fn(x)}与函数f(x)均在数集E上有定义,假设对任意ε>0,总存在某个自然数N,使得当n>N时,对一切x∈E,都有|{fn(x)}-f(x)|<ε,那么称函数列{fn(x)}在数集ε上一致收敛于f(x)。有了函数与函数列的一致收敛与一致连续的定义,关于{fn(x)}与f(x)一致性有如下命题:命题1.假设函数列{fn(x)}在数集E上一致收敛于f(x),且,n∈N,{fn(x)}在E上一致连续,那么极限函数f(x)在E上一致连续。这个命题给出了函数列与极限函数的一致连续、一致收敛之间的关系。用定义1,定义3就可以证明此命题。证明如下:我们知道函数列{fn(x)}在E上一致收敛于f(x),所以对Pε∈>0,存在N∈N,使得当n>N,有|{fn(x)}-f(x)|<(x1,x2∈E),同时有|fn(x1)-fn(x1)|<和|fn(x2)-fn(x2)|<(x1,x2∈E)成立。取定n>N,我们考察fn(x)在E上也是一致连续的。对上述ε>0,vδ>0,使得当(x1,x2∈E),|x1-x2|<δ时,就有|fn(x1)-fn(x2)|<于是只要x1,x2∈E时,当|x1-x2|<δ,有:|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)-fn(x1)|+|fn(x1)-fn(x2)|+|fn(x2)-f(x2)|≤++=成立。故f(x)在E上一致连续性得以证明。例如:函数列{(1-x)}在[0,1]上一致收敛于0,对任意自然数n,(1-x)与0均在[0,1]上连续。命题2假设函数列{fn(x)}在数集E上一致连续,fn(x)=f(x),那么极限函数f(x)在E上一致连续。同样,我们可以由定义1,定义2,证明此命题。这个命题给出了函数列{fn(x)}一致连续性的一个判别法。假设函数列{fn(x)}在数集E上逐点收敛于f(x),而函数f(x)在E上不一致连续,那么函数列{fn(x)}在数集E上是非一致连续的。例如:函数列{xn}在[0,1]就是如此。二、函数列一致性和连续性定理:命题3假设函数列{fn(x)}在区间I上一致收敛于f(x),且每一项fn(x)都在I上连续,那么极限函数f(x)在区间I上连续。注1:假设各项为连续函数的函数列在区间上其极限函数f(x)不连续。那么此函数列在区间上不一致收敛。如:{}的各项在[-1,1]都连续,但极限函数f(x)=,在x=1时不连续,从而推得{}的在[-1,1]不一致收敛。注2:由连续函数的定理可得之逆命题不成立:即:假设函数列{fn(x)}在区间I上一致收敛于f(x),且f(x)连续,那么N,当n>N时,函数列{fn(x)}皆连续?这是不成立的。因为:fn(x)=D(x)处处不连续,但fn(x)=0=f(x)处处连续,且有|fn(x)-0|≤知收敛为一致收敛。注3:如下逆命题也不成立:即:假设函数列{fn(x)}在区间I上收敛于f(x),fn(x)与f(x)均连续,那么收敛为一致收敛。这是不可能的。例如:fn=在(0,1)单调趋于0,但不一致收敛。上述命题3将条件适当的改变也可以得到新的命题,例如:命题3在区间上成立同时在数集E上也成立,因此有如下命题:命题3′假设函数列{fn(x)}在数集E上一致收敛于f(x),且每一项fn(x)都在数集E上连续,那么极限函数f(x)在数集E上连续。当然,我们也可以把函数列{fn(x)}在E上一致收敛于f(x)的条件适当的减弱,又得到下面的命题:命题3″假设函数列{fn(x)}在数集E上内闭一致收敛于f(x),且每一项fn(x)都在数集E上连续,那么极限函数f(x)在数集E上连续。进一步可得到下面的命题。命题4假设函数列{fn(x)}在区间I上一致收敛于f(x),且fn(x)在区间I上都是一致连续,且fn(x)与f(x)均存在,那么极限函数f(x)在区间I上一致连续。(其中I=(a,b))从命题4可以看出,命题4实际上等价命题1。三、连续与一致收敛Dini定理设函数列{fn(x)}在区间[a,b]上收敛于连续函数f(x),对x∈[a,b]都有fn(x)≤{fn+1(x)}或fn(x)>fn+1(x)成立,且每个fn(x)在[a,b]上连续,那么函数列{fn(x)}在区间[a,b]上一致收敛。Dini定理给出了函数列{fn(x)}在闭区间[a,b]上一致收敛的充分条件。因此可以判别函数列的一致收敛性。例如:fn(x)=在[a,b]上,fn(x)=n(-1)在[1,10]上,如果将Dini定理定义在数集上我们又可以得到下面的命题。命题:设函数列{fn(x)}在数集E上收敛于连续函数f(x),又存在自然数N,当n>N,对x∈E都有fn(x)≤fn+1(x)或fn(x)>fn+1(x)成立,且每个fn(x)在数集E上连续,那么函数列{fn(x)}在数集E上内闭一致收敛于f(x)。六一致连续的几个等价命题及其应用函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。为了解决这一难点，化抽象为简单，笔者在教学过程中给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。一致连续定义：设函数〔〕在区间I〔开、闭、半开都可〕上有定义，假设对任给正数ε，总存在某一个正数δ＝δ〔ε〕，只要，属于I，且︳－︳＜δ，便有︳〔〕－〔〕︳＜ε，那么称〔〕在区间Ｉ上一致连续。定理可以证明下述四个命题和一致连续定义是相互等价的：〔1〕假设对任给正数ε，总存在某一个正数k，只要，属于I，且︳x′－x″︳＜δ，且满足︳︳＞k，〔≠〕便有︳〔〕－〔〕︳＜ε〔δ＝δ〔ε〕，k=k〔δ〕〕。〔2〕对区间Ｉ中满足〔-〕=0的任何两个数列{}，{}，〔〔〕-〔〕〕=0。〔3〕对区间I中的任何cauchy列{}，{〔〕}也是cauchy列。〔4〕〔x〕在区间Ｉ＝〔a，b〕内连续，〔a+0〕及〔b-0〕存在且连续。证明：一致连续定义命题〔1〕。因为原命题正确，其逆否命题也一定正确，二者是等价的。因此可以用它们的逆否命题来证明。一致连续定义的逆否命题是：对任给正数ε，存在某一个正数δ＝δ〔ε〕，使得对任意，属于Ｉ，如果︳〔〕－〔〕︳≥ε，就有︳-︳≥δ。命题〔1〕的逆否命题是：对任意正数ε，存在某一个正数k，使得对任意，属于Ｉ，如果︳〔〕－〔〕︳≥ε，就有︳︳≤k。如果由一致连续定义的逆否命题能得到命题〔1〕的逆否命题，那么命题〔1〕得证。现在证明这个结论。由于︳-︳≥δ，故存在正整数k，使得kδ≤︳-︳＜〔k+1〕δ。不妨设＜，将〔，〕进行〔k+1〕等分，记为〔，〕，〔，〕…〔，〕，其中＝，＝。由上不等式知︳－︳=＜δ，故有︳〔〕－〔〕︳＜ε。〔=1，2，…，k+1〕，从而︳︳≤＜≤。根据定义的逆否命题式知，假设︳－︳≥δ，那么︳〔〕－〔〕︳≥ε。如果取k=［］＋１，由上述推论知：对任何，属于Ｉ，当︳〔〕－〔〕︳≥ε时，必有︳︳≤≤k。即证明了命题〔1〕。命题〔1〕命题〔2〕利用反证法。设有数列{}，{}均属于I，且〔-〕＝０，但〔〔〕-〔〕〕≠0，即存在某个ε＞0，对任何自然数j，都有某个＞j，使得︳〔〕－〔〕︳≥ε〔a〕当j=1，2，3，…时，得到数列｛－｝，它是数列｛－｝的一子列，故〔－〕＝0。由〔1〕知，对任给正数ε，总存在某一个正数k，只要，属于Ｉ，当︳︳＞k，〔x′≠x″〕时，有︳〔〕－〔〕︳＜ε。又由〔－〕＝0知，对ε>0，存在有N>0，当j>N时，有︳－︳＜故当j>k时，由上式及〔a〕式知︳︳＞=k。所以由〔1〕知︳〔〕－〔〕︳＜ε，但这与〔a〕式矛盾，故必有〔〔〕-〔〕〕＝0。命题〔2〕命题〔3〕利用反证法，设{}为区间I中的某一cauchy列，但{〔〕}不是cauchy列，因此，有某个ε＞０，对任意自然数k，总存在有>>k及相应在{〔〕}中的两项〔〕，〔〕，使得︳〔〕-〔〕︳≥ε〔b〕当k=1，2，3，…时，可得到{}的两个子列{}，{}，由于{}收敛，所以{}，{}也收敛，且收敛于同一极限，因此〔－〕＝０，由〔2〕知，〔〔〕-〔〕〕=0，但这与(b)式矛盾，故{〔〕}必为cauchy列。命题〔3〕命题〔4〕首先证明〔〕在〔a，b〕内连续，任取∈〔a，b〕，又设{，n}是〔a，b〕内任一收敛于的数列，令Yn=即{}：，，，，…，，，…。那么＝，由题设知〔〕存在。因此由子列定理知{〔〕}，{〔〕}均收敛于相同的极限，从而〔〕=〔〕=〔〕=〔〕＝〔〕又因为〔〕存在，故由收敛数列的子列定理有：〔〕=〔〕。所以〔〕＝〔〕，由收敛于x0的数列{}的任意性，根据归结原理知〔〕＝〔〕，这就是说〔〕在∈〔a，b〕处连续。又由∈〔a，b〕的任意性知〔〕在〔a，b〕内连续。再证〔a+0〕存在且有限。设{}，{}，为〔a，b〕内均收敛于a的任意两数列，令=k=1，2，…。那么＝０，从而〔〕存在，所以〔〕=〔〕。又因为〔〕及〔〕也都存在，故〔〕=〔〕=〔〕，〔〕=〔〕=〔〕。从而有〔〕＝〔〕，由归结原理知极限〔〕存在且有限，其值为〔a+0〕，同理可证〔b-0〕存在且有限。命题〔4〕一致连续定义由于〔〕在区间Ｉ＝〔a，b〕上连续，且极限〔a+0〕，〔b-0〕存在，因此可补充定义〔a〕=〔a+0〕，〔b〕=〔b-0〕，可得函数：Ｆ〔〕=那么称Ｆ〔〕为〔〕在闭区间[a，b]上的延拓，Ｆ〔〕在闭区间[a，b]上连续且一致连续，即对任意ε＞0，存在有δ＞0，使得只要，∈[a，b]，且︳-︳＜δ，便有︳F〔〕－F〔〕︳＜ε，从而只要，属于I=〔a，b〕，且︳-︳＜δ，便有︳〔〕－〔〕︳＜ε。本定理实际给出了函数一致连续的四个充要条件，因此应用上述等价命题可以证明函数是一致连续的或不是一致连续的，且往往比拟简单。例证明函数〔〕=在任一有限区间〔-a，a〕〔a>0〕内一致连续。证明设{}为〔-a，a〕中的任意cauchy列，因此，对任意ε>0，存在N>0，当n>m>N>0时有︳-︳＜从而︳〔〕－〔〕︳=︳︳=︳-︳︳︳＜.=ε故{〔〕}也是cauchy列，所以由〔1〕与〔4〕等价知，〔〕＝在任一有限区间〔-a，a〕〔a>0〕内都一致连续。七函数列一致收敛性的推广1预备知识定义1设{(x)}是实数集E上的实值函数列，假设对任意ε>0，存在δ>0，当x∈E，y∈E时，有︳f(x)−f(y)︳<ε〔n=1,2,…〕，那么称〔〕在E上同等连续．定义2设(X,d)是量度量空间，ε是任意正数，Y⊂X，假设任给x∈X，至少存在一个点y∈Y，使d(x,y)<ε，那么称Y为(X,d)的ε-网，假设Y是有限的，那么称Y为(X,d)的有限ε-网．定理1假设E为紧实数集，{(x)}是E上一致收敛的连续函数列，那么{(x)}在E上同等连续．显然，函数列的同等连续性推不出函数列的一致收敛性。2主要结果定理2假设函数列{(x)}在实数集E上同等连续，对任意的δ≥0，都存在有限δ-网﹛y1，y2，…yk﹜，函数列{(x)}在﹛y1，y2，…yk﹜上收敛，那么{(x)}在E上一致收敛．证明因{(x)}在E上同等连续，对任意ε>0都存在δ>0，取x,y∈E，且︳x−y︳<δ时，有︳(x)−(y)︳<〔n=1,2,…〕．由条件对δ>0，存在有限δ-网﹛y1，y2，…yk﹜，{(x)}收敛，对每个i(i=1,2,L,k)，都存在ni，当m,n>ni时，有︳(yi)−(yi)︳<取=max﹛﹜于是m,n>时，对每个i(i=1,2,…k)，有︳(yi)−(yi)︳<，任取x∈E，有一个i，x∈U(yi,)，于是当m,n>时，有︳(x)−(x)︳=︳(x)−(yi)+(yi)−(yi)+(yi)−(x)︳≤︳(x)−(yi)︳+︳(yi)−(yi)︳+︳(yi)−(x)︳<ε证毕．推论1函数列{(x)}在紧实数集E上同等连续，{(x)}在E上处处收敛，那么{(x)}在E上一致收敛．推论2E为紧实数集，E1是E的稠子集，{(x)}在E上同等连续，在E1上处处收敛，那么{(x)}在E上一致收敛．事实上，因为{(x)}在E上同等连续，对任意ε>0，都存在δ>0，当︳x−y︳<δ，x,y∈E时，︳f(x)−f(y)︳<ε/3〔n=1,2,…〕．由于1E稠密于E，﹛U(x,)﹜是E的开覆盖及E为紧集，存在有限开覆盖﹛U(x1,),…U(xk,)﹜，而{(x)}在{x1,…,xk}收敛，由定理2即证．定理3E为紧实数集，{(x)}在E上连续，在E的稠子集E0上同等连续且处处收敛，那么{(x)}在E上一致收敛．证明只须证{(x)}在E上同等连续，由于{(x)}在E0上同等连续，对任意ε>0，都存在δ>0，0x,y∈E，当︳x−y︳<δ/3时，有︳fn(x)−fn(y)︳<ε．取x′,y′∈E，且︳x′−y′︳<δ/3，因E0在E中稠，存在E0中的数列{xn},{yn}，使得xn→x′,yn→y′．由于{fn(x)}n在E上连续，所以对于任意i〔i=1,2,…〕，有fi(xn)→fi(x′)，fi(yn)→fi(y′)，从而︳fi(x′)−fi(y”)︳≤︳fi(xn)−fi(yn)︳≤ε〔当n充分大时，︳xn-yn︳<〕．证毕．定义3E为实数集，{(x)}为E上的函数列，且处处收敛于f(x)，如果对任意的ε>0及每个自然数N，都存在E的有限δ－网{x1,…,xk}及k个大于N的自然数n1,…,nk，使︳f(x)−f(x)︳<ε〔xU〔，〕E〕，称{(x)}＊一致收敛于f(x)．定理4如果{(x)}在实数集E上＊一致收敛于f(x)，且对于充分大的n，fn(x)在E上连续，那么f(x)在E上连续．证明任给一个x0∈E，因〔〕=〔〕对任给的ε>0，存在自然数N，n>N时，︳〔〕-〔〕︳＜，而{(x)}在E上＊一致收敛于f(x)，所以对上述的ε>0及N，存在有限δ−网{x1，…，xk}及k个大于N的自然数n1，…nk，使︳f(x)−f(x)︳<ε，〔xU〔，〕E〕设U〔，〕E，那么︳f()-()︳<ε，，由于f(x)的连续性，存在δ′>0，xU〔，〕时︳f(x)-f()︳<ε，，不妨使U〔，〕U〔，〕，于是x∈U〔，〕时，有︳f〔x〕-f()︳=︳f〔x〕-f(x)+f(x)-f()+f()-f()︳=︳f〔x〕-f(x)¦+︳f(x)-f()︳+︳f()-f()︳<3ε证毕．定理5{(x)}在[a,b]上＊一致收敛于f(x)，存在自然数N，n>N时，fn(x)在[a,b]上可积，那么f(x)在[a,b]上可积．证明对任意的ε>0及自然数N，都存在有限δ-网{x1,…,xk}及k个大于N的自然数n1,…,nk，有︳f(x)−f(x)︳<ε/[4(ba)]，xU〔，〕[a,b]显然，可找出k个闭区间覆盖[a,b]，且每个闭区间含于某一个U〔，〕(i=1,2,…,k)中，不妨设第i个闭区间是[α,β]，f(x)在[α,β]上可积且︳f(x)−f(x)︳<ε/[4(ba)]，给[α,β]一个分法T，当T的模小于δ′时，＜,表示f(x)在[,]上的振幅，即=f(x)-f(x)=Mk-mk，显然f(x)-ε/[4(b-a)]<f(x)<f(x)+ε/[4(b-a)]，从而有mk-ε/[4(b-a)]<fx+Mk+ε/[4(b-a)]．设kΩ为f(x)在[,]上的振幅，那么≤+ε/[2(b-a)]，因而≤+ε/[2(b-a)]≤,故f(x)在[α,β]上可积，由积分的可加性，f(x)在[a,b]上也可积．证明必要性：假设(0)=(0)，对β∈V，作向量β-Aβ，因A(β－Aβ)=Aβ－β=Aβ－Aβ=0，所以β－Aβ∈(0)＝(0)，那么有B(β-Aβ)=0，即Bβ=BAβ，亦即BA=B，类似可得AB=A．充分性：由AB=A,BA=B可得，α∈(0)，由Bα=(BA)α=B(Aα)=0，所以α∈(0)，从而(0)(0)，类似可得(0)(0)，因而有(0)＝(0)．证毕．八一致连续性的几点注记数学分析中的三个“一致性”(即一致有界,一致连续,一致收敛)的概念很重要,本文就“一致连续性”进行剖析。为了表达的方便和具有直观性起见,只讨论一元实值函数的情形,相应的结果可以推广到多元实值函数和复函数,甚至矢量值函数和在任意度量空间中取值的函数上去。定义1设I是一个区间(它可以是开的、半开的、闭的,也可以是无界的),函数f:I→R,如果对任意给定的＞0总存在一个>0,使得但凡x1,x2∈I且︳x1-x2︳<时,恒有︳f(x1)-f(x2)︳<,这时称f在区间I上是一致连续的。定理2设IR,函数f:I→R,函数f在I上一致连续性的充分必要条件是:对任何满足条件(xn-yn)=0的序列{xn},{yn},I都有(f(xn)-f(yn))=0由此得出f在I上不是一致连续的:当且只当存在一个0>0,对每一个n∈N都可以在I中找到两点,记为sn和tn,使得虽然有︳sn—tn︳＜,但是︳f(sn)-f(tn)︳≥0。注意函数f在区间I上“连续”和“一致连续”的重大差异,很显然的是函数f在区间I上的一致连续性蕴涵着f在I上的连续性,但是反之未必成立,以下两例帮助我们理解和弄清这种差异的产生。例1函数x,x,sinx在[0,+∞)上是一致连续的。例2函数,n=2,3,4⋯在[0,∞)上是不一致连续的。定理3假设函数f在闭区间[a,b]上连续,那么f(x)在[a,b]上一致连续。命题4f(x)在有限区间I上一致连续的充要条件为:任意给定>0,都可将I分成有限多个小区间,使得f(x)在每个小区间上任意两点的函数值之差都小于。注假设I为无限区间,那么命题不真,如例2定理5假设函数f(x)在[a,+∞)上连续,且y=f(x)有渐近线y=cx+d,即(f(x)-cx-d)=0,那么f(x)在[a,+∞)上一致连续。推论1假设f(x)在(-∞,b)上连续,且y=f(x)有渐近线y=cx+d,那么f(x)在(-∞,b)上一致连续推论2假设f(x)在[a,+∞)或(-∞,a]上连续,且f(x)=d,或f(x)=d(d为常数),那么f(x)在[a,+∞)或(-∞,a]上一致连续。定理6设函数f在区间I(有限或无限)上满足条件:对任何x1,x2∈I,都有:︳f(x1)-f(x2)︳≤k︳x1-x2︳(其中k为正常数),即f在I上满足Lipschity条件,那么f在I上一致连续。注:假设f在I上是凸函数(即对x1,x2∈I,x1<x2,0<<1,皆有f(x1+(1-)x2)≤f(x1)+(1-)f(x2)),那么f(x)满足定理6的条件,从而f在I上一致连续。定理7假设f(x)是区间I上的可导函数,且f′(x)在I上有界,那么f(x)在I上一致连续。定理8假设函数f在有限区间(a,b)内一致连续,那么f(x)在(a,b)内有界。如:f(x)=lnx和g(x)=在(0,1)内都不一致连续。注:假设将有限区间改为无穷区间,那么命题不真如:f(x)=x+sinx在(-∞,+∞)内无界,但一致连续定理9假设函数f在有限开区间(a,b)内一致续,那么f(x)与f(x)必存在。注:假设(a,b)为无穷区间,那么命题不真如:f(x)=sinx在(-∞,+∞)上一致连续,但sinx与sinx都不存在定理10假设f(x)在有限开区间(a,b)内连续,且存在f(a+0)及f(b-0),那么f(x)在(a,b)内一致连续。注:f(x)=在(0,)内一致连续定理11假设函数f(x)在有穷或无穷区间(a,b)内有界、单调、连续,那么f(x)在(a,b)内一致连续。定理12假设f(x)在有穷或无穷区间I上一致连续,有穷或无穷区间I0I,那么f(x)在I0上一致连续。推论假设f(x)在I0上不一致连续,那么f(x)在I(I0)上不一致连续。定理13假设f(x)在[a,b]及[b,c]上都一致连续,那么f(x)在[a,c]上一致连续注:由f(x)在[a,b)及(b,c]上都一致连续,推不出f(x)在[a,b)∪(b,c]上一致连续。如:f(x)=︳︳在I1=(-1,0)与I2=(0,1)内都一致连续,但在I1∪I2内不一致连续。定理14假设f(x)在开区间Ii(i=1,2,3,…k)内都一致连续,其中任何一个区间不是另一个的子区间,且Ii=(a,b),那么f(x)在(a,b)内一致连续。定理15假设f(x)和g(x)都在有限区间I内一致连续,那么(1)f(x)+g(x)在有限区间I内一致连续;(2)f(x)·g(x)在有限区间I内一致连续。注1:假设将有限区间换成无限区间,那么(1)真,但(2)不真。如:f(x)=x,g(x)=sinx都在(-∞,+∞)内一致连续,但是f(x)·g(x)=x·sinx在(-∞,+∞)内不一致连续。注2:由f(x)和g(x)(g(x)≠0)都在有限区间I内一致连续,推不出在有限区间I内一致连续。如:f(x)=1,g(x)=x都在(0,1)内一致连续,但是=在(0,1)内不一致连续。推论假设fi(x)(i=1,2,3,….,k)都在开区间(a,b)内一致连续,那么(1)fi(x)在开区间(a,b)(有限或无限)内一致连续,(2)fi(x)在有限开区间(a,b)内一致连续。关于复合函数的一致连续性我们有如下的结论:定理16一致连续的一致连续函数是一致连续的注1:一致连续的连续函数不一定是一致连续的注2:连续的一致连续函数不一定是一致连续的综上所述,我们一方面可看出函数一致连续的实质,另一方面又可得出一些判断函数是否一致连续的方法。为了加深理解函数一致连续性的本质,特别以以下两例作为此文的结束语。例3:函数f(x)在[0,+∞)上一致连续,且对任何x∈[0,1],有f(x+n)=0(n∈N),证明:f(x)=0由于f(x)在[0,+∞)上一致连续,故对任何>0,存在>0,但凡x,y∈[0,+∞)且︳x-y︳<时,便有︳f(x)-f(y)︳<取定自然数k充分大使得<,作xi=,i=0,1,2,⋯,k,也就是说x0,x1,⋯,xk将[0,1]分成k个小区间,每个小区间的长度小于;对任何的x≥1,这时x-[x]∈[0,1),必有i∈{0,1,2,⋯,k},使得xi满足︳x-[x]-xi︳<;对每一个xi,由于f(xi+n)=0,因此存在自然数N,但凡n>N时,有︳f(xi+n)︳<,i=0,1,2,⋯,k;于是,当x≥N+1时,︳f(x)︳=︳f(xi+[x])+f(x)-f(xi+[x])︳≤︳f(xi+[x])︳+︳f(x)-f(xi+[x])︳<+=。这样f(x)=0。例4证明:函数f(x)在区间I上一致连续的充分必要条件是:对任意的>0,存在自然数N,使得当x,y∈I,x≠y,且︳︳>N时,恒有︳f(x)-f(y)︳<E。证明:必要性设函数f(x)在区间I上一致连续,对任意给定的>0,存在>0,只要x,y∈I使得︳x-y︳≤便有︳f(x)-f(y)︳<;现在取自然数N>,I中的x,y适合x>y且满足︳︳>N(1)如果︳f(x)-f(y)︳≥,那么必有x-y>,令k=【】,这时1≤k=【】≤<2·-1,于是︳f(x)-f(y)︳≤︳f(y)-f(y+)︳+︳f(y+)-f(y+2)︳+⋯+︳f(y+k)-f(x)︳<(k+1)≤2··<N·(x-0)这与(1)式矛盾!这说明,一旦(1)式成立,必然有︳f(x)-f(y)︳<。充分性设对任意给定的>0,存在自然数N,使得只要x,y∈I,x≠y且满足︳︳>N,便有︳f(x)-f(y)︳<;取=,假设︳x-y︳<时,有︳f(x)-f(y)︳≥,于是︳︳=>N=这时必有︳f(x)-f(y)︳<。得出矛盾!证毕。九关于一致连续性的几个问题函数项级数和函数列的一致收敛性问题往往是数学分析中的重点，又是难点，初学者不易掌握，关于函数项级数在区间I上一致收敛于和函数与函数列在区间I上一致收敛于极限函数的分析定义见【1】，函数项级数的一致收敛性与其局部和函数列{}的一致收敛性是等价的，幂级数作为特殊的函数项级数有其特殊性质。证明它们一致收敛的常用方法是：在和函数或极限函数可以求出的情况下，可以用定义。利用余项的一致收敛性：在区间I上一致收敛的充要条件是=在I一致收敛于0，即=0；在I上一致收敛于德充要条件是=0.利用Cauchy准那么〔函数项级数和函数列均可用〕。利用函数项级数一致收敛性的M判别法〔Weierstrass判别法〕。利用函数项级数一致收敛的Dimchlet判别法和Abel判别法。利用结论：如果函数列在【a，b】上收敛于，且每一在【a，b】上满足Lipschitz条件，即存在M＞0，使得≤M，，【a，b】，n=1，2，…，那么在【a，b】上一致收敛于。利用结论：如果可微函数列在【a，b】上收敛于，且在【a，b】一致有界，那么在【a，b】上一致收敛于。利用Dili定理〔函数项级数和函数列均可用〕。利用结论：设幂级数的收敛半径R＞0，那么当〔或〕收敛时，在【0，R】〔或【-R，0】〕上一致收敛；在【-R，R】内一致收敛当且仅当在【-R，R】内一致收敛。以上证明都比拟简单，我们只证明6、7.对于任意＞0，取=，那么当＜时，＜，n=1，2，…。取自然数＞，令，=1，2，…，，那么由于，故存在N，当m，n＞N时，＜，=1，2，…，。对任意必有，使≤＜。由Cauchy准那么，一致收敛，6得证。当一致有界时，由Lagrange定理可看出，每一在【a，b】上满足Lipschitz条件。故由6直接得到7.注1方法2实质上是用求极限的方法把一致收敛性问题转化为求数列极限的问题。注2Cauchy准那么和M判别法是较为实用和方便的一致收敛判别法，一般优先考虑使用，如果能用M判别法判定一致收敛，那么必是绝对收敛的，故M判别法对条件收敛的函数项的数失效。注3函数项级数一致收敛的M判别法不能直接推广到函数列上去，由条件=，，︱︱≤〔n=1，2，…〕且数列{}收敛不能推出{}在I上一致收敛。十关于函数列一致收敛性的一点注记1引言设f1(x),f2(x),…fn(x),…是一列定义在同一数集I上的函数,称为定义在I上的函数列.设{un(x)}是定义在数集I上的一个函数列,表达式u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+⋯,x∈I称为定义在I上的函数项级数,简记为un(x).设数集I为函数项级数un(x)的收敛域,那么对每个x∈I,记S(x)=un(x),称S(x)为函数项级数un(x)的和函数.定义1设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一数集I上,假设对任给的正数ε总存在某一自然数N使得当n>N时,对一切x∈I,都有|fn(x)-f(x)|<ε,那么称函数列{fn(x)}在I上一致收敛于f(x).定义2设{Sn(x)}是函数项级数un(x)的局部和函数列,假设{Sn(x)}在数集I上一致收敛于函数S(x),那么称函数项级数un(x)在I上一致收敛于S(x)。Dini定理函数列{fn(x)}在[a,b]上收敛于连续f(x),每个fn(x)在[a,b]上连续,且对任意x∈[a,b],数列{fn(x)}单调,那么{fn(x)}在[a,b]上一致收敛.函数列(函数项级数)一致收敛性的判别方法很多,本文用定义给出一个有用的结论,使得对函数列(函数项级数)一致收敛性的判别简单化.2主要结果定理1设函数列{fn(x)}满足(1)fn(x)收敛于连续函数f(x)(2)对于任意n∈N,fn(x)为[a,b]上的单调函数那么fn(x)在[a,b]上一致收敛f(x).证明由fn(x)收敛于f(x),且f(x)为[a,b]上的连续函数,那么f(x)在[a,b]上一致连续,在[a,b]上任取m-1个点,a=x0<x1<⋯<xm-1<xm=b。使得它们把[a,b]分割成m个小区间△i=[xi-1,xi]且f(x)在△i上的振幅小于由fn(x)收敛于f(x),那么对于任意xi(i=0,1,2,⋯,m),对于任意ε>0,存在Ni,取N=max{N0,N1,⋯,Nm},当n>N时,有|fn(xi)-f(xi)|<(对于任意i=0,1,⋯,m)又由fn(x)为[a,b]上的单调函数,那么有|fn(x)-f(x)|≤max{|fn(xi-1-f(x)|,fn(xi)-f(x)},x∈△i当n>N时,对于任意x∈[a,b],存在△i,使得x∈△i,有|fn(xi)-f(x)|≤|fn(xi)-f(xi)|+|f(xi)-f(x)|<+=ε1同理|fn(xi-1)-f(x)|<ε,故|fn(x)-f(x)|<ε对任意的x∈[a,b]都成立.故fn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).注:定理1与Dini定理的区别在于定理1的条件是函数单调,Dini定理的条件那么是数列单调.对于函数项级数un(x),我们也有类似的结果(证明与定理1类似,略)定理1′设un(x)在[a,b]上连续且满足:(1)uk(x)在[a,b]收敛于连续函数s(x);(2)对于任意n∈N,函数un(x)在[a,b]上单调,那么un(x)在[a,b]上一致收敛.例试讨论函数序列fn(x)=n〔〕在区间[1,a]上的一致收敛性.解当1≤x≤a时,fn(x)=〔〕=n(-1)=lnx而lnx在[a,b]上连续,因为对于任意n∈N,fn(x)在[a,b]上为单调函数1由定理1可得fn(x)在[1,a]上一致收敛.由例题我们可以看出用定理1来判别一致收敛性十分简便.3结束语本文主要是通过定义给出一个新的判别法,结合Dini定理我们会发现,只要fn(x)收敛于连续函数f(x),不管是函数单调还是数列单调,fn(x)在[a,b]上都一致收敛于f(x),故对于判别函数列(函数项级数)一致收敛性非常有用。十一数学分析中“一致收敛”概念的推广及其应用熟知,函数项级数Σun(x)的一致收敛性是保证其和函数具有连续性、可微性、可积性的重要条件,但又只是充分条件,对含参量无穷积分f(x,y)同样如此〔1〕.由于一致收敛条件较苛刻,因此考虑各种形式的推广是数学分析中一个饶有兴趣的问题.本文引入函数项级数和含参量无穷积分次一致收敛的概念,并以此概念为根底,推广了数学分析中的有关结论.设函数项级数与含参量非正常积分分别为:un(x)=u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+⋯(1)I(x)=f(x,y)dy,x∈〔a,b〕(2)函数项级数(1)的局部和记为Sn(x)=uk(x),n=1,2,3,⋯定义1设un(x)定义于区间I,假设对任意ε>0及自然数m,存在有限个开区间I1,I2,⋯,Ij覆盖了I,存在一组大于m的自然数Ni,使得n≥Ni,x∈Ii∩I,i=1,2,⋯,j,有︳rn(x)︳=un(x)<ε那么称级数(1)在I上次一致收敛.定义2设含参量非正常积分(2)定义于I,假设对任意ε>0及m≥c,存在有限个开区间I1,I2,⋯,Ij覆盖了I,存在一组大于m的数Ni,使n≥Ni,x∈Ii∩I,i=1,2,⋯,j,有︳f(x,y)dy-f(x,y)dy︳<ε那么称含参量非正常积分(2)在I上次一致收敛.注:由定义可知:一致收敛次一致收敛逐点收敛.例如,级数Σ在(0,1)非一致收敛,但由定理1可知级数是次一致收敛的,因为其和函数在(0,1)连续.定理1〔2〕设un(x)在I上连续,且(1)的和函数是f(x),那么f(x)在I上连续的充要条件是:级数(1)在I上次一致收敛.定理2设f(x,y)为〔a,b〕×〔c,+∞)上的连续函数,那么含参量非正常积分(2)定义的函数I(x)在〔a,b〕上连续的充要条件是含参量非正常积分(2)在〔a,b〕上次一致收敛.证明必要性:设I(x)在〔a,b〕上连续,x0∈〔a,b〕,对任意的ε>0,存在δ1>0,当|x-x0|<δ1时,有|I(x)-I(x0)|=︳f(x,y)dy-f(x0,y)dy︳<,又因f(x,y)dy在〔a,b〕上收敛,所以对任意的m≥c,存在N0>m,当n>N0时︳f(x0,y)dy-f(x0,y)dy︳<由于f(x,y)在〔a,b〕×〔c,+∞)上连续,所以f(x,y)dy在〔a,b〕上也连续,故存在0<δ<δ1,当|x-x0|<δ时,有︳f(x,y)dy-f(x0,y)dy︳<,于是︳f(x,y)dy-f(x,y)dy︳≤︳f(x,y)dy-f(x0,y)dy︳+︳f(x0,y)dy-f(x,y)dy︳+︳f(x0,y)dy-f(x0,y)dy︳<ε这说明对任意x0∈〔a,b〕,存在x0的邻域Ix0,当x∈Ix0时,有︳f(x,y)dy-f(x,y)dy︳<ε当x0取遍〔a,b〕,所得开区间族{Ix}覆盖了〔a.