第09讲空间点、直线、平面之间的关系（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版）

第09讲空间点、直线、平面之间的关系(核心考点讲与练)

聚焦考点

1.平面的概念

数学中的平面是一个不加定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、海平面都给我们平面的形象.几

何里所说的平面就是从这样的一些物体抽象出来的，平面是无限延展的，没有厚度，也没有大小、

轻重之分.

2.空间中的四个公理及其推论

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有与一个平面.

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

3.等角定理

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4.直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

平行

共面直线

相交

异面直线：不同在任何一个平面内

平行直线：

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：allb,b//c=>a//c.

公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.

定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

要点诠释：

(1)异面直线具有既不相交也不平行的特点.

(2)异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其

中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件.不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同

在某一平面内”，例如下图甲中，直线aua,直线匕U4，a〃b,不能由a、b不同在平面。内

就误认为a与b异面，实际上，由a〃b可知a与b共面，它们不是异面直线.

(3)“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是

截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面

内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面.它们可以是平行

直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示.

(4)画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直

(2)异面直线所成的角

①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a,6的平行线人lAa//h,b//h),这两条相交直

线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,6所成的角.

②范围：(0，y.

要点诠释：

异面直线所成角。的取值范围是0<6490。；

求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点一平移一定角一计算.

5.空间直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言符号语言公共点

直相交工aAa—A1个

线

与平行a//a0个

平

在平面

面aua无数个

内

平

平行a//0个

面____/

与

aA£=

平相交无数个

1

面

名师点睛

考点一：平面的基本性质及应用

例1.下列结论正确的是.

①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面

②经过两条相交直线，可以确定一个平面

③经过两条平行直线，可以确定一个平面

④经过空间任意三点可以确定一个平面

答案3个

解析当三点在一条直线上时不能确定平面，故④不正确，①②③正确.

解题要点三点不一定确定一个平面.当三点共线时，可确定无数个平面.

考点二：空间直线的位置关系

例L异面直线是指（）

A.空间中两条不相交的直线

B.分别位于两个不同平面内的两条直线

C.平面内的一条直线与平面外的一条直线

D.不同在任何一个平面内的两条直线

【答案】D

【解析】应根据异面直线的定义“不同在任何一个平面内的两条直线”予以判断.

对于A,空间两条不相交的直线有两种可能：一是平行（共面），二是异面，；.A项排除.

对于B,分别位于两个不同平面内的直线，既可能平行，也还可能相交，还可能异面，如上图，

就是相交的情况，B应排除.

对于C,如上图中的a,b可看作是平面a内的一条直线a与平面a外的一条直线b,显然它们

是相交直线，.•1应排除.

只有D符合定义，应选D.

【总结升华】解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面需要掌握立体几何中的有关概

念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关模型，特例模型能快速、有效地排除相关

的选择项.

【变式1】判断下列说法是否正确?若正确，请简述理由；若不正确，请在下列给出的图形中

找出反例，并给予说明.

(1)没有公共点的两条直线是异面直线；

(2)分别在两个平面内的直线一定是异面直线；

(3)分别与两条相交直线都相交的两条直线共面；

(4)分别与两条异面直线都相交的两条直线异面.

【答案】

(1)不正确,如下图①③中的直线a,b；

(2)不正确，如下图②③中的直线AC,BC及a,b.

(3)不正确,如下图②中的直线AB与/；

(4)不正确，如下图④中，直线AD与BC是异面直线AB,AC都与AD,BC相交，但AB,AC是共面

直线.

例2.已知a,b,c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的

位置关系？并画图说明.

【答案】平行、相交或异面

【解析】对空间直线与直线的三种位置关系逐判断.直线a与直线c的位置关系可以是平行、

相交、异面.如下图(1)(2)(3).

【总结升华】不论是在空间还是在同一平面内，平行直线都具有传递性，而异面直线不具有

这一特点.本例中的三条直线，由于位置关系不确定，因此，要按照直线位置关系的三种情况逐

一分析，而画出示意图对问题的解决是很有帮助的.

【变式1】如图，正方体A8CO-A瓦GA中，点及F,G分别是棱AA"B,CG的中点，判

断下列直线的位置关系：

(1)AB与DR：(2)D[E与BC：

(3)D]E与BG：(4)D[E与CF.

【答案】(1)异面(2)异面(3)共面(4)共面

AF8

例3正方体4G中，E、尸分别是线段比'、勿的中点，则直线48与直线£7谢位置关系是.

答案相交

解析如图所示，直线46与直线外一点£确定的平面为48四，以七平面4成打，且两直线不平行,

故两直线相交.

【变式1】如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G、从业A分别为应,、BE、EF、

优的中点，在这个正四面体中，

①砥牙平行；②龙与，磔为异面直线；

③仍与的成60。角；④应与网垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

答案②③④

解析还原成正四面体知0/与"为异面直线，劭与脚为异面直线，G/Z与确成60°角，DEYMN.

解题要点1.空间两条直线的位置关系有三种：平行，相交和异面，要正确理解异面直线“不同

在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.

2.对于较复杂几何体的线面关系判定问题，应注意借助图形，考察各点、线在空间中的相对位置.

3.正四面体的特性：对棱都异面且互相垂直，记住这个特性有助于快速解题.

考点三：平行公理与等角定理的应用

例1.已知棱长为a的正方体ABC。一4耳G。中，M八分别是棱Q?、/如勺中点.

求证：（1）四边形MN4G是梯形；

（2）NDNM=ND\A、C\.

【证明】(1)如图，连接4G

•；欣人分别是C。、/渊中点，

.小邠是三角形的中位线，

：.MN//AC,MN=-AC.

2

由正方体的性质得：AC//AC】，AC=AC-

•••〃¥〃AG，且MN=gaG，

即MN#AG，

，四边形MNAG是梯形.

(2)由⑴可知物V〃A|G，

又因为此?〃4。，

当NAAG相等或互补.

而/〃愀与ND|AG均是立角三角形的锐角，

NDNM=ND|AC一

例2.如图所示，△ABC和△A'B'。的对应顶点的连线AA',BB',CC,交于同一点D,且

AOBOCO_2

ov-oF_0C-3'

(1)求证：AB//A'B',AC//A,C,BC//B'C'；

【解析】（1）VAAZ与BB'相交于0点，且*=A3〃43'.同理，ACHA'C',BCHB'C'.

OA'OB'

（2）VAB//A'B,,AC7/4C,；.AB和AC,A'B'和A'C'所成的

锐角（或直角）相等，即NBAC=N5'A'C.同理，ZABC=ZA'B'C,ZACB=ZA'C'B'.

又怨*二，..J/斗，

A'B'OA'3SM.B.C⑶9

【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广，但平面几何中的“如果一个

角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”推广到空间中就不成立.因此，

我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论.

在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相

同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则

相等，若不均是则互补.

【变式1］己知E、Ei分别是正方体ABCD-ABCD的棱AD、AD的中点.

求证：ZBEC=ZB>EiC,.

证明:如图，连接EE”

VEt>E分别为AD、AD的中点，.ME幺AE,

二四边形AREA为平行四边形,r.AiA^E.E.

又一AiA幺BiB,.，.EiE幺BB,

...四边形EEBBi为平行四边形，

；.EE〃EB.同理EC〃EC.

又NGEB与NCEB方向相同，ZC.E.BFZCEB.

考点四：异面直线判定问题

例1.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段月8,CD,EF,GV在原正方体中互为异

面直线的对数为.

答案3

解析AB,CD,必和仍在原正方体中如图所示，显然43与mEgGH,/g都是异面直线，而

AgE碉交,磔与G/席i交，或与。平行.故互为异面的直线有且只有三对.

考点五：异面直线所成角的求解

例1已知正方体4匐—45G4中，E、必下别为85、(%的中点，那么异面直线4西4厮成角的余

弦值为.

答案7

0

解析如图，连接力；

因为加与总平行，所以/以口即为异面直线在与〃，所成角的平面角，设正方体的棱长为2,则

、店2+后2—223

=FD=&由余弦定理得cos弦功叨=，丫2xJ工-----=称

【变式1】直三棱柱/用一46£中，若/厉1(7=90°,AB=AC=AA^,则异面直线砌与/G所成的角

等于.

答案60°

解析如图，可补成一个正方体，

，阳〃做.，豌与4G所成角的大小为N4初.

又易知△%能为正三角形，薇=60°.

即以与/G成60°的角.

解题要点求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共

面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可

以选在其中•条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.

例2.如下图，正方体AG中，E,F分别是AB,B£的中点，求异面直线DBi与EF所成角的大小.

【解析】解法一：(直接平移法)如下图1,连接AC,BD,并设它们相交于点0,取DDi的中

点G连接0G,GA„GC.,则0G〃DB”EF〃AC,，NG0A,为异面直线DBi与EF所成的角或其补角.

VGAFGCI,。为AC的中点，r.GO±A,C,.

...异而直线DBi与EF所成的角为90°.

国1

解法二：分别取AA”CG的中点M,N,

连接MN,则MN〃EF,如上图2所示，连接DM,BiN,BM,DN,

则BN〃DM且氏N=DM,

四边形DMBN为平行四边形，

.♦.MN与BD必相交，设交点为P,并设正方体的棱长为1,则MP=也，。M=—,DP=—,

222

.*.DM2=DP2+MP2,，NDPM=90°,即DB」DF....异面直线DBi与即所成的角为90。.

【总结升华】求异面直线所成角的过程是将空间角转化为平面角求解的过程.通常是通过解

三角形求得.

【变式1】已知正方体ABCD-AffCiy中：

(1)BC与C。'所成的角为；

(2)AD与BC所成的角为.

【答案】(1)60。；(2)45。

【解析】连接84,，则84'〃C。'，连接AC',则NA'BC就是3C'与所成的角.

由△ABC为正三角形,

知NA'3C'=60°,

由AD〃BC,知/〃与BC所成的角就是NC'BC.

易知NC'BC=45°.

5

【变式2】正四棱锥人力比说勺底面积为3,体积为一，£为侧棱PC的中点，则必与跳所成的

2

【答案】B

【解析】过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点0,连接比,

正四棱锥一/腐粕底面积为3,体积为一，

2

PO=—,AB=y/3,AC=y/6,PA=y/2,OB=—

22

因为施与/%在同一平面，是三角形/%曲中位线，

则/颇即为阳与庞所成的角

所以。E,

2

在心△。康中，tan/OEB==V3,

OE

TT

所以NOEB=-

3

故选B

考点六：直线与平面的位置关系

例1.下列命题中正确命题的个数为（）

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;

②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；

③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；

④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】对于①，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的

直线没有公共点，没有公共点的两条直线，其位置关系除了平行之外，还有异面.如下图（1）中

正方体ABCD-ABCD-AB〃平面ABCD,AB与BC的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线AB

与BC所成的角为90°,

因此命题①是错误的.

对于③,如上图（1）,VAiBi/ZAB,AD〃AD且AD,ABu平面ABCD,AD,AB（Z平面ABCD,

〃平面ABCD,AD〃平面ABCD,可以说明过平面外一点不只有一条直线与己知平面平行，而

是有无数多条.可以想象，经过平面,ABCD内•点人的任一条直线，与平面ABCD的位置关系都是

平行的，，命题③也是错误的.

对于④，我们可以继续借助正方体ABCD-ABCD来举反例，如上图（2）,分别取AD,BC的中

点E,F,AD,BC的中点G,H,顺次连接E、F、H、G,VE,F,H,G分别为AD,BC,BC,AD的

中点，二可以证明四边形EFHG为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A,D两个点到该

截面的距离相等，直线ADD平面EFIIG=E,...命题④也是错误的.

对于②，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面

的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直.

...正确的命题只有一个，应选B.

【总结升华】对于直线与平面位置关系的命题真假的判断问题，要注意想象空间图形，要把

直线与平面的各种位置关系都考虑到，特别是有些极端情形.

正方体（或长方体）是立体几何中的一个重要又最基本的模型.而且立体几何的直线与平面

的位置关系都可以在这个模型中得到反映，因而人们给它以“百宝箱”之称.本例中的命题①③

④就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的.

【变式1】下列命题中正确的个数是（）.

①如果a、b是两条直线，a//b,那么a平行于过b的任何一个平面；

②如果直线a满足a〃a,那么a与平面a内的任何一条直线平行；

③如果直线a、b满足a〃a,b//a,Pllja/7b；

④如果直线a、b和平面a满足a〃b,a〃a,b（Za,那么b〃a；⑤如果a与平面a内的无

数条直线平行，那么直线a必平行于平面a.

A.0B.2C.1D.3

【答案】C

考点七：平面与平面的位置关系

例1.已知下列说法：

①两平面0〃/,。＜=&,b（=尸,则。〃。；

②若两个平面。〃£，aua/u民则。与b是异面直线；

③若两个平面a〃尸，。＜=7/＜=£,则。与6一定不相交；

④若两个平面a〃B,auu民则。与b平行或异面；

⑤若两个平面。口£=2，aua,则a与尸一定相交.

其中正确的序号是（将你认为正确的序号都填上）.

【答案】③④

【解析】①错.。与人也可能异面.

②错.。与b也可能平行.

③对.「a"/?,a与夕无公共点.又,：aua,buB,

二a与匕无公共点.

④对.由已知③知：a与b无公共点，那么a〃Z?或a与。异面.

⑤错.a与尸也可能平行.

【总结升华】解答此类问题，要把符号语言转化为自然语言，根据两平面间的位置关系，借

助空间想象能力求解.

【变式1】若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（）

A.平行B.异面C.相交D.平行或异面

【答案】D

【解析】本题主要考查两平面平行的特点.当两平面平行时，这两个平面没有公共点，分别

在这两个平面内的直线也必然没有公共点，因此它们不是平行就是异面.

L能力提升

M分层提分

题组A基础过关练

1.下列命题中，真命题的个数为（）

①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合;

②两条直线可以确定一个平面：

③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；

④若J/Ga,ac8=1,则MG/.

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B根据公理2,可判断①是真命题：两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命

题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面（如墙角），故③是假命题；根据平面的性质

可知④是真命题.综上，真命题的个数为2.

2.己知异面直线a,6分别在平面。，8内，且an/=c,那么直线=定（）

A.与a,6都相交

B.只能与a,b中的一条相交

C.至少与a,6中的一条相交

D.与a,6都平行

解析：选C如果c与a,b都平行，那么由平行线的传递性知a,6平行，与异面矛盾.故选C.

3.己知4B,C,。是空间四点，命题甲：A,B,C,〃四点不共面，命题乙：直线/仆口而不相

交，则甲是乙成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A若4B,C,网点不共面，则直线4C和劭不共面，所以力丽做不相交；若直线”

和加不相交，若直线水利勿平行时，A,B,C,〃四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件.

4.（2019•银川一中模拟）已知隰皮所在平面外的一点，机/T分别是49,PC的中点，若

=BC=4,为=4小，则异面直线以与网所成角的大小是（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：选A如图，取/儆中点〃连接〃MDM,由已知条件可得〃平=2/，加仁2.在△心舛,

16+12—4、分

N见瞅J异面直线为与物所成的角，则cosNOVQ--------.,.ZZZW=30°.

2X4X2~3幺

题组B能力提升练

1.下列说法错误的是（）

A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直

C.如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直

D.如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行

解析：选D两两相交且不过同一点的三条宜线必在同一平面内，A正确，排除A；过直线外一

点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确，排除B；如果共点的三条直线两两垂直，那么它们

中每两条直线确定的平面也两两垂直，C正确，排除C；如果两条直线和一个平面所成的角相等，

那么这两条直线不一定平行，D错误，选D.

2.（2019•长春质检）平面"，足的公共点多于两个，则

①。，尸平行：

②a,£至少有三个公共点；

③。，万至少有一条公共直线；

④。，B至多有一条公共直线.

以上四个判断中不成立的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选C由条件知，当平面%£的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则。，£相

交；若公共点不共线，则。，£重合.故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立.

3.（2019•云南大理模拟）给出下列命题，其中正确的两个命题是（）

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；

②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；

③直线0_1_平面a,直线〃_L直线例则,〃a；

④a,6是异面直线，则存在唯一的平面叫使它与a,6都平行且与a,6的距离相等.

A.①与②B.②与③

C.③与④D.②与④

解析:选D直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；

直线w_L平面。，直线直线"，则直线〃可能平行于平面。，也可能在平面。内，因此①③为假

命题.

4.（2019•成都模拟）在直三棱柱484中，平面。与棱4?,AC,4G,4区分别交于点反

F,G,H,且直线44〃平面a.有下列三个命题：

①四边形硒川是平行四边形；

②平面a〃平面庞1。归；

③平面aJ_平面比7五

其中正确的命题有（）

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

解析：选C由题意画出草图如图所示，因为44〃平面。，平面aC平面

AABB=EH,所以44〃掰同理加।〃册所以£7/〃/又4%二46G是直三棱柱，易知EH=GF=

AAt,所以四边形"i勿是平行四边形，故①正确；若平面"〃平面比匕8,由平面0C平面484=

GH,平而aasn平面48G=8G,知副〃84,而6W86不一定成立，故②错误；由/14L平面犯%;

结合44〃仍知加1平面宓叨，又仍匕平面。，所以平面。_L平面砥喏，故③正确.综上可知，故

选C.

5.（2019•广州模拟）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形4比妫正方形，E,而别

为PA,外的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线班'与直线"异面；

②直线跖与直线//异面；

③直线次〃平面阳G

④平面优良L平面为〃

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B画出该几何体，如图所示，①因为瓦/分别是处，切的中点，所以EF〃AD,所以

EF//BC,直线班、与直线0强共面直线，故①不正确；②直线86与直线/月商足异面直线的定义，故

②正确；③由发尸分别是用，/刃的中点，可知EF〃AD,所以EF〃BC,因为小平面如C,Mz平面

PBC,所以宜线/〃平面"C,故③正确；④因为龙与阳的关系不能确定，所以不能判定平面及方

_L平面/%〃，故④不正确.所以正确结论的个数是2.

6.（2019•常德期末）一个正方体的展开图如图所示，A,B,C,。为原正方体的顶点，则在原

来的正方体中（）

A

A.AB//CDB.46与谢I交

C.ABLCDD.4?与切所成的角为60。

解析：选D如图，把展开图中的各正方形按图①所示的方式分别作为正方体的前、后、左、

右、上、下面还原，得到图②所示的直观图，可得选项A、B、C不正确.图②中，DE//AB,ACDE

为从当功所成的角，为等边三角形，.•./切£=60°..•.正确选项为D.

7.（2019•成都检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面

体称为鳖嚅.如图，在鳖脯被力中，4匹平面腼，且AB=BC=CD,则异面直线/片外所成角的余

弦值为（）

*

解析：选A如图，分别取月区AD,BC,劭的中点区F,G,0,连接

EF,EG,OG,FO,FG,则所〃劭，EG//AC,所以/在6为异面直线”与的所成的角.易知内。

//AB,因为4及L平面瓦力，所以尸。1面，设/16=2a,则%=即=ma,而=,+，=弧,所以/

FEG=6Q°,所以异面直线力占的所成角的余弦值为看故选A.

8.如图所示，在空间四边形493小，点£,粉别是边49,/幽中点，点凡。分别是边6C,CD

上的点，且名=*=,,则下列说法中正确的是_______（填序号）.

LDLU6

①砥时行；

②舒与酶面；

③跖与G//的交点/何■能在直线/C上，也可能不在直线46±；

④“与防的交点护~定在直线生上.

解析：连接防尸。（图略），依题意，可得EH〃劭,FG//BD,椒EH"FG,所以左F,G,供面.因

12

为EH=：BD,FG=~BD,板EH^FG,所以0％力是梯形，镇与67/必相交，设交点为，”因为点.麻必1上,

故点，睢平面〃»上.同理，点,脏E平面水方上，所以点也是平面/切与平面的交点，又力爆这两个

平面的交线，所以点」/一定在直线4c上.

答案：④

9.（2019•南京模拟）己知。，£为两个不同的平面，m,〃为两条不同的直线，则下列命题中

正确的是_______（填上所有正确命题的序号）.

①若a〃?，〃匚。，则如〃£；

②若〃〃a,nua,则加〃n；

③若"_L£,aC\J3=n,ml.n,则w_L£；

④若〃_La,〃_LB,mA.a,贝iJm_L尸.

解析：由a〃万，ga,可得w〃£,所以①正确；由m〃a,nua,可得如"平行或异面，

所以②不正确；由anp=n,必_L〃，可得/与£相交或归月，所以③不正确；由

n±j3,可得。〃?，又见，a,所以加，万，所以④正确.综上，正确命题的序号是①©.

答案：（D@

10.如图所示，/是所在平面外的一点，E,£分别是比；/冰J中点.

（1）求证：直线跖与即是异面直线；

（21若ACLBD,AC=BD,求£7呜物所成的角.

解：（1）证明：假设£71与劭不是异面直线，则£）呜叱面，从而加呜班共面，即49与比共面,

所以4B,C,麻同一平面内，这与4是△应晰在平面外的点相矛盾.故直线跖与影是异面直

线.

（2）取的中点G,连接EG,FG,^AC//FG,EG//BD,所以相交直线件与优所成的角，即为异

面直线跖与物所成的角.又因为AC1.BD,则尸£!_砥.在RtZ\£•行中，由跖=月7=，4求得/用。=

45°,即异面直线"'与他所成的角为45°.

题组C培优拔尖练

一、单选题

1.（2021•江苏如皋•高一期中）已知四面体48切的所有棱长均为正,",A分别为棱/〃，

6c的中点，，为棱力6上异于4,6的动点.有下列结论：

①线段，柄的长度为1;

②若点G为线段网上的动点，则无论点咫@口何运动，直线内G与直线都是异面直线；

③NMFN的余弦值的取值范围为［0,乎）；

④AEWN周长的最小值为夜+1.

其中正确结论的为（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【分析】

将正四面体力及切放置于正方体中，由弘A所处位置即可判断①；取AB,MN,C舛点eG,E,

探讨它们的关系可判断②；

计算cosZMBN可判断③；把正八48与正△AD8展开在同一平面内，计算即可判断④并作答.

【详解】

如图，在棱长为1的正方体上取顶点儿B,C,D,并顺次连接即可得四面体4比》,其棱长均为

因M八分别为棱式的中点，则MM合为正方体相对面的中心，即加口，①正确；

取48的中点凡例1的中点G,5的中点石由正方体的结构特征知凡G,£共线，即直线内G与直

线切交于②不正确：

△MBN中，BM=4BD2-DM?=J（血］一（弓二=弓,BN=与,MN=\,由余弦定理得：

cosNMBN=BN+」"-MN=3>亚，当点/无限接近于点姗•，cosZMFN无限接近于—,

2BNBM353

③不正确；

把四面体4?龙中的正A4CB与正△453展开在同一平面内，连接MV,如必过,4弼中点，在4?

上任取点F,连MF',NF',如图，

此时，/9+*'2改7=应，肖且仅当点尸'与线段力加点重合时取“=”，则对被上任意点尸,

MF+NF有最小值日

于是得在四面体4比2冲，A/TWN周长MF+N尸+朋N有最小值垃+1，④正确，

所以①④为正确的结论.

故选：D

2.（2021•安徽•东至县第二中学高一期末）在正三棱柱ABC-A4G中，AC=M=2,点"

是线段3G的中点，点八是线段45的中点，记直线AM与G所成角为a,二面角A-8C-4的

平面角为夕，则（）

A.a=/3B.a>PC.a<pD.a=2"

【答案】B

【分析】

依题意作出异面直线所成角的平面角，以及二面角的平面角，再根据锐角三角函数计算，即

可判断；

【详解】

解.：过点A作AM//CN且AM=CN,连接MM，则NMAM为直线AM与直线CN所成角，即

NM%N\=a.过点〃作MG_L8G，垂足为点G,则由题意易知G为B,G的中点，连接4例，

GN、,因为4c=e=2,所以AN=g,4G=石，易知NGAM=60。，所以62=百，又正

三棱柱ABC-ABC中，MGLGN、,所以知乂="MG?+GN：=业+（可=2,

=2,于•是cosa=cosNM41M=2+（­/=）,故tana="一

2x2xJ343

取BC的中点。，连接A。，40,因为三棱柱然。-48£是正三棱柱，且4c=M，所以易

知NA©A即为二面角A-8C-A的平面角，即NAQA=夕.在正AABC中，AQ=&,则

2_2百因为tana=^>¥=tan〃，且正切函数在（。，^）上单调递

tan[}=tanZAQA=

}笈二亍.

增,所以。>分，且tanaxtan24,

故选：B.

3.（2021•全国•高一专题练习）如图所示，正方体力式》4〃心〃的棱长为1,线段笈〃上有

两个动点色FRE六显,则下列结论中错误的是（）

2

A.ACLBEB.EF//平面ABCD

C.三棱锥止8牙的体积为定值D.异面直线力£毋所成的角为定值

【答案】D

【解析】

A.通过线面的垂直关系可证真假；B.根据线面平行可证真假；C.根据三棱锥的体积计算的

公式可证真假；D.根据列举特殊情况可证真假.

【详解】

A.因为AC，B£>,ACJ.£>A，£>An8O=。，所以AC,平面B£>£»£,

又因为BEu平面所以ACL8E,故正确；

B.因为D'B、"DB,所以砂〃。B,且EF丈平面ABC。，DBu平面ABCD,

所以EF〃平面ABCD，故正确；

C.因为j"=乜后八四=字为定值，A到平面8切出的距离为〃=；AC=*,

所以匕一诋=g•臬诋/=5为定值，故正确;

D.当ACnBQ|=E,ACcM=G,取F为片，如下图所示:

因为BFUEG,所以异面直线AE,8/所成角为/AEG,

同厂

且tan4EG=02二,

GE12

当4£0与2=尸，ACnBD=G,取E为R,如下图所示:

因为RF//G8,。尸=GB,所以四边形AGBF是平行四边形，所以8F//RG,

e

AG2

所以异面直线AE,BF所成角为NAEG,且tan/AEG=%M

5-3，

1+声

2

由此可知：异面直线AE,3尸所成角不是定值，故错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及

三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.

4.（2021•全国•高一专题练习）在边长为1的正方体ABCn-ABGR中，E,F,G分别

是棱A3,BC,CG的中点，P是底面ABCO内一动点，若直线RP与平面EFG没有公共点,

则三角形户84面积的最小值为（）

A.1B.vC.—

22。•亨

【答案】D

【分析】

根据直线4尸与平面EFG没有公共点M知AP〃平面EFG.将截面E尸G补全后,可确定点P的

位置,进而求得三角形户B4面积的最小值.

【详解】

由题意E,F,G分别是棱4B,BC,CG的中点，补全截面EPG为EFGHQR,如下图所示：

因为直线RP与平面EFG没有公共点

所以RP〃平面EFG,即D}P//平面EFGHQR,平面EFG//平面EFGHQR

此时尸位于底面对角线AC上，且当P与底面中心0重合时，BP取得最小值

此时三角形尸88,的面积最小

故选:D

【点睛】

本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用，过定点截面的作法,属于难题.

5.（2021•浙江•高一期末）如图，在棱长为2的正方体A8CO-4BCQ中，V是力石的中

点，点P是侧面CO0G上的动点，且则线段MP长度的取值范围是

B.[76,2^]

D.[后巧

【答案】B

【分析】

取8的中点N,Cq的中点R,4G的中点根据面面平行的判定定理，得到平面MNRH//

平面ABC，确定线段MP扫过的图形是JWM?,再由题中数据，得到/MRN是直角，进而即

可求出结果.

【详解】

取CD的中点N,CG的中点R,的中点则MN〃用C//HR,MH//AC,

二平面MNRH〃平面A&C,

；.MPu平面MNRH,线段MP扫过的图形是AMNR

VAB=2,：.MN=2y/2,NR=>/2,MR=y［6,

MN2=NR?+MR2,，ZMRN是直角，

••・线段MP长度的取值范围是［6,2夜］.

故选B.

【点睛】

本题主要考查面面平行的判定，熟记面面平行的判定定理即可，属于常考题型.

6.（2019•全国•高一课时练习）己知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当

正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为（）

A.36B.yfiC.2瓜D.2币1

【答案】D

【分析】

根据正六棱柱和球的对称性，球心。必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六

棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下

求得函数取得最值的条件即可求出所要求的量.

【详解】

以正六棱柱的最大对角面作截面如图，设球心为。，正六棱柱的上下底面中心分别为。—02

则。是。一。2的中点，设高为2〃，设底面边长为。，则1+/=9,，/二乡―川，...

V=6x乎a?”*¥（9一*必,丫=27回-3岛\V=27石-9同=0,二/?=5:.

h=乖＞t2h=2-73..

【点睛】

本题重点考查球的内接几何体的知识，将空间几何体与导数的应用相结合是解题的关键，考

查了学生的空间想象能力和运算能力.

7.（2021•全国•高一课时练习）如图，已知四面体ABCO为正四面体，AB=2,E,尸分别

是ARBC中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面。去截该四面

体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为.

A.1B.72C.GD.2

【答案】A

【分析】

通过补体，在正方体内利用截面为平行四边形MVK"有AK+KL=2,进而利用基本不等式可

得解.

【详解】

补成正方体，如图.

二截面为平行四边形脑VKL,可得NK+KL=2,

又MN"AD,KL"BC,旦AD工BC,:.KN1KL

可得SmmKl.=NK-KL<（"A广与②=1,当且仅当NK=KL时取等号,选A.

【点睛】

本题主要考查了线面的位置关系，截面问题，考查了空间想象力及基本不等式的应用，属于

难题.

8.（2021•全国•高一课时练习）如图，在棱长为1的正方体A88-A4CQ中，点区产分

别是棱BC,CG的中点，P是侧面BCGA内一点，若Af〃平面AEF,则线段AP长度的取

值范围是

A•（乎，事B.苧亭C.[1,当D.[0,当

【答案】B

【详解】

分析：先判断出点尸的位置，确定使得AP取得最大值和最小值时点P的位置，然后再通过计

算可求得线段47长度的取值范围.

详解：如下图所示，分别取棱明,BC的中点肌M连必MBG，

•••M,ME,F分别为所在棱的中点，则MNIIBC„EF||BCX,

：.MN//EF,又，物世平面4防四上平面力跖

物〃平面45尸.

・・・A4|||NE,AA=NE,

・・・四边形AENA为平行四边形，

A.N//AE,

又AN平面AEF,J£c平面AEF,

：.AN〃平面力与

又A'NCMN=N,

平面AMV〃平面力战

•••隰侧面BCCM内一点，且AP〃平面/能

...点尸必在线段W上.

在Rt\A,B,M中，A,M=在B：+B"=Jl+夕=与.

同理，在RfA^BN中，可得&N二好,

，A/VWN为等腰三角形.

当点出拗中点洞，"LMN,此时4/最短；点他于K八处时，AP最长.

•'4。=-OM~=J（坐）2_（曰）2==AtN=¥.

线段Af长度的取值范围是[乎,4].

故选B.

点睛：本题难度较大，解题时要借助几何图形判断得出使得AP取得最值时的点P的位置，然

后再根据勾股定理进行计算.

9.（2019•浙江•高考真题）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱侬

上的点（不含端点），记直线P8与直线AC所成角为&,直线依与平面A8C所成角为夕，二

面角P-AC-3的平面角为/,则

A./3<Y，a<YB.（3<a,/3<Y

C.B<a,y<aD.a</3,y</3

【答案】B

【解析】

本题以三棱铢为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，

以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大

小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.

【详解】

方法1：如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为。，则P在底面投影O在线段A。上，过。

作。E垂直4E,易得PEUVG,过户作PF〃AC交出于尸，过。作O”〃AC,交BG于H,

PFEGDHBD

则a=N8P£B=NPBD，Y=/PED,则cosa=---=---<---=cosp,即a>夕,