高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)2.4圆的方程(原卷版+解析)

2.4圆的方程备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：圆的标准方程；圆的一般方程；点和圆的位置关系；圆的几何性质；圆---求轨迹课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一．圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.二．点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．2.给定点及圆.①在圆内②在圆上③在圆外三．圆的一般方程：.当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程表示圆的充要条件是：且且.圆的直径或方程：已知考点讲解考点讲解考点1：圆的标准方程例1．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【方法技巧】1.以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.2.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.【变式训练】【变式2】．已知圆的方程为x2+y2=4，那么这个圆的面积等于（

）A．2 B．3 C．π D．4π【变式3】．已知圆方程的圆心为（

）A． B． C． D．【变式4】．已知实数x，y满足，则x的最大值是（

）A．3 B．2 C．1D．以上答案都不对考点2：圆的一般方程例2．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（

）A． B．C． D．【方法技巧】.当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程表示圆的充要条件是：且且.圆的直径或方程：已知【变式训练】【变式1】．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】．方程所表示圆的圆心与半径分别为（

）A． B． C． D．【变式3】．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．考点3：点与圆的位置关系例3．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：该圆经过点.乙：该圆的半径为.丙：该圆的圆心为.丁：该圆经过点，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【方法技巧】1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．2.给定点及圆.①在圆内②在圆上③在圆外【变式训练】【变式1】．过点可以向圆引两条切线，则的范围是（

）A． B．C． D．【变式2】．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】．若点不在圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．考点4：圆的几何性质例4．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（

）A． B． C． D．3【方法技巧】先得到圆心的轨迹为圆，然后利用该圆的圆心到原点的距离减去该圆的半径可得解.【变式训练】【变式1】．已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（

）A． B．17 C． D．15【变式2】．某公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距8km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积是（

）A． B． C． D．【变式3】．已知圆关于直线对称，，则的最小值为（

）A． B． C． D．考点5：轨迹问题------圆例5．在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知圆E经过点，且______.(1)求圆E的一般方程；(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.【方法技巧】1.建立合适的平面直角坐标系2.设出所求的量3.找出限制条件4代入5.化简。下结论【变式训练】【变式1】．阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是___________．【变式2】．已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________.【变式3】．如图，圆与圆内切，且，大圆的半径为5.过动点P分别作圆､圆的切线PM､PN（M､N分别为切点），使，试通过建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹.知识小结知识小结求圆轨迹的步骤1.建立合适的平面直角坐标系2.设出所求的量3.找出限制条件4代入5.化简。下结论二．求圆轨迹的方法1.定义法2.待定系数法3.几何法巩固提升巩固提升一、单选题1．圆的圆心和半径分别是（

）A．， B．， C．， D．，2．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（

）A． B．C． D．3．方程表示的曲线是（

）．A． B．C． D．4．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．85．已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（

）A．5 B．6 C．7 D．86．圆关于原点对称的圆的方程为（

）．A． B．C． D．7．已知点在圆的外部，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．如图，在圆上取一点A（，），点B为点A关于y轴的对称点，E，F为圆O上的两点，且满足，则EF的斜率为（

）A．—2 B． C．—1 D．二、多选题9．［多选题］若是一个圆的方程，则实数m可取的值有（

）A． B．0 C．1 D．210．设圆的方程是，其中，，下列说法中正确的是（

）A．该圆的圆心为 B．该圆过原点C．该圆与x轴相交于两个不同点 D．该圆的半径为三、填空题11．方程表示圆，则的取值范围为______．12．在半径为的圆中，一条弦的长度为，则这条弦所对的圆心角是__________．13．已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为__________.14．过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．四、解答题15．如图所示，为一弓形，且A，B，C的坐标分别为，，求弓形所在圆的标准方程．16．已知方程表示一个圆.(1)求实数m的取值范围；(2)求圆的周长的最大值.2.4圆的方程备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：圆的标准方程；圆的一般方程；点和圆的位置关系；圆的几何性质；圆---求轨迹课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一．圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.二．点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．2.给定点及圆.①在圆内②在圆上③在圆外三．圆的一般方程：.当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程表示圆的充要条件是：且且.圆的直径或方程：已知考点讲解考点讲解考点1：圆的标准方程例1．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接写出标准方程，即可得到答案.【详解】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为.故选：B【方法技巧】1.以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.2.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.【变式训练】【变式2】．已知圆的方程为x2+y2=4，那么这个圆的面积等于（

）A．2 B．3 C．π D．4π【答案】D【分析】根据圆的半径求得圆的面积.【详解】圆的半径为，所以面积为.故选：D【变式3】．已知圆方程的圆心为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标；【详解】解：因为，即，所以圆心坐标为；故选：C【变式4】．已知实数x，y满足，则x的最大值是（

）A．3 B．2 C．1D．以上答案都不对【答案】C【分析】将方程化为圆的标准形式，确定圆心和半径，结合圆的性质求x的最大值.【详解】由，则圆心为，半径为，所以x的最大值出现在圆心的正右方，点位置，故最大值是1.故选：C考点2：圆的一般方程例2．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4，所以所求圆的方程为.故选：B【方法技巧】.当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程表示圆的充要条件是：且且.圆的直径或方程：已知【变式训练】【变式1】．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.【详解】若方程表示圆，则，解得：；∵，，，甲是乙的必要不充分条件.故选：B.【变式2】．方程所表示圆的圆心与半径分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接化成圆的标准方程，求圆心和半径即可.【详解】由得，故圆心，半径.故选：D.【变式3】．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.【详解】由，得，由该曲线表示圆，可知，解得或，故选：B.考点3：点与圆的位置关系例3．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：该圆经过点.乙：该圆的半径为.丙：该圆的圆心为.丁：该圆经过点，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是错误的，看能否推出矛盾，进而推导出答案.【详解】假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6，与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误，圆心到点的距离与圆心到点的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误﹐点到点的距离大于，不成立；假设丁的结论错误，圆心到点的距离等于，成立.故选：D【方法技巧】1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．2.给定点及圆.①在圆内②在圆上③在圆外【变式训练】【变式1】．过点可以向圆引两条切线，则的范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】过点可以向圆引两条切线，即点在圆外，即到圆心的距离大于圆的半径，则把圆的方程化为标准方程后，找出圆的圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点到圆心的距离，由且，即可求解.【详解】把圆的方程化为标准方程得，即圆心坐标为，半径为，点到圆心的距离为，∵在圆外时，过点可以向圆引两条切线，∴，即,且，解得，故选：.【变式2】．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的取值范围.【详解】解：因为点在圆的内部，则，解得：.故选：D.【变式3】．若点不在圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系，代值计算即可求得的取值范围.【详解】由已知得，解得，∴，即．故选：.考点4：圆的几何性质例4．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（

）A． B． C． D．3【答案】B【详解】依题意，半径为2的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，所以圆心到原点的距离的最小值为.故选：B.【方法技巧】先得到圆心的轨迹为圆，然后利用该圆的圆心到原点的距离减去该圆的半径可得解.【变式训练】【变式1】．已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（

）A． B．17 C． D．15【答案】C【分析】根据圆的性质，可得的最大值为圆心距加上半径之和.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则．故选：C【变式2】．某公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距8km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以线段AB的中点O为原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，利用即可求出点C的轨迹方程，即可求出这个三角形信号覆盖区域的最大面积.【详解】以点A，B，C分别表示甲、乙、丙三地，以线段AB的中点O为原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（－4，0），B（4，0），设点C（x，y），则，即，整理可得，∴点C的轨迹是以点（8，0）为圆心，为半径的圆，∴．故选：B.【变式3】．已知圆关于直线对称，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由直线过圆心求得，再由结合基本不等式求得最小值即可.【详解】由题意知，直线过圆心，则，即，又，则，当且仅当，即时取等，则的最小值为.故选：A.考点5：轨迹问题------圆例5．在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知圆E经过点，且______.(1)求圆E的一般方程；(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解，（2）根据相关点法即可求解轨迹方程.（1）方案一：选条件①.设圆的方程为，则，解得，则圆E的方程为.方案二：选条件②.直线恒过点.因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为，又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.方案三：选条件③.设圆E的方程为.由题意可得，解得，则圆E的方程为，即.（2）设.因为M为线段AP的中点，所以，因为点P是圆E上的动点，所以，即，所以M的轨迹方程为.【方法技巧】1.建立合适的平面直角坐标系2.设出所求的量3.找出限制条件4代入5.化简。下结论【变式训练】【变式1】．阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是___________．【答案】【分析】直接设点P的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P的轨迹方程．【详解】设，即，整理得：即．故答案为：．【变式2】．已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________.【答案】【分析】用向量数量积的坐标运算表示已知等式化简即得轨迹方程，由方程可判断轨迹．【详解】，，化简得：，所以，点P的轨迹为圆：故答案为：【变式3】．如图，圆与圆内切，且，大圆的半径为5.过动点P分别作圆､圆的切线PM､PN（M､N分别为切点），使，试通过建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹.【答案】圆心为，半径为的圆.【分析】首先建系，以所在直线为轴，以的中点为原点，从而可得，设，由直线和圆相切的几何关系可得：，化简即可得解.【详解】如图，以所在直线为轴，以的中点为原点，建立直角坐标系，则，设，连接则根据勾股定理可得，，由，可得，平方整理可得：，所以动点P的轨迹为圆心为，半径为的圆.知识小结知识小结求圆轨迹的步骤1.建立合适的平面直角坐标系2.设出所求的量3.找出限制条件4代入5.化简。下结论二．求圆轨迹的方法1.定义法2.待定系数法3.几何法巩固提升巩固提升一、单选题1．圆的圆心和半径分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.2．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用待定系数法进行求解即可.【详解】设圆的一般方程为，因为，，在这个圆上，所以有，故选：B3．方程表示的曲线是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】整理得，再根据圆的方程即可得答案.【详解】解：对两边平方整理得，所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及下方的部分，A选项满足.故选：A4．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，∴，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.5．已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】分别求得圆和原点为圆心的圆的圆心坐标，求得直线的斜率为，即的中点坐标为，结合题意，求得直线的方程，代入中点坐标，即可求解.【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，以原点为圆心的圆的圆心坐标为，可得直线的斜率为，且的中点坐标为，因为圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，所以，即，将点代入直线，可得.故选：A.6．圆关于原点对称的圆的方程为（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程.【详解】由知其圆心为，半径；圆心关于原点对称的点为，即所求圆的圆心为，又所求圆的半径，所求圆的方程为：.故选：B.7．已知点在圆的外部，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可.【详解】由点在圆外知，即，解得，又为圆，则，解得，故.故选：D.8．如图，在圆上取一点A（，），点B为点A关于y轴的对称点，E，F为圆O上的两点，且满足，则EF的斜率为（

）A．—2 B． C．—1 D．【答案】B【分析】连接，证明，即可得到，根据，利用两点计算可得【详解】连接，和交于点，如图又故选：B二、多选题9．［多选题］若是一个圆的方程，则实数m可取的值有（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】BCD【分析】根据题意，结合，即可求解.【详解】由题意得，解得．故选：BCD．10．设圆的方程是，其中，，下列说法中正确的是（

）A．该圆的圆心为 B．该圆过原点C．该圆与x轴相交于两个不同点 D．该圆的半径为【答案】BC【分析】根据圆的标准方程的性质逐一判断即可.【详解】由圆的标准方程可知：该圆的圆心坐标为，半径为，所以选项A、D不正确；因为，所以该圆过