2024八年级数学下册第12章二次根式综合素质评价新版苏科版

第12章综合素养评价一、选择题(每题3分，共24分)1.下列各式中，确定是二次根式的是()A．eq\r(－3) B．eq\r(3,2a) C．eq\r(a2＋2) D．eq\r(a2－9)2．【2024·扬州二模】若式子eq\r(2x－5)在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x＞eq\f(5,2) B．x≥－eq\f(5,2) C．x≥eq\f(5,2) D．x≥－eq\f(5,2)且x≠03．下列等式成立的是()A．eq\r(16)＝±4 B．eq\r(3,－8)＝2 C．－aeq\r(\f(1,a))＝eq\r(－a)D．－eq\r(64)＝－84．下列二次根式是最简二次根式的是()A．eq\r(14) B．eq\r(0.01) C．eq\r(27) D．eq\r(\f(3,2))5.与eq\r(32－22－12)结果相同的是()A．3－2＋1 B．3＋2－1 C．3＋2＋1 D．3－2－16．【2024·临沂】设m＝5eq\r(\f(1,5))－eq\r(45)，则实数m所在的范围是()A．m<－5 B．－5<m<－4C．－4<m<－3 D．m>－37．如图，在大正方形中有两个小正方形(阴影部分)，已知两个小正方形的面积分别为S1＝18，S2＝12，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为()A．6 B．8eq\r(6) C．8eq\r(6)－16 D．8eq\r(6)－88．【2024·通辽】如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，1)，点A(4，1)，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1(－1，－eq\r(3))，M2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))，M3(1，eq\r(3)－1)，M4(2，2eq\r(3))四个点中，直线PB经过的点是()A．M1 B．M2 C．M3 D．M4二、填空题(每题3分，共30分)9.计算eq\r(18)－2eq\r(\f(1,2))的结果是________．10．若eq\r(18)与最简二次根式eq\r(2x－1)是同类二次根式，则x＝________．11．【2024·天津】计算(eq\r(7)＋eq\r(6))(eq\r(7)－eq\r(6))的结果为________．12．(教材P166习题T5(1))若计算eq\r(12)×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是______________(写出一个符合条件的即可)．13．比较大小：eq\f(1,2－\r(2))________eq\f(1,\r(2)－1)(填“＞”“＝”或“＜”)．14.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋1|－eq\r((b－1)2)＋eq\r((a－b)2)＝________．15．(教材P169复习巩固T9)已知实数a，b满足eq\r(a－3)＋|6－b|＝0，则eq\f(b,\r(a))的值为________．16．若a＝3＋2eq\r(2)，b＝3－2eq\r(2)，则a2－b2＝________．17．已知y＝eq\r((x－4)2)－x＋5，当x分别取1，2，3，…，2025时，所对应的y值的总和为________．18．【2024·丽水】如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m>n且满足am－bn＝2，an＋bm＝4.(1)若a＝3，b＝4，则图①阴影部分的面积是________；(2)若图①阴影部分的面积为3，图②四边形ABCD的面积为5，则图②阴影部分的面枳是________．三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)19．计算：(1)【2024·徐州】|－2023|＋π0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(－1)＋eq\r(16)；(2)eq\r(12)＋4eq\r(0.5)－eq\f(2,3)eq\r(18)＋3eq\r(\f(1,3))；(3)eq\r(6)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))＋\f(1,\r(2))))＋eq\r(50)；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(\f(x,4))－2x\r(\f(1,x))))÷3eq\r(x).20.嘉琪准备完成题目“计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(■\r(\f(1,27))－\f(2,3)\r(18)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(4,3))－4\r(\f(1,2))))”时，发觉“■”处的数字印刷不清楚，她把“■”处的数字猜成3，请你计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(\f(1,27))－\f(2,3)\r(18)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(4,3))－4\r(\f(1,2)))).21．(教材P169复习巩固T10)已知m是eq\r(5)的小数部分，求eq\r(m2＋\f(1,m2)－2)的值．22．(1)2024·长春先化简，再求值：(a＋1)2＋a(1－a)，其中a＝eq\f(\r(3),3)；(2)先化简，再求(1＋x)eq\r(\f((x－1)(x－4),x2－1))的值，其中x满足eq\r(\f(9－x,x－6))＝eq\f(\r(9－x),\r(x－6))，且x为偶数．23．对实数a，b，定义：a■b＝a2b－ab＋b，如：3■2＝32×2－3×2＋2＝14.(1)求(－3)■eq\r(2)的值；(2)若2■m<－6，试化简：eq\r((m＋2)2)＋eq\r(m2).24．【2024·无锡宜兴市试验中学月考】已知a＝eq\f(1,2＋\r(3))，b＝eq\f(1,2－\r(3))，求下列各式的值．(1)a2b－ab2；(2)a2＋b2.25．(1)用“＝”“＞”“＜”填空：4＋3______2eq\r(4×3)；1＋eq\f(1,6)______2eq\r(1×\f(1,6))；5＋5______2eq\r(5×5)；(2)由(1)中各式猜想m＋n与2eq\r(mn)(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由．(3)请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？26．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发觉：当a＞0，b＞0时，有(eq\r(a)－eq\r(b))2＝a－2eq\r(ab)＋b≥0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：(1)当x＞0时，x＋eq\f(1,x)的最小值为________；当x＜0时，x＋eq\f(1,x)的最大值为________；(2)当x＞0时，求y＝eq\f(x2＋3x＋16,x)的最小值；(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB，△COD的面积分别为9和16，求四边形ABCD的最小面积．

答案一、1．C2．C3．D4．A5．A6．B【点拨】m＝5eq\r(\f(1,5))－eq\r(45)＝eq\r(\f(25,5))－eq\r(45)＝eq\r(5)－3eq\r(5)＝－2eq\r(5).∵2eq\r(5)＝eq\r(20)，eq\r(16)<eq\r(20)<eq\r(25)，∴－5<－2eq\r(5)<－4，即－5<m<－4.7．D【点拨】∵三个小正方形的面积分别为18，12，2，∴三个小正方形的边长分别为eq\r(18)＝3eq\r(2)，eq\r(12)＝2eq\r(3)，eq\r(2).由题图知，大正方形的边长为3eq\r(2)＋2eq\r(3)－eq\r(2)＝2eq\r(2)＋2eq\r(3).∴S空白＝(2eq\r(2)＋2eq\r(3))2－(18＋12－2)＝8eq\r(6)－8.8．B【点拨】∵点A(4，1)，点P(0，1)，∴PA⊥y轴，PA＝4.由旋转得∠APB＝60°，AP＝PB＝4.如图，过点B作BC⊥y轴于C，易得∠BPC＝30°.∴BC＝2，∴PC＝2eq\r(3)，∴B(2，1＋2eq\r(3))．设直线PB的表达式为y＝kx＋b，将P(0，1)，B(2，1＋2eq\r(3))的坐标代入得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝1＋2\r(3)，,b＝1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\r(3)，,b＝1，))∴直线PB的表达式为y＝eq\r(3)x＋1.当x＝－1时，y＝－eq\r(3)＋1，∴M1(－1，－eq\r(3))不在直线PB上；当x＝－eq\f(\r(3),3)时，y＝－1＋1＝0，∴M2(－eq\f(\r(3),3)，0)在直线PB上；当x＝1时，y＝eq\r(3)＋1，∴M3(1，eq\r(3)－1)不在直线PB上；当x＝2时，y＝2eq\r(3)＋1，∴M4(2，2eq\r(3))不在直线PB上，故选B.二、9．2eq\r(2)10．eq\f(3,2)11．112．eq\r(3)(答案不唯一)13．＜14．215．2eq\r(3)16．24eq\r(2)【点拨】∵a＝3＋2eq\r(2)，b＝3－2eq\r(2)，∴a＋b＝6，a－b＝4eq\r(2).∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).17．2037【点拨】由题意知y＝eq\r((x－4)2)－x＋5＝|x－4|－x＋5.①当x＜4时，y＝4－x－x＋5＝9－2x，当x＝1，2，3时，所对应的y值的和为9－2×1＋9－2×2＋9－2×3＝15.②当4≤x≤2025时，y＝x－4－x＋5＝1，所对应的y值的和为2022.故当x分别取1，2，3，…，2025时，所对应的y值的总和为2022＋15＝2037.18．(1)25(2)eq\f(5,3)【点拨】由题意得a2＋b2＝3，题图②中四边形ABCD是直角梯形．∵AB＝m，CD＝n，直角梯形ABCD的高为m＋n，∴eq\f(1,2)(m＋n)(m＋n)＝5.∴(m＋n)2＝10.∵am－bn＝2，an＋bm＝4，∴将两式分别平方并整理得，a2m2－2abmn＋b2n2＝4①，a2n2＋2abmn＋b2m2＝16②.①＋②整理得(a2＋b2)(m2＋n2)＝20.∵a2＋b2＝3，∴m2＋n2＝eq\f(20,3).∵(m＋n)2＝10.∴(m＋n)2－(m2＋n2)＝10－eq\f(20,3).整理得2mn＝eq\f(10,3)，即mn＝eq\f(5,3).∵题图②中阴影部分的三角形的其中两边分别是两正方形的对角线，∴这两边构成的角为45°＋45°＝90°.则阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为eq\r(m2＋m2)＝eq\r(2)m，eq\r(n2＋n2)＝eq\r(2)n，故阴影部分的面积为eq\f(1,2)×eq\r(2)m×eq\r(2)n＝mn＝eq\f(5,3).三、19．【解】(1)原式＝2023＋1－6＋4＝2022.(2)原式＝2eq\r(3)＋4×eq\f(\r(2),2)－eq\f(2,3)×3eq\r(2)＋3×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3)＋2eq\r(2)－2eq\r(2)＋eq\r(3)＝3eq\r(3).(3)原式＝eq\r(6)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)＋\f(\r(2),2)))＋5eq\r(2)＝eq\r(6)÷eq\f(2\r(3)＋3\r(2),6)＋5eq\r(2)＝eq\r(6)×eq\f(6,2\r(3)＋3\r(2))＋5eq\r(2)＝eq\r(6)×eq\f(6×(3\r(2)－2\r(3)),6)＋5eq\r(2)＝3eq\r(2)·eq\r(6)－2eq\r(3)·eq\r(6)＋5eq\r(2)＝6eq\r(3)－6eq\r(2)＋5eq\r(2)＝6eq\r(3)－eq\r(2).(4)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6×\f(\r(x),2)－2x·\f(\r(x),x)))÷3eq\r(x)＝eq\r(x)÷3eq\r(x)＝eq\f(1,3).20．【解】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(\f(1,27))－\f(2,3)\r(18)))－(eq\r(\f(4,3))－4eq\r(\f(1,2)))＝3×eq\f(\r(3),9)－eq\f(2,3)×3eq\r(2)－eq\f(2,3)eq\r(3)＋4×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),3)－2eq\r(2)－eq\f(2,3)eq\r(3)＋2eq\r(2)＝－eq\f(\r(3),3).21．【解】原式＝eq\r((m－\f(1,m))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,m))).∵2＜eq\r(5)＜2.5，m是eq\r(5)的小数部分，∴m＝eq\r(5)－2.∴eq\f(1,m)＝eq\f(1,\r(5)－2)＝eq\r(5)＋2，∴eq\f(1,m)＞m.∴原式＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,m)))＝－m＋eq\f(1,m)＝－(eq\r(5)－2)＋eq\r(5)＋2＝4.22．【解】(1)原式＝a2＋2a＋1＋a－a2＝(a2－a2)＋(2a＋a)＋1＝3a＋1.当a＝eq\f(\r(3),3)时，3a＋1＝3×eq\f(\r(3),3)＋1＝eq\r(3)＋1.(2)∵x满足eq\r(\f(9－x,x－6))＝eq\f(\r(9－x),\r(x－6))，∴9－x≥0，x－6＞0，∴6＜x≤9.∵x为偶数，∴x＝8，∴(1＋x)eq\r(\f((x－1)(x－4),x2－1))＝eq\r(\f((x－1)(x－4)(1＋x)2,(x＋1)(x－1)))＝eq\r((1＋x)(x－4))，∴当x＝8时，原式＝eq\r((1＋8)(8－4))＝6.23．【解】(1)(－3)■eq\r(2)＝(－3)2×eq\r(2)－(－3)×eq\r(2)＋eq\r(2)＝9eq\r(2)＋3eq\r(2)＋eq\r(2)＝13eq\r(2).(2)∵2■m<－6，∴4m－2m＋m<－6.∴m<－2.∴eq\r((m＋2)2)＋eq\r(m2)＝－(m＋2)－m＝－2m－2.24．【解】(1)∵a＝eq\f(1,2＋\r(3))＝eq\f(2－\r(3),(2＋\r(3))(2－\r(3)))＝2－eq\r(3)，b＝eq\f(1,2－\r(3))＝eq\f(2＋\r(3),(2－\r(3))(2＋\r(3)))＝2＋eq\r(3)，∴a－b＝2－eq\r(3)－2－eq\r(3)＝－2eq\r(3)，ab＝(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＝4－3＝1，∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝－2eq\r(3)×1＝－2eq\r(3).(2)由(1)得a－b＝－2eq\r(3)，ab＝1，∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝(－2eq\r(3))2＋2＝12＋2＝14.25．【解】(1)＞；＞；＝(2)m＋n≥2eq\r(mn)(m≥0，n≥0)．理由如下：当m≥0，n≥0时，∵(eq\r(m)－eq\r(n))2≥0，∴(eq\r(m))2－2eq\r(m)·eq\r(n)＋(eq\r(n))2≥0.∴m－2eq\r(mn)＋n≥0.∴m＋n≥2eq\r(mn)(m≥0，n≥0)．