黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一下学期期中学业阶段评价考试数学试卷

哈尔滨市第九中学2023～2024学年度下学期期中学业阶段性评价考试高一数学学科考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 共2页）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1．若复数z满足，则（）．A． B． C． D．2．下列向量中与共线的是（）．A． B． C． D．3．下列说法正确的是（）．A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台都有两个质面D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高4．在中，，，，则（）．A． B． C．2 D．5．已知向量，满足，，则（）．A．3 B．4 C．5 D．66．如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（）．A． B． C． D．7．在锐角三角形ABC中，，，则周长的取值范围是（）．A． B．C． D．8．某同学打算测量一座塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿AC方向前进20米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么在下列选项中，塔高最接近（）米．（参考数据：，）A．31.33 B．31.94 C．32.45 D．33.21二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知与是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（）．A． B．C． D．10．在图示正方体中，O为BD中点，直线平面，下列说法正确的是（）．A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线C．平面 D．与BD异面11．《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．图中的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，，则下列说法正确的是（）．A．弧AD长度为 B．曲池的体积为C．曲池的表面积为 D．三棱锥的体积为5第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3小题，每小题5分）12．如图，两块斜边长均为的直角三角板模具拼在一起，则__________．13．如图，直角梯形ABCD是某个多边形的斜二测直观图，，，，则该多边形原本的面积为__________．14．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为__________千米．四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．（1）求c；（2）求A的大小及的面积．16．已知，，，，．（1）若点D在第一、三象限的角平分线上，求的值；（2）若点D为线段BC的一个三等分点，求D的坐标．17．如图，四棱锥的底面为平行四边形，M，N，Q，S分别为PC，CD，AB，PA的中点．（1）求证：平面平面PAD；（2）求证：平面PBC．18．Ⅰ．四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：（1）如图，A，B，C，D四点共圆，BD为外接圆直径，，，，求BD与AC的长度；Ⅱ．古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：图1 图2（2）见图1，若，，，，求线段BD长度的最大值；（3）见图2，若，，，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出此时四边形ABCD的面积．19．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．（1）设，，求复向量与的模；（2）已知对任意