北师版九上数学1.1菱形的性质与判定（第三课时）（课外培优课件）

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定(第三课时)

1.如图，在菱形

ABCD

中，过点

A

作

AE

⊥

BC

于点

E

.

若菱形

ABCD

的面积为24，

AE

＝4，则

AB

的长为（

B

）A.12B.6C.

D.2

（第1题图）B2.（2022·河南）如图，在菱形

ABCD

中，对角线

AC

，

BD

相交

于点

O

，点

E

为

CD

的中点.若

OE

＝3，则菱形

ABCD

的周长为

（

C

）A.6B.12C.24D.48（第2题图）C

A.

AE

＝

CF

B.

DE

＝

BF

C.

OE

＝

OF

D.

DE

＝

DC

（第3题图）D

（第4题图）3

5.如图，在菱形

ABCD

中，对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，点

E

在线段

BO

上，连接

AE

.

若

CD

＝2

BE

，∠

DAE

＝∠

DEA

，

EO

＝1，则线段

AE

的长为

⁠.（第5题图）

（第6题图）

7.如图，在四边形

ABCD

中，已知

AD

∥

BC

，对角线

BD

的垂直

平分线与边

AD

，

BC

分别相交于点

M

，

N

，且

BD

＝24，

MN

＝

10，求四边形

BNDM

的周长.

8.如图，在四边形

ABCD

中，已知

AB

＝

AD

，

BD

平分∠

ABC

，

AC

⊥

BD

，垂足为

O

.

（1）求证：四边形

ABCD

是菱形；

∴△

AOD

≌△

COB

（ASA）.∴

AD

＝

BC

.

又∵

AD

∥

BC

，∴四边形

ABCD

是平行四边形.又∵

AC

⊥

BD

，∴▱

ABCD

是菱形.

9.如图，

AC

是菱形

ABCD

的对角线，点

P

是

AC

上的一个动

点，过点

P

分别作

AB

和

BC

的垂线，垂足分别是

F

，

E

.

若菱形

的周长是12，面积是6，则

PE

＋

PF

的值是

⁠.2

10.在平面直角坐标系中，点

A

，

B

，

C

，

D

的坐标分别为（－

3，0），（

x

，

y

），（0，4），（－6，

z

）.若以点

A

，

B

，

C

，

D

为顶点的四边形是菱形，则

z

的值为

⁠.

11.如图，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AD

平分∠

BAC

交

BC

于点

D

.

在线段

AD

上任取一点

P

（点

A

除外），过点

P

作

EF

∥

AB

，分别交

AC

，

BC

于点

E

，

F

，作

PQ

∥

AC

，交

AB

于点

Q

，连接

QE

.

（1）判断四边形

AQPE

的形状，并说明理由；（1）解：四边形

AQPE

为菱形.理由如下：∵

EF

∥

AB

，

PQ

∥

AC

，∴四边形

AQPE

为平行四边形，∠

BAD

＝∠

EPA

.

∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

CAD

＝∠

BAD

.

∴∠

CAD

＝∠

EPA

.

∴

EA

＝

EP

.

∴▱

AQPE

为菱形.（2）当点

P

在何处时，四边形

AQPE

的面积为四边形

EQBF

面

积的一半？

∵四边形

AQPE

为菱形，∴

AD

⊥

EQ

.

∵

AB

＝

AC

，

AD

平分∠

BAC

，∴

AD

⊥

BC

.

∴

EQ

∥

BC

.

又∵

EF

∥

AB

，∴四边形

EQBF

为平行四边形.如图，过点

E

作

EN

⊥

AB

于点

N

.

∴

S菱形

AQPE

＝

EP

·

EN

12.如图，已知菱形

ABCD

的对角线

BD

＝8，另一条对角线的长

为6，点

M

，

N

分别是边

BC

，

CD

的中点，点

P

是对角线

BD

上

一点.求

PM

＋

PN

的最小值.解：如答图，作点

M

关于

BD

的对称点

Q

，连接

NQ

，交

BD

于

点

P

，连接

NP

.

易知

PQ

＝

PM

，∴

PM

＋

PN

＝

PQ

＋

PN

.

由“两点之间，线段最短”可知，此时

PM

＋

PN

的值最小.连接

AC

，则点

P

是

AC

的中点.∵四边形

ABCD

是菱形，∴

AC

⊥

BD

，∠

QBP

＝∠

MBP

.

∴点

Q

在

AB

上.由折叠的性质，得

MQ

⊥

BD

，∴

AC

∥

MQ

.

∵点

M

为

BC

的中点，∴点

Q

为

AB

的中点.答图∵点

N

为

CD

的中点，四边形

ABCD

是菱形，∴

BQ

∥

CN

，

BQ

＝

CN

.

∴四边形

QBCN

是平行四边形.∴

PQ

∥

AD

.

又∵点

Q

是

AB

的中点，∴

PQ

是△

ABD

的中位线，即点

P

是

BD

的中点.同理可得，

PM

是△

ABC

的中位线，∴点

P

是

AC

的中点.答图∴点

P

是菱形

ABCD

对角线的交点.∵四边形

ABCD

是菱形，

在Rt△

BPC

中，由勾股定理，得

∴

PM

＋

PN

＝

PQ

＋

PN

＝

QN

＝5.故

PM

＋

PN

的最小值为5.答图

13.（选做）已知

AC

是菱形

ABCD

的对角线，点

E

在

BC

上，连

接

AE

，且

AE

＝

AC

.

（1）如图1，若∠

D

＝30°，

BE

＝4，求

AC

的长；图1（1）解：∵四边形

ABCD

是菱形，∠

D

＝30°，

如图1，过点

E

作

EF

⊥

AB

于点

F

，则∠

BEF

＝90°－∠

B

＝90°－30°＝60°.∵

AE

＝

AC

，∴∠

AEC

＝∠

ACE

＝75°.∴∠

AEF

＝180°－∠

AEC

－∠

BEF

＝180°－75°－60°＝45°.图1∴△

AEF

是等腰直角三角形.

图1图1（2）如图2，过点

C

作

CH

⊥

AB

于点

H

，点

F

为

CD

上一点，连

接

AF

，∠

DAF

＝∠

BAE

，

DF

＝

AH

，求证：

AB

＝3

AH

.

图2（2）证明：如图2，在线段

AB

上取一点

G

，使

BG

＝

BE

，连接

CG

.

∵四边形

ABCD

是菱形，∴∠

B

＝∠

D

，

AB

＝

AD

＝

BC

.

∴△

BAE

≌△

DAF

（ASA）.∴

BE

＝

DF

，

AE

＝

AF

.

∴

BG

＝

DF

.

图2

∴△

CBG

≌△

ABE

（S