2023-2024学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z1=1+i，z2=2−i(i为虚数单位，i2=−1)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.命题“∃x>0，x2−3x−10>0“的否定是(

)A.∀x>0，x2−3x−10>0 B.∃x>0，x2−3x−10≤0

C.∀x≤0，x23.下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是(

)A.y=sin2x B.y=cosx C.y=2|sinx| D.y=2|cosx|4.若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是(

)A.14 B.13 C.235.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1和CC1上的点，PA=A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形6.在同一个坐标系中，函数f(x)=logax，g(x)=a−x，A. B.

C. D.7.已知sin2β=3sin2(α+γ)，则tan(α+β+γ)tan(α−β+γ)A.−2 B.14 C.32 8.已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球(与各面均相切)，且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cosθ=(

)A.13 B.322 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(

)A.图中x的值为0.030

B.被抽取的学生中成绩在[70,80)的人数为15

C.估计样本数据的众数为90

D.估计样本数据的平均数大于中位数10.已知向量a=(−1,3)，b=(x,2)，且(a−2A.b=(1,2)

B.|2a−b|=25

C.向量a与向量b的夹角是45°

D.向量11.已知z∈C，设函数f(z)满足f(z)+zf(1−z)=1+z，则(

)A.f(1)=1

B.当z∈R时，f(z)不一定是常数函数

C.若f(12+32i)=2，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数y=lnx与y=ex的图象关于直线______对称．13.若某扇形的圆心角为π4，面积为π2，则该扇形的半径是______．14.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinC=2cosB，a2+b2−c2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=23sinx⋅cosx+2cos2x．

(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)求f(x)在区间16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点．

(1)求证：AE⊥平面PCD；

(2)若AB=3AD，求平面ABC与平面17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x，a∈R．

(1)当a=2时，求f(x)在x=0处的切线方程；

18.(本小题17分)

已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点M(0,1)，右焦点F，离心率e=22．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线l与椭圆C交于P，Q两点．

(i)若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程；

(ii)是否存在直线l，使F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l19.(本小题17分)

已知数列{an}满足an2−(4+3n)an−4n2−4n=0(an>0,n∈N∗)，数列{bn}满足bn+1=3bn+2n−1(n∈N∗)，b1=2．

(1)求{an}，{bn}参考答案1.D

2.D

3.A

4.C

5.B

6.C

7.A

8.C

9.AB

10.ACD

11.ACD

12.y=x

13.2

14.615.解：(1)f(x)=23sinxcosx+2cos2x=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，

故T=2π2=π；令−π2+2kπ≤2x+π6≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，

解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，

故f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；

16.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，

因为PD与平面ABCD所成的角为45°，PA⊥平面ABCD，

所以∠PDA=45°，且PA=AD，

又E为PD的中点，所以AE⊥PD，

因为CD⊥AD，又CD⊥PA，

故CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，

所以AE⊥平面PCD．

(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，

故BC⊥平面PAB，

所以BC⊥PB，又BC⊥AB，

则∠PBA即为所求，

由(1)知：PA=AD，则BA=3PA，

所以17.解：(1)当a=2时，f(x)=2e2x−x，f′(x)=4e2x−1，

则f′(0)=3，f(0)=2，

故f(x)在x=0处的切线方程为y=3x+2；

(2)f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1=(2ex+1)(aex−1)，

①若a≤0，f′(x)<0，则f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；

②若a>0，当f′(x)=0时，解得x=−lna，

当x>−lna时，f′(x)>0，当x<−lna时，f′(x)<0，

则f(x)在(−lna,+∞)上单调递增，在(−∞,−lna)上单调递减，

18.解：(1)因为椭圆C的焦点在x轴上，上顶点M(0,1)，右焦点F，离心率e=22，

所以b=1ca=22a2=b2+c2，

解得a=2，b=1，

则椭圆C的标准方程为x22+y2=1；

(2)(i)易知kMF=−1，

因为MF⊥l，

所以kMFkl=−1，

解得k1=1，

设直线l的方程为y=x+m，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立y=x+mx22+y21=1，消去y并整理得3x2+4mx+2m2−2=0，

此时Δ=16m2−4×3×(2m2−2)=8(3−m2)>0，

解得−3<m<3，

由韦达定理得x1+x2=−419.解：(1)由an2−(4+3n)an−4n2−4n=0可得[an−(4n+4)](an+n)=0，

根据an>0可得an=4n+4，

由bn+1=3bn+2n−1可得bn+1+