2021版53同步-数学-人教A版-选择性必修第一册全书综合测评

全书综合测评

(满分”50分;时间“20分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的)

1.直线8x-y-2018=0的倾斜角等于()

A]BgQD.不存在

634

2.已知向量a=(0,1,1),b=(1,-2,1).若向量a+b与向量c=(-2,m,-4)平行,则实数m的值

是()

A.2B.-2C.10D.-10

3.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为

()

A.1B.yC得D.y

4.已知点A(2,-l,2)在平面a内,n=(3,I,2)是平面a的一个法向量，则下列各点在平面

a内的是()

A.(1,-1,D

C〈l，-3,|)D.(-1,3,-|)

5.已知椭圆C的中心在原点，焦点F/2在x轴上,C上的点到左焦点F,的距离的最

大值为6,过B的直线交C于A,B两点，且4ABF2的周长为16,则椭圆C的方程为

)

2222

AA.—%y1B.—+^=11

1612164

c£E=iD-+^-=l

e,1241^-42I

6.已知圆C:(x+2)2+(y+2)2=10,若直线l：y=kx-2与圆交于P、Q两点，则弦长|PQ|的最

小值是()

A.V5B.4C.2V5D.2V6

7.已知抛物线C:y2=8x,圆F4x-2)2+y2=4(点F为其圆心)，直线l:y=k(x-2)(kW0)自上而

下顺次与上述两曲线交于Mi,M2,M3,M4四点，则下列各式结果为定值的是()

A.|MIM3|•|M2M4|B.|FMI|•|FM4|

C.IM1M2I・|M3M4ID.IFM1I•IM1M2I

8.如图，已知BR是椭圆T:*，=l(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆T上一点，且不与

x轴重合，过F2作NFFF2的外角的平分线的垂线,垂足为Q,则点Q在上运

动.()

A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分，有选错的得()分)

9.在正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是ADCDi的中点，则下列结论正确的是

()

A.ACi〃平面CEF

B.BiDL平面CEF

C.CE^DA+DD^DC

D.点D与点Bi到平面CEF的距离相等

H).对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切，

则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行

相离”；否则称为“平行相交”.已知直线h：ax+3y+6=0,12：2x+(a+l)y+6=0与圆

C:x2+y2+2x=b2-l(b>0)的位置关系是“平行相交”，则实数b的取值可以是()

A.lB.2

C.3D.4

22

11.己知P是椭圆E：2+-=l上一点,Fl,F2为其左、右焦点，且△BPF2的面积为3,则

o4

下列说法正确的是()

A.点P的纵坐标为3

B.NBPF2当

C.ZiF|PF2的周长为4(企+1)

D.4BPF2的内切圆半径为|(四-1)

12.在平面直角坐标系中，有两个圆Ci：(x+2>+y2=疗和C2：(x-2)2+y2=rg,其中常数ri,r2

为正数，满足口+功<4,一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是()

A.两个椭圆

B.两个双曲线

C.一个双曲线和一条直线

D.一个椭圆和一个双曲线

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上)

13.与a=(2,-l,2)共线且满足a•b=-9的向量b=.

14.已知圆C:x2+y2-2x-l=0,以点为中点的弦所在的直线1的方程是.

22

15.已知双曲线E:今当=l(a>0,b>()),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点

a£b

分别为E的两个焦点，且21ABi=3|BC|,则E的离心率是.

16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖腌.在如图所示的鳖

蠕P-ABC中,PAL平面ABC,ZACB=90°,ACM,PA=2,D为AB的中点,E为APAC

内的动点（含边界），且PC_LDE.当E在AC上时,AE=，点E的轨迹的长度

为.（本题第一空2分,第二空3分）

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步的

17.（本小题满分10分）己知直线1的斜率为且直线1经过直线kx-y+2k+5=0所过

的定点P.

（1）求直线1的方程；

（2）若直线m平行于直线1,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.

18.(本小题满分12分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程:

(1)短轴长等于2次,离心率等于;的椭圆；

22

(2)与椭圆高+£=1共焦点，且过点(4,5)的双曲线.

ioZD

19.(本小题满分12分)已知圆C:(x-6)2+y2=20,直线l:y=kx与圆C交于不同的两点

A,B.

(1)求实数k的取值范围；

(2)若砺=26],求直线1的方程.

20.(本小题满分12分)如图所示，在长方体ABCD-A|B|JDi中,E,F分别是AB,A(C

的中点,AD=AAi=2,AB=&.

(1)求证:EF〃平面ADDiAi；

(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值；

(3)在线段AQi上是否存在点M,使得BM_L平面EFD?若存在，求出黑的值;若不

存在,请说明理由.

21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(0<p<2)的焦点为F,M(2,y0)是C上一点,

且|MF|§

(1)求C的方程；

(2)直线1交C于A、B两点,koA•koB=2,且AOAB的面积为16,求直线1的方程.

22

22.(本小题满分12分)已知椭圆E：3+%=l(a>b>())的右顶点为A,上顶点为B,离心率

e=y,o为坐标原点，圆O:x2+y2q与直线AB相切.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB〃DC.记直线AC,BD的斜率分别为如后试

问ki•k2是不是定值?证明你的结论.

答案全解全析

一、单项选择题

1.B直线Bx-y-2()18=0化为y=Bx-2()18,则直线的斜率为百，所以直线的倾斜

角等于:故选B.

3

2.Aa+b=(l,-l,2),

由(a+b)〃c得二解得m=2,故选A.

1-12

3.C因为直线3x+4y-12=()与直线6x+8y+5=0平行，所以|PQ|的最小值就是两直线

间的距离，即<1=;黯=?故选C.

4.B设平面a内的一点为P(x,y,z)(不与点A重合),则而=(x-2,y+l,z-2),•.♦n是平面

a的一个法向量,.•.而_Ln,；.3(x-2)+(y+l)+2(z-2)=0,即3x+y+2z=9.

将选项代入检验知B正确，故选B.

5.A设椭圆的标准方程为J+g=l(a>b>0).依题意得,a+c=6,且4a=16,.*.a=4,c=2,.*.

arb，

b2=a2-c2=16-4=12,故选A.

6.D由题意得，直线y=kx-2过定点(0,-2),设为A,要想弦长|PQ|最短，则点A应为弦

PQ的中点，易知圆C:(x+2)2+(y+2)2=10的圆心坐标为(-2,-2),半径r=V10,

则点A到圆心的距离d=J(0+2尸+(_2+2尸=2,

由圆的弦长公式，可得|PQ|=2"存=2^^=2①，即弦长|PQ|的最小值为2遍，

故选D.

7.C设MI,M2,M3,M4四点的横坐标分别为X|,X2,X3,X4,

由题意知y2=8x的焦点坐标与圆F的圆心(2,0)相同，准线lo：x=-2.

由定义得|MF|=Xi+2,

又•.•|M|F|=|M|M2|+2,

|MiM2|=XI，同理,|M3M4l=X4,

将y=k(x-2)代入抛物线方程，得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,

...X|X4=4,，|M|M2|•|M3M4=4,故选C.

8.B作F2Q与FiP的延长线交于点M,连接0Q.因为PQ是NBPF2的外角的平分

线，且PQLFzM,所以在4PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又0为线段

FE的中点，由三角形的中位线定理得|0Q|W|F|M|=；(|PFI|+|PF2|).由椭圆的定义，得

IPFi|+|PF2|=2a,所以|OQ曰，所以点Q在以原点为圆心,a为半径的圆上运动.

二、多项选择题

9.AC建立空间直角坐标系，如图所示，设AB=2,平面CEF的法向量为n=(x,y,z).

IE,F分别是AQiCDi的中点,，EF〃AiG,

又EFu平面CEF,AC。平面CEF,，AC〃平面CEF,故选项A正确;

C(0,2,0),E(l,0,2),F(0,l,2),Bi(2,2,2),D(0,0,0).

M=(2,2,2),£F=(-1,1,0),CF=(0,-1,2),

...[n.画=0,即已雪=0

令x=2,则n=(2,2,1),

•.•斯=(2,2,2),，西与n不平行，

.'-B|D不垂直于平面CEF,故选项B错误；

CE=CD+DD^+DiE,—CD+DDi+-D-^A-^

三育+西-比,故选项C正确；

反=(0,2,0),设点D到平面CEF的距离为d1,

rnilA」前•讨_4_4

则出一寸一标手嗯，

瓦祗(-2,0,-2),设Bi到平面CEF的距离为d2,

则小=巫工上型=223故选项D错误.故选AC.

1«133’

10.BCD由已知得直线h：ax+3y+6=0与l2:2x+(a+l)y+6=0平行,...ax(a+l)=3x2,解

得a=2或a=-3,

当a=2时，两直线方程相同，两直线重合，不合题意，当a=-3时，检验符合题意,.3=3

此时两直线方程分别为x-y-2=0,x-y+3=0,

将x2+y2+2x=b2-l(b>0)配方整理得(x+l>+y2=b2,.,.圆心坐标为(-1,0)泮径为b.

当两条平行直线与圆“平行相切”时,6=竿=越或b=^=鱼，

V22V2

当两条平行直线与圆“平行相离”时,b<¥且b<e,即b<VI

当两条平行直线与圆“平行相交”时,b>企且bW逑，故选BCD.

2

11.CD由9+?=1得,a2=8,b2=4,，c2=4.

设P(x,y),则5”#尸2=护正2|•|y)；x4x|y|=3,解得|y|=；，选项A错误;

设椭圆的上顶点为B,

Vb=c=2,.\NRPF2WNF1BF2号选项B错误；

△FIPF2的周长为2a+2c=4a+4,选项C正确；

设△F1PF2的内切圆半径为r,

则S.PF2=；|FIP|-r+；|F2Pl・r+；•田园•r

三(IFFI+IF2PI+IBF2I)•r=；x4(或+l)xr=3,解得r=；(&-l),选项D正确.故选CD.

12.BC由题意得，圆G的圆心为C(2,0)泮径为n,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为

3所以©C2I=4,设动圆P的半径为r.

当h+r2<4时，两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切，一个外切.

①若均内切，则|PC|=r-ij,|PC2|=r-r2,此时IIPCiHPCJklrEl,

当hWr2时，点P的轨迹是以Ci,C2为焦点的双曲线，

当n=r2时，点P在线段3c2的垂直平分线上.

②若均外切，则|PC|=r+n,|PC2l=r+r2,此时|『。卜附2||=1口句,则点P的轨迹与①相同

③若一个外切，一个内切，不妨设与圆3内切，与圆C2外切，则|PC||=r-

h,|PC2|=r+r2,|PC2Hpei|=r1+r2.同理当与圆C2内切，与圆C1外切时JPGIglf+r2.

此时点P的轨迹是以Cl,C2为焦点的双曲线,与①中双曲线不一样.故选BC.

三、填空题

13.答案(-2,1,-2)

解析依题意设b=ka=(2k,-X,2k)(XeR),所以a•b=4九+九+4九=-9,解得入=-1.故b=(-

2,1,-2).

14.答案2x-4y+3=0

解析圆的方程可化为(x-l)2+y2=2同知圆心为C(1,O).

设则以A为中点的弦所在的直线1即为经过点A且垂直于AC的直线.又

知1<AC=T=-2,所以所以直线1的方程为y-l=；(%-；),即2x-4y+3=0.

1-2

15.答案2

解析由题意不妨设|AB|=3,则|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,则在

RtZSBMN中,|MN|=2c=2,故+|MN『=JQ)+22=；.由双曲线的定义可

得2a=|BNHBM|=¥=1,所以双曲线E的离心率e=：=2.

16.答案2寸

解析建立空间直角坐标系，如图所示.

设CB=2m,则P(0,0,2),C(0,4,0),D(m,2,0).

当E在AC上时，设E(0,t,0)(0WtW4),则屁=(-m,t-2,0),

又无=(0,4,-2),所以由PCLDE,可得丽•屁=0,即4(t-2)=0,解得t=2,因此AE=2,此

时E为AC的中点，可得E(0,2,0).

当E在AC的中点时，作EE'IPC于点E,由PC，DE,PC，EE；DECEE=E，得PC±

平面DEE：所以点E在aPAC内的轨迹为线段EE,因此求出EE的长度即可.

解法一:设瓦心入近=(0,4入,-2九)，贝I」E(0,4入,2-2与，所以前=(0,4兀-2,2-2九)，由於，血

得,4(4心2)-2(2-2九)=0,解得九胃所以E(0谭所以|EE|=J(g-2)2+('=?.

解法二:过点A作AF_LPC,则|EE】W•|AF|.

乂|AF|=<^=）^=¥，所以|EE|=等.

四、解答题

17.解析（l）kx-y+2k+5=0整理得k（x+2）+（5-y）=0,所以直线kx-y+2k+5=0过定点

P（-2,5）,（2分）

因止匕l:y-5=[（x+2）,即3x+4y-I4=0.（5分）

（2）设直线m的方程为丫=令+岫拧则3=吗竺”,解得b=_或b.（8分）

JW+i

直线m的方程为y=-：x-或y=-x+：.（10分）

18.解析（1）由题意可知，短半轴长b=g，离心率e-=-,（2分）

a2

因为a2=b2+c2,所以a=2.（5分）

若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为二^=1;（6分）

43

22

若焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为二二=1.（7分）

43

（2）由椭圆二+匕1的焦点为（0,±3）,可设双曲线方程为匕工=l（0<m<9）,（8分）

1625m9-m

将点（4,5）代入可得巴工=1（0<01<9）,（9分）

m9-m

整理可得,m2-50m+225=0,

解得m=5或m=45（舍去）,（11分）

22

所以双曲线的标准方程为3亍=1.（12分）

19.解析（1）将直线1的方程y=kx代入圆C的方程（x-6）2+y2=20,整理得（1+1<2*-

12x+16=0「.•直线1与圆C交于不同的两点,二且A=（-12）2-4（l+k2）xl6>0,/.

k的取值范围为朱k<f.（4分）

2

（2）；砺=2成,；.人为线段0B的中点，设A（xi,y6则B（2X1,2yi）,（x,-6）+yf=20

①,（2x「6）2+4*=20②，

由①②可得xi=2,yi=2或xi=2,y1=-2,

直线1的方程为y=±x.（12分）

20.解析（1）证明:连接AD1,AQ,交于点O,所以点O是A]D的中点，连接FO.

因为F是AC的中点，

所以OF〃CD,OF=gCD.

因为AE〃CD,AE=/D,

所以OF〃AE,OF=AE.

所以四边形AEFO是平行四边形.

所以EF〃AO.

因为EF。平面ADD,Ai,AOc平面ADDiAi,

所以EF〃平面ADD1AM4分)

(2)以点A为坐标原点，直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标

系,(5分)

因为点E,F分别是AB,AC的中点,AD=AA|=2,AB=&,

所以B(V2,0,0),D(0,2,0)

所以屁=(壬-2,0),FF=(O,1,1).

设平面EFD的法向量为n=(x,y,z),

则卜・DE=0,即件x-2y=0,

(n•EF=0,(y+z=0.

令y=l,则z=-1,x=2V2.

所以n=(2VI,1,-1).(7分)

由题知，平面DEC的一个法向量为m=(0,0,l),

所以cos<n,m>=-^—.

VlOxl10

所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是噂.(9分)

(3)假设在线段AQi上存在一点M,使得BM_L平面EFD.

设点M的坐标为(0,t,2)(0WtW2),则丽=(-&,t,2).

因为平面EFD的一个法向量为n=(2&,1,-1),而丽与n不平行,

所以在线段A|Di上不存在点M,使得BM,平面EFD.(12分)

22解析⑴将M(2,yo)代入x2=2py(0<p<2),Wyo=^,(2分)

P

又|MF|=yo-(-9=j+号,...p=l,...抛物线的方程为x2=2y.(5分)

(2)直线1的斜率显然存在,设直线l:y=kx+b(kW0),A(xi,yD,B(X2,y2),

由.)(y2=krx+b得,.„x-.-2kx-2b=0,(7分,,)

(.%=