2022-2023学年高三年级下册第二次模拟考试理科数学试题集（含解析）

2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试理科

数学试卷

学校:姓名：班级：

一、单选题

1.若全集庐{-2,1,2,5},集合力={1,2,5},庐{-2,1,2},则务（ACB）=（）

A.{-2,5}B.{-2,1,2}

C.{1,2}D.⑵

2.复数z=岩的虚部为（）

1-21

7742

A.-iB,-C.――D.-

5555

3.下列命题中，真命题的个数为（）

①若，卜M，则a=b;②零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直；

③所有单位向量都相等；④若舞〃盗，则A、B、C三点共线；⑤若点P到平面内两

个定点的距离之和是一个定值，则点尸的轨迹为椭圆；

A.1B.2C.3D.4

4.已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为16,

方差为0.8,则三年后，下列判断错误的是（）

A.这五位同学年龄的平均数变为19B.这五位同学年龄的方差变为3.8

C.这五位同学年龄的众数变为19D.这五位同学年龄的中位数变为19

5.一种药品在病人血液中的量不低于1500mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该

药品的量为Omg,用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减.现给某病人静脉注射

了3000mg的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品

（1g2=0.301,结果精确到0.1）（）

A.2.7B.2.9C.3.1D.3.3

6.下面命题中不正确的是（）

A.“1”是“L<1”的充分不必要条件

a

B.命题“任意xeR,则Y+x+ivO”的否定是“存在xe/?,则龙+INO”

C.设x,y£R,贝ij且丁22”是的必要不充分条件

D.设〃，Z?eR,则“QWO且是“C出工0”的充要条件

7.数列{〃“}中，an=«sin-y,则。2021的值为（）

A.-2021B.2021C.-1010D.1010

8.已知扇形的周长为6,圆心角的弧度数是4,则该扇形的弧长为（）

A.2B.4C.6D.8

9.已知。，万是两个不同平面，a,人是两条不同直线，则下列命题正确的是（）

A.若“_1_a,aLh,则

B.若a〃?，a\\p=b,alb,则cJ-Z?

C.若a±a,b10,则a_L6

D.若a_L£,aJ3=b,aLh,则aJ•力

10.在_43（7中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,若tanA=-K，一ABC的面

积为ga,则历的最小值为（）

A.16B.16&C.48D.24#1

11.过点（1,2）可作三条直线与曲线=〃相切，则实数a的取值范围为（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

12.已知0<x<y<不，且e»sinx=e'siny,其中e为自然对数的底数，则下列选项中

一定成立的是（）

7T_cc..

A.y<—7TB_.x+y<—C.cosx+cosy>0D.sinx>siny

二、填空题

13.已知直线4：n+2y+l=o（加>0）,与双曲线c：9-y2=i的一条渐近线垂直，

则机=.

3x+y-5>0

14.己知》,y满足约束条件-x+y-440,则2=》一y的最大值是

y>l

15.在三棱锥尸—A3C中，A4_L平面ABC,ZBAC=90°,P4=A3=AC=2则该三棱

锥的外接球的表面积为.

—lx+11,x<I

16.已知函数〃x）=|2：，若函数y=/（x）-l恰有4个不同的零点，则实数

（2x-iz）',x>1

〃的取值范围是.

三、解答题

17.已知｛4｝是公差不为0的等差数列，4=1,且4、的、为成等比数列.

⑴求数列｛叫的通项公式；

2

⑵设％=——，求数列也｝的前"项和S„.

18.某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，列出他们

的高一第一学期期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩的分组区间为:

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中。的值；

(2)利用样本估计总体的方法，估计该校高一年级此次期中考试的平均分(同一分组的

成绩用该组区间的中点值做代表);

(3)若将分数从高分到低分排列，取前20%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总

体的方法，估计本次期中考试“优秀”档次的分数线.

19.如图，直四棱柱ABC。-A8£。的底面是菱形A4,=8,AB=4,ZBAD=60°,E,

M,"分别是比；BBltA。的中点.

(1)证明：MN〃平面GOE；

(2)求二面角A-N的正弦值.

20.已知椭圆C：W+W■=l(a＞方＞0)的右焦点F(G,0),长半轴长与短半轴长的比值

为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设8为椭圆C的上顶点，直线/：y=x+m(，〃Hl)与椭圆C相交于不同的两点N,

若BM工BN,求直线/的方程.

21.已知函数f(x)=lnx-ox(aeR).

⑴当a=l时，求曲线y=〃x)在点0J(1))处的切线方程；

⑵求函数的单调区间；

⑶若函数/(X)在［I*?］上有且仅有2个零点，求。的取值范围.

22.已知直线/过点P(L2),且倾斜角为自，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=2sine+上芭.

P

(1)求C的直角坐标方程与/的参数方程；

(2)若/与C相交于不同的两点M,N,求\PM加\-\P」N\的值.

23.已知函数〃x)=|尤-1|+卜+2|-1.

(1)求不等式f(x)V4的解集；

⑵设xeR时，/(x)的最小值为M若正实数a,b,满足。+人=”,求:的最小

ab

值.

参考答案：

1.A

【分析】由交集，补集定义可得答案.

【详解】因左U，2,5},庐{-2,1,2),则"13={1,2}.

又出{-2,1,2,5},则》(ACB)=卜2,5}.

故选：A

2.B

【分析】由复数除法法则计算后，根据复数定义可得.

2

……(2+3i)(l+2i)2+4i+3i+6i47.rrnlg-7

【详解】z=7：-=------------=-7+71)所以z的虚部为工，

(1-21)(1+21)5555

故选：B.

3.B

【解析】根据相等向量的定义可判断①；由零向量的定义可判断②；由单位向量的定义

可判断③；向量共线且有相同起点可判断④；根据椭圆定义可判断⑤.

【详解】①相等向量是指大小相等方向相同的两个向量，若向=1|，则aS的方向不一

定相同，错误；

②零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直，正确；

③所有单位向量模长相等，但是方向不一定相同，错误；

UUUULUH

④若48//AC，且两个向量有共同的起点4则A、B、C三点共线；

⑤在同一平面内，点P到两个定点的距离之和是一个定值，并且这个定值大于两个定点

之间的距离，则点P的轨迹为椭圆，比如定值等于两个定点之间的距离，轨迹为线段,

所以错误；

故选：B.

【点睛】本题考查向量的有关概念、椭圆的定义，关键点是熟练掌握向量的有关概念和

性质、椭圆的定义，考查了学生对基本概念的理解.

4.B

【分析】利用平均数、中位数、方差的定义及性质注意判断即可.

【详解】解：甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均

为16,方差位0.8,

三年后，

这五位同学年龄的平均数变为16+3=19,故A正确：

这五位同学的方差不变，仍为0.8,故B错误.

试卷第5页，共16页

这五位同学年龄的众数变为16+3=19,故C正确；

这五位同学年龄的中位数变为16+3=19,故D正确；

故选：B.

5.C

【分析】根据题意列出关于〃的式子，根据对数的运算性质即可求解.

【详解】设注射〃个小时后需要向病人血液中再次注射该药品，则

3000x(1—20%)』500n⑶>-^>n<lg2,

v7⑸2l-21g2

由lg2=0.301得：上43.1

故〃的最大值为3.1,

故选：C

6.C

【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD的正误；根据全称命题的否定是

特称命题，判断选项B的正误.

【详解】对于A,。=±^>0=心-1)>0="0或”>1,贝~>1”是“L1”

aaa

的充分不必要条件，故A对；

对于B,全称命题的否定是特称命题，“任意xeR,则工2+*+1<()”的否定是“存在xeR,

则V+x+lNO”，故B对；

对于C,“X22且yN2"=>"x+y±4"，但“x+y24"推不出“x22且yN2”，

所以“xN2且是“x+y24”的充分不必要条件，故C错；

对于D,abwOoawO且人工0,则“axO”是“abwO”的充要条件，故D对；

故选：C.

7.B

【分析】将〃=2021代入勺=〃sin拳，再利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求

解.

【详解】见⑼=202Isin型等=2021sin(2兀x505+])=2021sin|=2021.

故选：B.

8.B

【分析】利用扇形的周长与圆心角求出扇形的半径，然后利用扇形的弧长公式计算即可.

【详解】设扇形的半径为R,圆心角为。=4,弧长为/,

则周长为6得：2R+l=2R+®R=6R=6=R=l,

试卷第6页，共16页

所以扇形的弧长为：/=夕?=4,

故选：B.

9.C

【分析】分别利用线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理判

断即可.

【详解】对于A,若alb,则。Pa或6ua,故A错误，

对于B,若a〃尸，a0=b,a_L6时，可能夕与a相交，但不垂直，即不一定C万，

故B错误，

对于D,由平面与平面垂直的性质定理可知，若a，4，ap=b,alb,“ua时，

则“，尸，若a/a时，直线”与平面万不垂直，故D错误，

对于C.若则两平面的法向量互相垂直，因为bVp,所以a_L6,正

确

故选：C.

10.C

【分析】求出角A的值，利用三角形的面积公式可得出4=牛，利用余弦定理结合基本

4

不等式可求得税的最小值.

【详解】因为0<A(乃且tanA=-6,则人=学，

因为SAABC=gbcsinA=^^~bc=6a，所以，。，

由余弦定理可得^=/=/+/—2Z?ccosA=/?2+c?,所以'>48,

16

当且仅当人=c=4石时，等号成立，故be•的最小值为48.

故选：C.

11.D

【分析】求导得到导函数，设切点为(%,£-3%+〃)，得到切线方程，代入点坐标得到

〃=2年-34+5,设g(x)=2/—3Y+5,计算函数的极值，得到答案.

【详解】f(x)=x3-3x+a,f\x)=3x2-3,

设切点为(毛芯一3%+a),则切线方程为-3/+4)=(3片—3)(x—x0),

切线过点(L2),2-宙—3x°+a)=(3x；—3)(l—x0),整理得到〃=2"一3焉+5,

试卷第7页，共16页

方程有三个不等根.

令g(x)=2/-3x?+5,贝ij，(x)=6/一6x,令g'(x)=O,则x=0或x=l,

当x<0或x>l时，g'(x)>0,函数单调递增；

当0<*<1时，g'(x)<0,函数单调递减，

极大值g(0)=5,极小值g⑴=4,函数y=“与y=2片-3片+5有三个交点，

则4<”5,。的取值范围为(4,5).

故选：D

12.C

【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.

【详解】因为e"sinx=e'si"，所以岑=誓，

eey

令g(f)=学，所以g(x)=g(y),对函数g(/)=詈，*(0,乃)求导：

，/、e'cosi-e'sin/cos/-sinr,，/、八一—4、

g⑺=——77^——=——；——，由，⑺>°有：，£(0，;)，

2

(e)e4

由g'Q)<0有：所以M=学在(o,f)单调递增，在(。力

4e44

TT

单调递减，因为0<x<y<万，由g(x)=g(y)有：0<x<；<y<乃，

故A错误；

因为0<x<y</r,所以e，>e*,由f=*用有：siny>sinx,

故D错误；

22

因为所以cosx=71-sinx>0»Icosy\=^/1-siny

因为siny>sinx,所以cosA：>|cosy|,所以cosx+cosy>0,故C正确；

人,/、、七.，/、“7i、cosr-sinrsin—c°s，

令〃(f)=gQ)-g(7T)有：〃⑺=gQ)-g(7一。=----；----+。

22ee2

n

,2

=(sinr-cosr)(e-e当。<，<万，"⑺>o恒成立.所以的心8⑺-8弓一)

「2

7T1T

在(0,万)单调递增，当0cX<a时，力(x)=g(x)-g(,-x)<。，

TTTT

即g(x)<g(,-x),又g(x)=g(y),所以g(x)=g(y)<g(]-x),

因为0<x<£<y<%,所以]因为g(f)=^■在

(%)内单调递减，所以旷吗7,即y+x>],故B错误.

故选：C.

试卷第8页，共16页

13.4

【分析】求得双曲线C的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.

丫21

【详解】对双曲线C：其渐近线方程为y=±：x,

42

对直线乙：;nx+2y+l=0(m>0),且斜率为-£<0,

H?1

根据题意可得=解得机=4.

22

故答案为：4-

14.2

【分析】根据不等式组作出可行域，再由目标函数的几何意义可求得其最大值.

【详解】解：由已知作出可行域如下图所示，

由\x+y-4=0得CM，则z=f在点3)处取得最大值2.

【分析】由已知中PA_L平面ABC,AB±AC，可得:三棱锥外接球等同于以钻,AC,”

为长宽高的正方体的外接球，进而得到答案.

【详解】：PA_L平面ABC,ABJ.AC,

故三棱锥外接球等同于以AB,AC,AP为长宽高的正方体的外接球，

故三棱锥外接球的表面积5=(22+22+2?)万=12万，

故答案为12万.

【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，根据已知借助正方体模型求出球的半径，是

解答的关键.属于中档题.

16.[3,6)

【解析】本题首先可根据函数解析式得出函数y=/(x)-1在区间(-8,1)和[1,2)上均

试卷第9页，共16页

有两个零点，然后根据在区间(T,1)上有两个零点得出2<。<6,最后根据函数

>=/(司-1在区间［1,")上有两个零点解得4之3,即可得出结果.

【详解】当x<l时，令/(x)—1=0,得微-卜+1|-1=0,即卜+1|=下，该方程至多两

个根；

当X21时，令〃力一1=0,得(2x—4-1=0,该方程至多两个根，

因为函数y=〃x)-l恰有4个不同的零点，

所以函数》=/(x)-1在区间(7,1)和［1,内)上均有两个零点，

函数y=/(x)-1在区间(y,i)上有两个零点，

即直线y=>与函数y=|x+l|在区间(-%1)上有两个交点，

当x<T时，j=|x+l|=-x-l>05

当—-1时，y=\x+\\=x+i,此时函数的值域为［0,2),

则解得2<a<6,

若函数y=/(x)-l在区间口，+<«)上也有两个零点，

令(2x-a)2-l=0,解得>

则解得。23,

综上所述，实数〃的取值范围是［3,6),

故答案为：［3,6).

【点睛】本题考查根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点

数目进行求解，考查函数最值的应用，考查推理能力与计算能力，考查分类讨论思想,

是难题.

17.⑴a“=2〃-l

【分析】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,根据题中条件可得出关于d的等式，解出d

的值，再利用等差数列的通项公式即可求得对的表达式；

试卷第10页，共16页

(2)求出数列｛〃,｝的通项公式，利用裂项相消法可求得S“.

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,4=1,则“2=1+"，%=1+4",且4/0,

又因为4、出、生成等比数列，所以(l+d)2=l+4d,即1一2"=0,

又d手。,解得d=2,

所以a“=l+2(〃-l)=2"-l.

(2)由(1)知勿=

（2n-l）（2n+l）2〃-12〃+1

12n

++=1=

2〃-12〃+12/7+12九+1

18.(1)67=0.005

(2)73

(3)82.5

【分析】(1)由频率分布直方图的所有长方形的面积之和等于1,即可求出答案；

(2)由频率分布直方图的平均数的求法，即可求出答案；

(3)由频率分布直方图可知,区间［90,100］占5%,区间［80,90)占20%,估计“优秀”

档次的分数线在［80,90］之间，由此即可求出答案.

【详解】(1)由题意得,(2«+0.02+0.03+0.04)xl0=l,

解得：a=0.005；

(2)估计该校此次期中考试平均分为

55x0.05+65x0.4+75x0.3+85x0.2+95x0.05=73；

(3)由频率分布直方图可知，区间［90,100］占5%,区间［80,90)占20%,

估计“优秀”档次的分数线为：80+10x^=82.5.

0.2

19.(1)证明见解析

⑵典

5

【分析】(1)连接超，B、C,证明四边形物笳为平行四边形，可得再根据

线面平行的判定定理即可得证；

(2)连接AC,8。，AC*.,设4cBD=O,A,C^B^=O］,以。为原点，可建

立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

试卷第11页，共16页

【详解】（1）连接，监；B,C,

'：M,£分别为SB,,8c中点，

...必为，与BC的中位线，

?.MEHBXC且A/E=gBQ,

因为ABJ/CD且AM=CD,

所以四边形AB。为平行四边形，所以ARB©且ADt=B、C,

又N为A、D中点，：.ND//BCllND=gB\C,

：.MEIIND,ME=ND,

四边形，楙比'为平行四边形，

:.MNHDE,又MV＜Z平面CQE,£＞Eu平面CQE,

MN//平面GOE；

（2）连接AC,B£＞,AG，BQ1,设ACBD=O,AC.nB.D,=0,,

由直四棱柱性质可知：。«，平面ABCD,

•.•四边形ABCD为菱形,

：.AC1BD,

则以。为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，

则：A（2百,0,0）,M（0,2,4）,A（26,0,8）,£＞（（）,-2,0）,N（右,-1,4）,

取中点凡连接加；则网6,1,0）,

,/四边形ABCD为菱形且ABAD=60°,

△AB。为等边三角形，

，DFA.AB,

又AA-1＞平面｛“，£＞「＜=平面/灰力，

DF±4A,

又A4,cA8=4,AA，ABu平面AB81A,

DF/平面ABBA,即加工平面,

二DF为平面4M4的一个法向量，且=（6,3,0）,

试卷第12页，共16页

设平面MAN的一个法向量为n=(x,y,z),

又M4,二(26-2,4),MN=(A-3,0),

n-=2>/5x-2y+4z=0

令x=B贝触=1,z=-l,

n-MN=也x-3y=0

平面M4,N的一个法向量为〃=(6,1,-1)

DFn3>/15

.・.cos(DF,n

所加「厉一5

../cl\而

••sin^£)F,/?2=—^~

二面角A-MA-N的正弦值为叵

5

20.(1)—+y2=l

4

(2)y=x-|

【分析】(1)由条件写出关于4c的方程组，即可求椭圆方程：

(2)首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示8M-8N=0,即可求参数用.

【详解】(1)由题意得，c=67=2,a2=b2+c2,

h

47—2,b—\f

椭圆C的标准方程为《+V=1.

4.

(2)依题意,知3(0,1),设'(9,%).

fy=x+m

联立《22消去九可得5x?+8如+44-4=0.

[X+4/=4

试卷第13页，共16页

「.△=16（5—m2）＞o,即一有＜m＜石，加工1,

-87w4m2_4

Xl+X2=—^~»菁工2=---•

BM工BN,，BMBN=G.

2

BM-BN=（玉,玉+m-\）^x2,x2+m-\）-2x}x2+（机一。（玉4-x2）4-（/w-l）=0,

_4加~—4（\—87272八

/.2x——-——+（加一1）—^―+（机-1）~=0,

整理，得5/-2加-3=0,

解得m=-］或相=1（舍去）.

二直线/的方程为y=x-30

21.（l）y=-l

（2）答案见解析

【分析】⑴当a=l时，求出/(1)、:⑴的值，利用导数的儿何意义可求得曲线y=〃x)

在点。"(1))处的切线方程；

(2)求得/(力=与台，分。40、。>0两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可

得出函数f(x)的增区间和减区间：

(3)由〃x)=0可得。=?,令8⑺二甲，分析可知直线与函数g(x)在[1,/]

上的图象有两个交点，利用导数分析函数g(x)的单调性与极值，数形结合可得出实数”

的取值范围.

【详解】(1)解：当”=1时，/(x)=lnx—x,r(x)=(-l=i(x>0),

所以，/'⑴=0,/⑴=一1,故曲线y=r(x)在点(1J(1))处的切线方程为y=-1.

(2)解：/(x)=lnx-ar(aeR),贝!jr(x)=[-〃=L^.

当a£0时，/«x)>0,/(x)在(0,+e)上单调递增;

当a>0时，由/'(x)=0,得K=,，

若。<x<g,贝1|制^)>0；若x>：,则/'(x)<0.

试卷第14页，共16页

当a>0时，〃x)的单调递增区间为(0,：),单调递减区间为+8).

综上所述，当时，函数/(x)的增区间为(0,+8)；

当。>0时，函数/(x)的增区间为(0,J),减区间为+8).

(3)解：当x€［l,e［时，由/(力=0可得〃=手，令8(切=今，其中xe［l,e］,

则直线V="与函数g(x)在［l,e［上的图象有两个交点，

g'(x)=L詈，当l<x<e时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增，

当evxve?时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减.

所以，函数g(x)的极大值为g(e)」，且g⑴=0,812)=之，如下图所示：

ee

由图可知，当1•W”：时，直线y=a与函数g(x)在［1,/］上的图象有两个交点,

因此，实数”的取值范围是「与」］.

Leej

।6

X=1H-----1

22.(1)曲线。:/+(尸1)2=2+6；直线j(f为参数)

y=2+—t

2

⑵用

【分析】(1)根据极坐标与直角坐标互化原则可直接得到曲线C的直角坐标方程；根据

直线所过点和倾斜角可求得直线参数方程；

(2)将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，根据直线参数方程中参数的几何意义可

【详解】(1)由/?=2sin)+I、"得:夕2=2/?sin8+l+百，

P

x2+y2=2y+l+>/3,BPx2+(y-l)2=2+>/3,

试卷第15页，共16页

即曲线C的直角坐标方程为：f+(y-l)2=2+g.

E+g

/过点P(l,2),且倾斜角为5，.・./的参数方程为：，2a为参数).

6c1

y=2+—t

.2

32

(2)将/参数方程代入曲线C的直角坐标方程得:|=2+G,

2+4

7

即『+(1+@/_&=0,

设M,N对应的参数分别为3%,则八+/2=-1-6，八"=S,

|MN|=卜_fj=Ja+芍/_4科="+66,=

3_9痒6.|尸加卜|「'|_19^3-6

\MN\)-66+4一46"~\MN\46

2

9

⑵

2-

【分析】(1)首先对不等式化简，再由零点分段讨论即可得到原不等式的解;

(2)首先求得了(x)的最小值为机再由基本不等式即可求得：的最小值.

【详解】⑴/(x)=|x-l|+|x+2|-l<4,可化为卜-1叶+2区5,

当x<-2时，不等式化为一4+1-工一2<5,解得xN—3,此时-3Wx<-2；

当一24<1时・，不等式化为一x+l+x+2=3W5,恒成立，此时一2avl；

当时，不等式化为x-l+x+2=2x+lW5,解得x42,ittH'f1<x<2.

综上所述，不等式的解集为卜3,2］；

(2)/(x)=|x-l|+|x+2|-l>|x-l-x-2|-l=2.当时取

：.M=2,即。+匕=2.

9

2

当且仅当2h=?4a，即a=23,b4时取等号.

ab33

14▲,9

，一+工的最小值为;；.

ab2

试卷第16页，共16页

2023届高三下学期第一次模拟考试文科

数学试卷

学校：一姓名：—班级：

一、单选题

1.设集合A={x|0<x〈4,xeN},8={x|2”6},则AB=()

A.{1,2}B.[1,2]C.{1,2,3}D.[1,3]

2.已知i为虚数单位，则复数2=1+(1-。(2-。的模为()

A.2B.y/5C.y/6D.20

3.在等差数列{%}中，若4w+aK>22=-2,则该数列的前2022项和为()

A.-2023B.-2022C.-2()21D.-2020

4.某工厂生产的4B,。三种不同型号的产品数量之比为2：3：5,为研究这三种产

品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的4B,C三种产品中抽出100件进行测

试，则应该抽取的/型号产品的件数为()

A.20B.30C.50D.80

5.设4=2°」,6=10820.1,。=8$0.1,则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

6.已知函数〃x)=xlnx-3x,则曲线y=/(x)在点(ej(e))处的切线方程为()

A.x+y+e=0B.y-x+e=0C.x-y+e=0D.x+y—e=0

7.在区间。兀]上随机取一个数x,则事件“cosx>1”的概率为()

2

A.-B.-C.-D.；

3452

8.已知函数.f(x)=sin(2x+合.给出下列结论：

①/(*)的最小正周期为万；

②x=T是y=/(x)图象的一条对称轴；

③把函数〉=而112万的图象上所有点向左平移？个单位长度，可得到函数y=/(x)的图

象.

试卷第17页，共16页

其中所有正确结论的序号是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

9.如图，在正方体48C3-AaGR中，异面直线RC与80所成的角为（）

A.30B.45C.60D.90

10.在xOy平面内，双曲线1-3=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳，6,

过左顶点/且斜率为半的直线与渐近线在第一象限的交点为M,若2|加。|=|66|,则

该双曲线的离心率是（）

A.72B.应C.巫D.-

V333

11.如图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为

1的圆，那么这个几何体的表面积为

△△

正桎图左视图

A.nB.34C.24D.n+>/3

12.抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F,A是C上一点，若A到F的距离是A到V轴

距离的两倍，且三角形。A尸的面积为1（O为坐标原点），则〃的值为

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

13.已知向量。=(2,2),6=(—8,6),贝ijcosv〃,5>=.

试卷第18页，共16页

x+3>0,

14.设/y满足约束条件Jy-4<0,则z=2x+y的最小值为.

x-y-2<0,

15.请写出一个同时满足条件①②③的函数/（x）=.

①VxeR,X）=/（X）；②函数/（X）的最小值为1;③函数“X）不是二次函数.

16.设等差数列｛为｝的前〃项和为S,,,若q>0,54=以，则当5“取得最大值时，〃的

值为.

三、解答题

17.在.A8C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosA=2b—a.

⑴求a

⑵若c=4,ab=｛6,求一ABC的周长.

18.红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成

绩（满分150分），绘制成频率分布直方图（如图），成绩的分组区间为

[60,70）,[70,80）,[80,90）,--,[140,150].

八频率/组距

0.0250..........................................

0.0190....................................

0.0100

0.0075

0.0050

O60708090100110120130140150成绩

⑴求频率分布直方图中。的值；

⑵由样本估计总体、估计这次考试，年级成绩优秀（分数大于或等于120分即为优秀）

人数和平均分数（用各组的中点值代替该组的平均值）.

19.如图，在直三棱柱ABC-A8c中，AC1BC,E为8片的中点，AC=1,

CC,=BC=2,

试卷第19页，共16页

(1)证明：AC1C.E；

(2)求三棱锥G-ACE的体积.

20.已知椭圆C：■+/=1(〃>6>0)的焦点为"、尸2,离心率为白，直线/：

x+y+m=O,片、尸2在直线/上的射影分别为M、N,且|MN|=20.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵设直线/与椭圆，交于4、8两点，P(-2,0),求一他尸的面积的最大值.

21.己知尸是抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点，点M在抛物线E上，眼q=2,以加下

为直径的圆C与x轴相切于点N,且

(1)求抛物线E的方程；

(2)P是直线y=-4匕的动点，过点P作抛物线E的切线，切点分别为48,证明：直

线A3过定点，并求出定点坐标.

11

X=1H—t

2

22.已知直线/的参数方程为/-（其中e为参数）,以原点为极点，x轴的

y=6+乌

2

非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程为0=4sin0.

(1)求曲线C的直角坐标方程及直线/的极坐标方程；

⑵若M(1,6),直线/与曲线。的两个交点分别为4B,求樵^+^^的值•

23.已知函数/(x)=|2x|+|x+3|.

(1)求函数y=/(x)的最小值此

(2)若〃>0,匕>0且a+A=M,求?+丧的最小值.

试卷第20页，共16页

参考答案：

1.A

【分析】解指数不等式化简集合8再利用交集的定义求解作答.

【详解】解不等式2*46得：A：<log26,则8=口以410826},而2<log,6<3,又

A={123,4},

所以AiB={1,2}.

故选：A

2.B

【分析】首先根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模即可；

【详解】解：z=i+(l-i)(2-i)=i+2-i-2i+i2=l-2i,

所以回=32+(_2)2=石；

故选：B

3.B

【分析】利用等差数列的求和公式与等差数列的基本性质可求得数列{%}的前2022项

和.

【详解】由题意可知，等差数列{4}的前2022项和为

)

<•1_2022(a,+t/2022_2022(a]001+^022)_onoo

)2022=2=2=-ZU”•

故选：B.

4.A

【分析】根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可.

【详解】某工厂生产的4B,。三种不同型号产品的数量之比为2:3:5,贝IJ/被抽的抽

21I

样比为苫==3,所以抽出100件产品中/型号产品的件数为100x==20,

2+3+555

故选：A

5.D

【分析】分别根据指数函数，对数函数和余弦函数的单调性求出取值范围即可判断.

【详解】由指数函数的单调性可知：«=20|>2°=1;

由对数函数的单调性可知：b=log,O.Klog2l=0；

由余弦函数的单调性可知：O=cos四<c=cos0.1<cos0=l,

2

故选：D.

试卷第21页，共15页

6.A

【分析】求出函数/(x)的导函数f(x),再求出f'(e),然后利用导数的几何意义求解作

答.

【详解】函数"x)=xlnx-3x,求导得：r(x)=(lnx+l)-3=lnx-2,则/'(e)=-l,

而/(e)=-2e,

于是得：y+2e=-lx(x-e),即x+y+e=O,

所以曲线y=f(x)在点(ej(e))处的切线方程为x+y+e=O.

故选：A

7.A

【分析】根据余弦函数的性质解不等式，再结合几何概型求解即可.

【详解】解：因为X£[O,兀],cosx>；,所以OWx<g,

二一0

故所求概率3__1.

r=------=一

n3

故选：A.

8.A

【分析】利用三角函数的周期性、对称性、平移变换即可得出答案.

【详解】对于①，/(X)的最小正周期为7=合27r="，故①正确；

对于②,/图=sin(2.]+g卜-si吟=4,所以②不正确；

对于③，把函数V=sin2x的图象上所有点向左平移1个单位长度得到

y=sin2(x+q)=sin(2x+号)，所以③不正确.

故选：A.

9.C

【分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.

【详解】连接BQ与8。，因为BD〃