2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第14章分层抽样

14.2.2分层抽样

L通过实例,J'解分U抽样的特点和适川冠国.广解分屋抽样的必要性.

二、：2.掌握各层样本容Q比例分配的方法.

本不准

3.在简单的实际情境H।,能根据实际问题的特点.设计恰当的抽样方法解决问题.

》基础认知-自主学习Q—

【概念认知】

1.分层抽样

(1)分层抽样的定义

一般地,当总体由差异明显的几个部分组成时，将总体中的个体按不

同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所

占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样.

(2)分层抽样的步骤

①将总体按一定标准分层；

②计算各层的个体数与总体的个数的比；

③按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；

④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).

2.两种抽样方法的特点及适用范围

⑴随机样本

为了使样本相对总体具有很好的代表性,就必须使得总体中的每个个

体被抽到的概率相等，如果一个样本是按照这种规则抽取的，那么称

这个样本为随机样本.

(2)两种抽样方法的特点及适用范围

类

特点相互联系适用范围共同点

别

简

单

总体中的

随从总体中逐个抽

____个体数相

机取

对较少

抽抽样过程中每

样个个体被抽到

的可能性相同

分总体由差

将总体分成几各层抽样时，

层异明显的

层，按各层的个可以采用简单

抽几部分组

体数之比抽取随机抽样

样成

【自我小测】

1,下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()

A.从10名同学中抽取3人参加座谈会

B.一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90-110

分,12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况

C.从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

选B.A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C

和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适于用分层抽样；B中总

体个体差异明显，适合用分层抽样.

2.经调查，在某商场扫码支付的老年人，中年人，青年人的比例为

2：3：5,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调杳，

其中中年人数为9,则n=（）

A.30B.40C.60D.80

选A.因为老年人，中年人，青年人的比例为2：3：5,又中年人为9

人，所以老年人为6人，青年人为15人，所以n=6+9+15=30.

3.（教材练习改编）某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500

人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数

多300人，现在按壶的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽

取高一学生数为（）

A.8B.11C.162D.10

选A.若设高三学生数为x,则高一学生数为自，高二学生数为力+

300,所以有x+1+/+300=3500,解得x=1600.故高一学生数

为800,因此应抽取高一学生数为黑=8.

4.在距离2016年央视春晚直播不到20天的时候，某节目被取消，

为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如

下数据：

网民态度支持反对无所谓

人数（单位：人）8000600010000

若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈，则持“支持”态度的

网民抽取的人数为.

由分层抽样的方法，得持“支持”态度的网民抽取的人数为

8000

48x=48x-=16.

8000+6000+10000

答案：16

5.某县共有320个自然村，其中山区32个，丘陵地区240个,平原

地区48个.为调查村民收入状况，要从中抽出20个村进行调查，试

设计一种比较合理的抽样方案，并简述抽样过程.

由于各地区自然条件的限制，各地区村民的经济收入有较大差异，故

采用分层抽样法较为合理.

因为券,所以按£的比例抽取,应在山区抽取32x2=

J乙U1V/JLUJLU

2（个），丘陵地区抽取240x^=15（个），平原地区抽取48x^=3（个）.

具体实施过程：对于山区和平原地区，由于自然村数量较少，可采用

抽签法，具体实施过程略.对于丘陵地区，自然村个数较多且差异不

大,可采取随机数表法.首先将240个村按001,002,,240编号,

然后用随机数表法抽取15个.这样便得到了一个容量为20的样本.

修学情诊断,课时测评《

【基础全面练】

一、单选题

1.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生

的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调

杳，则最合理的抽样方法是（）

A.抽签法B.简单随机抽样

C.分层抽样D.随机数表法

选C.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽

样.

2.下列试验中最适合用分层抽样方法抽样的是（）

A.从一箱3000个零件中抽取5个入样

B.从一箱3000个零件中抽取600个入样

C.从一箱30个零件中抽取5个入样

D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入

样

选D.D中总体有明显差异，故用分层抽样.

3.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题，“今有北乡8758

人,西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三个乡共

征集487人，问从各乡征集多少人.”在上述问题中，需从南乡征集

的人数大约是（）

A.112B.128C.145D.167

487

选D.从南乡征集的人数大约是8356x句67（人）.

4.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生,

为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容

量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（）

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，40人D.30人，50人，10人

选B.先求抽样比节=，然后各层按抽样

3600+5400+1800-120

比分别抽取,

甲校抽取3600x函=30（人），

乙校抽取5400x卷=45（人），

丙校抽取1800X击=15（人）.

5.某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职

称的职工45人，普通职员90人，现采用分层抽样的方法抽取容量为

30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为

（）

A.5,10,15B.3,9,18

C.3,10,17D.5,9,16

选B.分层抽样是按比例抽取的，

设抽取的高级职称的职工、中级职称的职工、普通职员的人数分别为

a,b,c,贝=瑞，解得a=3,b=9,c=18.

6.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知

晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区

驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、

丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社

区驾驶员的总人数N为（）

A.101B.808

C.1212D.2012

选B.因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数

为12人,

121

所以四个社区抽取驾驶员的比例为前=1,

所以驾驶员的总人数为(12+21+25+43)4=808(A).

O

二、多选题

7.某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2400人、中部地区

学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人为样本

调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有()

①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32

人、西部地区学生20人；

②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；

③西部地区学生小刘被选中的概率为吉；

④中部地区学生小张被选中的概率为高•

A.①B.②C.③D.④

选AC.A.由分层抽样的概念可知，取东部地区学生

2400

100x=48人、中部地区学生

2400+1600+1000

1600

100x=32人、西部地区学生

2400+1600+1000

1000

100x=20人，题中的说法正确；

2400+1600+1000

B.新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中

的说法错误；C西部地区学生小刘被选中的概率为

_______wo___________1_

，题中的说法正确；

2400+1600+1000—50

D.中部地区学生小张被选中的概率为24。。+黑。+1。。。$,题

中的说法错误；

综上可得，正确的说法是AC.

8.为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，下列说法不正

确的是()

A.每层的个体数必须一样多

B.每层抽取的个体数相等

C.每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni=n^(i=l,

2,,k)个个体，其中k是层数，n是抽取的样本容量，N是第i层

所包含的个体数，N是总体容量

D.只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制

选ABD.每层的个体数不一定都一样多，所以选项A不正确；

又因为由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体，从整个总

体来看，各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了，所以选项

B不正确；

对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每

个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，所以选项C正确；

每层抽取的个体数是有限制的，所以选项D不正确.

三、填空题

9.我校高一、高二、高三共有学生2400名，为了了解同学们对“智

慧课堂”的意见,计划采用分层随机抽样的方法,从这2400名学生

中抽取一个容量为48的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰

好是从小到大排列的连续偶数，则我校高二年级的学生人数为

设从高一年级抽取的学生人数为2x,则从高二、高三年级抽取的人

数分别为2x+2,2x+4.由题意可得2x+(2x+2)+(2x+4)=48,所以

x=7.故高二年级抽取16人，设我校高二年级的学生人数为N,再根

据马亲=，求得N=800.

答案:800

10.某高中各年级男、女生人数统计如表：

高一局।—(W)—

男生592563520

女生528517a

按年级分层随机抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人,

则表中a=

80

由题意可得

592+563+520+528+517+a

27

,求得a=480.

563+517

答案:480

四、解答题

11.某校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，血型为A

型的有125人，血型为B型的有125人，血型为AB型的有50人.为

了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，每种

血型各有多少人？

因为40-500=22,所以应用分层抽样抽取血型为O型的22X200=

16(A)A型的奈xl25=10(A)B型嵯xl25=10(A),AB型的套

x50=4(人).

12.为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A,

B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单

位:人).

高校相关人数抽取人数

AX1

B36y

C543

⑴求X,y；

⑵若从高校B相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样方法,

请写出合理的抽样过程.

(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有意

=|=>x=18,|^=y=2.故x=18,y=2.

⑵总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：

第一步，将36人随机编号,号码为1,2,3,,36；

第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；

第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地

抽取2个号码，并记录上面的编号；

第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本.

【综合突破练】

一、选择题

1.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8~10岁，11~12

岁，13~14岁，15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，

180份，240份，x份.因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层

抽取容量为300的样本，其中在11~12岁学生问卷中抽取60份，则

在15~16岁学生中抽取的问卷份数为()

A.60B.80C.120D.180

选C.从11-12岁的学生中回收180份问卷，从中抽取60份，则抽样

比为；,

因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，

所以从8~1。岁,11~12岁,13~14岁，15~16岁四个年龄段回收

的问卷总数为芋=900（份），则15〜16岁回收问卷份数为x=900

3

-120-180-240=360（份）.

所以在15~16岁学生中抽取的问卷份数为360x|=120（份）.

2.当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的

问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、

180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中

90户低收入家庭的住房问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数,

则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为（）

A.40B.30C.20D.36

901

选A.抽样比为360+U+]8O=i，则应从甲社区中抽取低收入家

庭的户数为360x3=40.

3.（多选）某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如表，用分层

抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查，若抽到3位老年人,

则下列说法正确的为（）

类别人数

老年人15

中年人?

青年人40

A.抽至I」8位青年人B.抽到6位中年人

C.中年人有6人D.中年人有30人

3

选ABD.设该单位的中年人的人数为x,则由题表可知，启=

17

15+X+40

17

解得x=3。.因此在抽取的17人中,中年人的人数为3。'石5

=6.

由抽样比可知抽到的青年人为8人.

二、填空题

4.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,

400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上

所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取

________件.

应从丙种型号的产品中抽取60x襦=18件.

答案：18

5.一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法

从两个班中抽出一部分人参加4x4方队进行军训表演，则一班和二班

分别被抽取的人数是________.

设一班被抽取的人数是x,

贝“专二/J，解得x=9,

“42+54

所以一班被抽取的人数是9,二班被抽取的人数是16-9=7.

答案：9,7

6某公司生产三种型号的轿车产量分别为1200辆£000辆和2000

辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆轿车

进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为.

设三种型号的轿车依次应抽取x辆，y辆，z辆，则有

(_x_____y_____z_x=6,

==

<T20060002000^解得八=30,