高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题26解三角形中的最值、范围、多元及多边形问题(原卷版+解析)

2023高考一轮复习讲与练专题26解三角形中的最值、范围、多元及多边形问题正（余）弦定理的应用正（余）弦定理的应用求最值求范围多元问题两元积两元商两元和多边形问题多三角形问题多边形问题多三角形问题练高考明方向1.(2023·新高考Ⅰ卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．2.(2023·全国甲（理）T16）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．(2023·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.4．（2023·北京高考真题）已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为.5.(2023·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.6.(2023·北京高考·T17)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面积.条件①:c=7,cosA=-17;条件②:cosA=18,cosB=注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.7．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周长的最大值．8．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．9.(2023·浙江高考·T18)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsinA=3a.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范围.10．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．11．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)在平面四边形中，，，,．(1)求;(2)若,求．12．(2023高考数学新课标2理科)中内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积的最大值．13．(2023高考数学新课标1理科)如图，在中，，，P为内一点，(1)若，求；(2)若，求．14.(2023·浙江高考·T18)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsinA=3a.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范围.15．(2023江苏)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为．16.(2023·北京高考文科)若△ABC的面积为QUOTE3434(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;QUOTE𝑐𝑎ca的取值范围是.

17．(2023湖南）设的内角的对边分别为，，且为钝角．（1）证明：；（2）求的取值范围．18．(2023高考数学新课标1理科)在平面四边形中，，B，则的取值范围是.

19．(2023重庆)已知的内角，，满足=，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．20．(2023高考数学课标1理科)已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．21.(2023·山东高考理科·T16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=.(1)证明:a+b=2c.(2)求cosC的最小值.22．(2023高考数学新课标2理科)中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，，求和的长．讲典例备高考类型一、四边形中解三角形问题基本题型：1．（四边形中的求角问题）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)2．（四边形中的求面积问题）为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为（）A．B．C．D．3．（四边形中的求边问题）如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，则BC的长为（）A． B．2 C．3 D．4．（四边形中的求角问题）凸四边形中，已知，，，，，则__________.5.（四边形中的综合性问题）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝eq\f(π,2)，点E是AD上一点，DE＝2AE＝4，2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB.(1)求∠BEC的大小；(2)若△BCE的面积S为8eq\r(3)，求BC.类型二、多边形中解三角形问题基本题型：1．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）A． B． C． D．2.黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值．我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割．女生穿高跟鞋、空调温度的设置、埃菲尔铁塔的设计、很多国家国旗上的五角星都和黄金分割息息相关，也正是因为这个比值才让人类的设计产生了一种自然和谐美．已知连接正五边形的所有对角线能够形成国旗上的五角星，如图点D是线段AB的黄金分割点，由此推断cos144°＝()A.eq\f(1－\r(5),2) B．－eq\f(\r(5)＋1,4)C.eq\f(1－\r(5),4) D.eq\f(－1－\r(5),8)3、某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得，（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米.4．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值.类型三、最值问题基本题型：1．（三角函数值的最值问题）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为（）A． B．C． D．2．在中，内角，，对应的边分别为，，，且，，边上的高为，则的最大值为________.3、（三角形面积的最值）已知在△ABC中，三边a，b，c分别对应三个内角A，B，C，且eq\f(a,c＋b－a)＝eq\f(c－b＋a,b).(1)求角C的大小；(2)当△ABC外接圆半径R＝1时，求△ABC面积的最大值．（三角形周长的最值）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A≠eq\f(π,2)，且3acosB＋3bcosA＝ac．(1)求a的值；(2)若A＝eq\f(2π,3)，求△ABC周长的最大值．类型四、范围问题基本题型1．（三角函数值的范围）在中，角、、所对的边分别是、、.已知，，且满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．（参数的范围）在中，,是的平分线，且,则的取值范围是()A． B． C． D．3．（三角形面积的范围）在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若△为锐角三角形，且，求△面积的取值范围．基本方法：(1)解决三角形中的某个量的最值问题，除了利用基本不等式外，再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解．(2)利用三角函数求解最值问题的关键是求三角函数中角的范围，此时要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形，三角形内角和为π等．类型五、多元问题基本题型：1．（两元和的求值问题）在锐角三角形中，，，分别为角、、所对的边，且，，且的面积为，的值为（）A．4 B．6 C．5 D．32．（两元商的求值问题）的三个内角，，所对边的长分别为，，，，则等于（）A．2 B．3 C．4 D．63．（两元积的求值问题）若的内角、、所对应的边、、满足,且,则的值为()A． B． C． D．4．（三元商的求值问题）在中，分别是角的对边,若,且，则的值为()A．2 B． C． D．45．（两元和的最值问题）已知的三个内角，，的对边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.6．（两元和的范围问题）设锐角三角形的内角，，的对边分别为（1）求B的大小；（2）求的取值范围.（三元和的范围问题）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin2C－sin2B＝sin2A－eq\r(3)sinAsinB.(1)求角C的大小；(2)求sinA＋cosB＋tanC的取值范围．基本方法：(1)解决三角形中的某个量的范围问题，除了利用基本不等式外，再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解．(2)利用三角函数求解范围问题的关键是求三角函数中角的范围，此时要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形，三角形内角和为π等．类型六、多三角形问题基本题型：1．如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（）A． B． C． D．2．在中，已知的平分线,则的面积（）A． B． C． D．3、如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______，点为边上一点，且，则的面积为______.4．已知中，，是的中点，且，则______.5.在中，已知点在边上，，，，．（1）求的值；（2）求的长．基本方法：多三角形背景解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．类型七、结构不良问题基本题型：1、（四边形中的结构不良问题）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，，，______，，求.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＋b＝1且满足条件________．(1)求C；(2)求c的取值范围．请从下列两个条件：①S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)；②eq\r(3)tanAtanB－tanA－tanB＝eq\r(3)中选一个条件补充到横线上并解决问题．3、在①a=2,②S=C2cosB，③C=π问题:在∆ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S，3bcosA=acosC+ccosA，b=1,____________，求c的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。新预测破高考1．若的内角、、所对应的边、、满足,且,则的值为()A． B． C． D．2.某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形ABCD，AB＝2eq\r(3)，BC＝4(单位：百米)，CD＝AD，∠ADC＝60°，且拟在A，C两点间修建一条笔直的小路(路的宽度忽略不计)，则当草坪ABCD的面积最大时，AC＝()A．2eq\r(7)百米 B．2eq\r(10)百米C．2eq\r(13)百米 D．2eq\r(19)百米3.在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A,2AD＝3BD，则cosA等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．04、（多选题），，分别为内角，，的对边.已知，且，则（）A． B．C．的周长为 D．的面积为5.△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A＝eq\f(2π,3)，AC＝2eq\r(3)，CD＝3eq\r(2)，则BC＝()A．3eq\r(3) B．4C．4eq\r(2) D．66．的三个内角，，所对边的长分别为，，，，则等于（）A．2 B．3 C．4 D．67、（多选题）在中，角，，所对的边分别为，，．若，角的角平分线交于点，，，以下结论正确的是A． B． C． D．的面积为8．是边长为2的正三角形，D．E．F分别为AB，AC，BC上三点，且，，则当线段AD的长最小时，（）A． B． C． D．9．在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（）A．或 B． C． D．或10、在中，，为的平分线，，则___________．11．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长______．12．在中，，的角平分线交于点，若，，则______.13．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．14．已知中，内角所对边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.15、在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，请从以下三个条件任选一个作答．①eq\f(a,cosA)，eq\f(b,cosA)，eq\f(c,cosC)成等差数列；②2a－b＝2ccosB；③ccos(B－A)＋ccosC＝2eq\r(3)bsinAcosC.(1)求角C的大小；(2)若c＝2eq\r(3)，△ABC的面积为eq\r(3)，求a＋b和sinA＋sinB的值．16．在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①a2＋c2－b2＝eq\f(4\r(3),3)S△ABC；②a＋acosB＝eq\r(3)bsinA；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2c－a))cosB＝bcosA这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：(1)求∠B的大小；(2)若b＝2，求△ABC面积的取值范围．18．在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.2023高考一轮复习讲与练专题26解三角形中的最值、范围、多元及多边形问题正（余）弦定理的应用正（余）弦定理的应用求最值求范围多元问题两元积两元商两元和多形问题多三角形问题多形问题多三角形问题练高考明方向1.(2023·新高考Ⅰ卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．答案：（1）；（2）．分析：（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为，即，而，所以；【小问2详解】由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．2.(2023·全国甲（理）T16）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．答案：##分析：设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.(2023·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.解：(1)证明：由BD·sin∠ABC＝asinC及正弦定理，得BD＝eq\f(asinC,sin∠ABC)＝eq\f(ac,b)＝eq\f(b2,b)＝b.(2)由cos∠BDA＋cos∠BDC＝0及余弦定理，得eq\f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)b))2－c2,2·b·\f(2,3)b)＋eq\f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b))2－a2,2·b·\f(1,3)b)＝0.整理得eq\f(11,3)b2－2a2－c2＝0，即eq\f(11,3)ac－2a2－c2＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2－eq\f(11,3)·eq\f(c,a)＋2＝0，解得eq\f(c,a)＝3或eq\f(c,a)＝eq\f(2,3).所以cos∠ABC＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2－\f(c,a),2·\f(c,a)).当eq\f(c,a)＝3时，cos∠ABC＝eq\f(1＋9－3,2×3)＝eq\f(7,6)(不合题意，舍去)；当eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)时，cos∠ABC＝eq\f(1＋\f(4,9)－\f(2,3),2×\f(2,3))＝eq\f(7,12).所以cos∠ABC＝eq\f(7,12).4．（2023·北京高考真题）已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为.答案：（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．分析：（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1），则由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理及（1）得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.5.(2023·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【命题意图】本题考查正弦定理与余弦定理的应用,考查分析问题和解决问题的能力,体现了数学运算和逻辑推理的核心素养.【解析】方案一:选条件①.由C=π6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由①因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=π6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c,B=C=π6,A=2π3因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=23.方案三:选条件③.由C=π6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b因此,选条件③时问题中的三角形不存在.6.(2023·北京高考·T17)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面积.条件①:c=7,cosA=-17;条件②:cosA=18,cosB=注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.【命题意图】考查正弦定理、余弦定理,三角恒等变换等.【解析】方案一:选①.(1)由已知及余弦定理,cosA=b2+c2-a22bc,即-1(2)由(1)知,b=3,又sin2A+cos2A=1,0<A<π,所以sinA=437,由正弦定理得asinA=csin所以sinC=32,S△ABC=12absinC=6方案二:选②.(1)因为cosA=18,所以A∈0,π2,所以sinA=378,因为cosB=9所以sinB=5716,由正弦定理:asinA=bsinB,又由asinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=74,因为a+b=11,所以b=5,所以S△ABC=12absinC=7．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周长的最大值．答案：（1）；（2）．解析：（1）由正弦定理可得：，，，（2）由余弦定理得：，即．（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为．【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．8．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．答案：【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得．9.(2023·浙江高考·T18)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsinA=3a.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范围.【命题意图】本题主要考查正弦定理,和角公式等基础知识,同时考查运算求解能力.体现了数学运算的核心素养.【解析】(Ⅰ)由正弦定理,得2sinAsinB=3sinA⇒sinB=32⇒B=π(Ⅱ)cosA+cosB+cosC=cosA+12+cos2π3-A=sinA+π6+1则A∈π6,π2⇒A+π6∈π3,2π310．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．答案：(1);(2)．【解析】(1)由题设及正弦定理得，因为，所以．由，可得，故．因为，故，因此．(2)由题设及(1)知的面积．由正弦定理得．由于为锐角三角形，故，．由(1)知，所以，故，从而．因此面积的取值范围是．【点评】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题．11．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)在平面四边形中，，，,．(1)求;(2)若,求．解析：（1）在中，由正弦定理得．由题设知，，所以．由题设知，，所以．（2）由题设及（1）知，．在中，由余弦定理得．所以．12．(2023高考数学新课标2理科)中内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积的最大值．答案：（1）；（2）解析：（1）由已知及正弦定理得eq\o\ac(○,1)又eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)可得又（2）的面积．由已知及余弦定理得又，故，当且仅当时，等号成立．因此的面积的最大值为13．(2023高考数学新课标1理科)如图，在中，，，P为内一点，(1)若，求；(2)若，求．答案：（1）（2）解析：（Ⅰ）由已知得，，∴，在中，由余弦定理得==，∴PA=；（Ⅱ）设，由已知得,，在中，由正弦定理得，，化简得，，∴=，∴=．14.(2023·浙江高考·T18)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsinA=3a.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范围.【命题意图】本题主要考查正弦定理,和角公式等基础知识,同时考查运算求解能力.体现了数学运算的核心素养.【解析】(Ⅰ)由正弦定理,得2sinAsinB=3sinA⇒sinB=32⇒B=π(Ⅱ)cosA+cosB+cosC=cosA+12+cos2π3-A=sinA+π6+12,由于C=2π3则A∈π6,π2⇒A+π6∈π3,2π3,则cosA+cosB15．(2023江苏)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为．答案：9【解析】因为，的平分线交于点，所以，由三角形的面积公式可得，化简得，又，，所以，则，当且仅当时取等号，故的最小值为9．16.(2023·北京高考文科)若△ABC的面积为QUOTE3434(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;QUOTE𝑐𝑎ca的取值范围是.

答案:QUOTEπ3π3(2,+∞)【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,求取值范围,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】由余弦定理,a2+c2-b2=2accosB,△ABC的面积S=QUOTE3434(a2+c2-b2)=QUOTE3434·2accosB,又S=QUOTE1212acsinB,所以QUOTE3232cosB=QUOTE1212sinB,因为角C为钝角,所以cosB≠0,所以tanB=QUOTEsin𝐵cos𝐵sinBcosB=QUOTE33,又0<B<π,所以B=QUOTEπ3π3.由正弦定理,QUOTE𝑐𝑎ca=QUOTEsin𝐶sin𝐴sinCsinA,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=QUOTE1212sinA+QUOTE3232cosA,所以QUOTE𝑐𝑎ca=QUOTE1212+QUOTE32cos𝐴sin𝐴32cosAsinA=QUOTE1212+QUOTE32tan𝐴32tanA因为B=QUOTEπ3π3,A+B+C=π,所以A+C=QUOTE2π32π3,A=QUOTE2π32π3-C,又0<A<π,C是钝角,即QUOTEπ2π2<C<π,所以0<A<QUOTEπ6π6,0<tanA<QUOTE3333,QUOTE32tan𝐴32tanA>QUOTE3232,QUOTE𝑐𝑎ca=QUOTE1212+QUOTE32tan𝐴32tanA>2,即QUOTE𝑐𝑎ca的取值范围是(2,+∞).17．(2023湖南）设的内角的对边分别为，，且为钝角．（1）证明：；（2）求的取值范围．【解析】（1）由及正弦定理，得，所以，即．又为钝角，因此+(，)，故=+，即=；（2）由（1）知，=(+)=(2+)=2>0，所以，于是===，因为0<<，所以0<<，因此<2．由此可知的取值范围是（，]．18．(2023高考数学新课标1理科)在平面四边形中，，B，则的取值范围是．答案：（，）解析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）．19．(2023重庆)已知的内角，，满足=，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．答案：A【解析】因为，由，得，即，整理得，又，因此，由得，即，因此选项C、D不一定成立．又，因此，即，选项A一定成立．又，因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A．20．(2023高考数学课标1理科)已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．答案：解析:由且,即,由及正弦定理得:∴,故,∴,∴,∴,21.(2023·山东高考理科·T16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=.(1)证明:a+b=2c.(2)求cosC的最小值.【解题指南】利用三角恒等变换与正、余弦定理求解.【解析】(1)由题意得,2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB,又A+B+C=π,所以,sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知,c=,由余弦定理得,cosC=.所以cosC的最小值为.22．(2023高考数学新课标2理科)中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，，求和的长．解析：（Ⅰ），，因为，，所以．由正弦定理可得．（Ⅱ）因为，所以．在和中，由余弦定理得，．．由（Ⅰ）知，所以．讲典例备高考类型一、四边形中解三角形问题基本题型：1．（四边形中的求角问题）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)答案：B【解析】由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(eq\r(2)a)2＋(eq\r(5)a)2－2×eq\r(2)a×eq\r(5)a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝eq\f(3\r(10),10).2．（四边形中的求面积问题）为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为（）A．B．C．D．答案：D【解析】如图，连结AC，，则是直角三角形；，是等腰三角形，，，。3．（四边形中的求边问题）如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，则BC的长为（）A． B．2 C．3 D．答案：C【解析】在中，由余弦定理得，设在中，由正弦定理，，故。4．（四边形中的求角问题）凸四边形中，已知，，，，，则__________.答案：【解析】如图，设，在△中，因为，所以，由余弦定理得，所以.在△中，，所以，在△中，.由正弦定理得.5.（四边形中的综合性问题）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝eq\f(π,2)，点E是AD上一点，DE＝2AE＝4，2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB.(1)求∠BEC的大小；(2)若△BCE的面积S为8eq\r(3)，求BC.【解析】(1)因为2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB＝BE·eq\f(BE2＋BC2－CE2,2BE·BC)＋CE·eq\f(CE2＋BC2－BE2,2CE·BC)＝BC，所以cos∠BEC＝eq\f(1,2).因为∠BEC为三角形的内角，故∠BEC＝eq\f(π,3).(2)设∠AEB＝α，则∠DEC＝eq\f(2π,3)－α，其中0＜α＜eq\f(2π,3).因为DE＝2AE＝4，所以BE＝eq\f(AE,cosα)＝eq\f(2,cosα)，CE＝eq\f(DE,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)))＝eq\f(4,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))).△BCE的面积S＝eq\f(1,2)BE·CE·sineq\f(π,3)＝eq\f(2\r(3),cosαcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)))＝eq\f(2\r(3),－\f(cos2α,2)＋\f(\r(3),2)cosαsinα)＝eq\f(8\r(3),－2cos2α＋2\r(3)cosαsinα)＝eq\f(8\r(3),\r(3)sin2α－cos2α－1)＝eq\f(8\r(3),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))－1)，由已知得eq\f(8\r(3),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))－1)＝8eq\r(3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝1，由0<α<eq\f(2,3)π，得－eq\f(π,6)<2α－eq\f(π,6)<eq\f(7,6)π，故2α－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以α＝eq\f(π,3)，此时BE＝eq\f(2,cosα)＝4，CE＝eq\f(4,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)))＝8，所以在△BCE中，由余弦定理得BC2＝BE2＋CE2－2BE×CEcos∠BEC＝48，所以BC＝4eq\r(3).类型二、多边形中解三角形问题基本题型：1．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）A． B． C． D．答案：D【解析】在，由正弦定理可知，，又.2.黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值．我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割．女生穿高跟鞋、空调温度的设置、埃菲尔铁塔的设计、很多国家国旗上的五角星都和黄金分割息息相关，也正是因为这个比值才让人类的设计产生了一种自然和谐美．已知连接正五边形的所有对角线能够形成国旗上的五角星，如图点D是线段AB的黄金分割点，由此推断cos144°＝()A.eq\f(1－\r(5),2) B．－eq\f(\r(5)＋1,4)C.eq\f(1－\r(5),4) D.eq\f(－1－\r(5),8)答案：B【解析】依题意在正五边形中，每一个内角为108°，所以∠ACD＝∠DCB＝∠CBD＝36°，所以∠CAD＝∠CDA＝∠ACB＝72°，所以BC＝AB，CD＝BD＝AC.因为D为AB的黄金分割点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BD>AD))，所以eq\f(BD,AB)＝eq\f(AD,BD)，即eq\f(BD,AD＋BD)＝eq\f(AD,BD)，解得eq\f(AD,BD)＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以eq\f(AD,CD)＝eq\f(\r(5)－1,2)，故不妨设CD＝2，AD＝eq\r(5)－1，则在△CDA中，cos36°＝eq\f(22＋22－\r(5)－12,2×2×2)＝eq\f(\r(5)＋1,4)，从而cos144°＝cos(180°－36°)＝－cos36°＝－eq\f(\r(5)＋1,4).3、某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得，（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米.答案：【解析】在中，，，，，则，在中，，，，则，由正弦定理得，可得，在中，，，，由余弦定理得，因此，（千米）.4．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值.答案：.【解析】因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°﹣θ，∴∠OCP＝120°．在△POC中，由正弦定理得，∴，所以CPsinθ．又，∴OCsin（60°﹣θ）．因此△POC的面积为S（θ）CP•OCsin120°•sinθ•sin（60°﹣θ）sinθsin（60°﹣θ）sinθ（cosθsinθ）（sinθcosθsin2θ）（sin2θcos2θ）[cos（2θ﹣60°）]，θ∈（0°，60°）．所以当θ＝30°时，S（θ）取得最大值为．类型三、最值问题基本题型：1．（三角函数值的最值问题）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为（）A． B．C． D．答案：D【解析】由题意，因为，所以，又由，得，则所以，令，则，所以函数在单调递减，在单调递增，又，，所以的最小值为。2．在中，内角，，对应的边分别为，，，且，，边上的高为，则的最大值为________.答案：【解析】因为，所以由正弦定理得，所以，所以.因为，所以当时，取得最大值为.3、（三角形面积的最值）已知在△ABC中，三边a，b，c分别对应三个内角A，B，C，且eq\f(a,c＋b－a)＝eq\f(c－b＋a,b).(1)求角C的大小；(2)当△ABC外接圆半径R＝1时，求△ABC面积的最大值．【解析】(1)∵eq\f(a,c＋b－a)＝eq\f(c－b＋a,b)，∴c2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a))2＝ab，即b2＋a2－c2＝ab，由余弦定理可得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又角C为△ABC的内角，因此C＝eq\f(π,3).(2)∵△ABC外接圆半径R＝1，∴由正弦定理可得：2R＝eq\f(c,sinC)，则c＝2RsinC＝eq\r(3)，∴b2＋a2－3＝ab，则ab＋3＝a2＋b2≥2ab，∴ab≤3，当且仅当a＝b＝eq\r(3)时等号成立，∴△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab≤eq\f(3\r(3),4).即△ABC的面积的最大值是eq\f(3\r(3),4)．（三角形周长的最值）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A≠eq\f(π,2)，且3acosB＋3bcosA＝ac．(1)求a的值；(2)若A＝eq\f(2π,3)，求△ABC周长的最大值．【解析】(1)则由正弦定理得：3sinAcosB＋3sinBcosA＝asinC⇒3sin(A＋B)＝asinC⇒3sinC＝asinC，因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，因此a＝3.（2）若A＝eq\f(2π,3)，则由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA⇒9＝b2＋c2＋bc⇒b2＋c2－9＝－bc⇒(b＋c)2－9＝bc，又bc≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))2，故(b＋c)2－9≤eq\f(b＋c2,4)，即b＋c≤2eq\r(3)，当且仅当b＝c＝eq\r(3)时取等号，所以a＋b＋c的最大值为3＋2eq\r(3)，即△ABC周长的最大值为3＋2eq\r(3).类型四、范围问题基本题型1．（三角函数值的范围）在中，角、、所对的边分别是、、.已知，，且满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．答案：D【解析】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，则，由余弦定理得，，则，由于双勾函数在上单调递增，则，即，所以，.因此，的取值范围为.2．（参数的范围）在中，,是的平分线，且,则的取值范围是()A． B． C． D．答案：A【解析】如图所示，∵在△ABC中，AD是∠A的平分线，AB＝2AC，∴2，∠1＝∠2．令AC＝a，DC＝b，AD＝c，则AB＝2a，BD＝2b．在△ABD与△ACD中，分别利用余弦定理可得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠1，DC2＝AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠2，∴4b2＝4a2+c2﹣4accos∠1，b2＝a2+c2﹣2ac•cos∠2，化为3c2﹣4accos∠1＝0，又a＝tc，∴cos∠1，∵∠1∈（0，），∴cos∠1∈（0，1）．∴∈（0，），即3．（三角形面积的范围）在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若△为锐角三角形，且，求△面积的取值范围．答案：（1）；（2）．【解析】（1）由题设及正弦定理得，因为，所以．由，可得，故．因为，故，由．（2）由题设及（1）知的面积．由正弦定理得．由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故，所以，从而．因此，面积的取值范围是．基本方法：(1)解决三角形中的某个量的最值问题，除了利用基本不等式外，再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解．(2)利用三角函数求解最值问题的关键是求三角函数中角的范围，此时要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形，三角形内角和为π等．类型五、多元问题基本题型：1．（两元和的求值问题）在锐角三角形中，，，分别为角、、所对的边，且，，且的面积为，的值为（）A．4 B．6 C．5 D．3答案：C【解析】由，结合正弦定理可得.在锐角三角形中，可得.所以的面积，解得.由余弦定理可得，解得.2．（两元商的求值问题）的三个内角，，所对边的长分别为，，，，则等于（）A．2 B．3 C．4 D．6答案：B【解析】因为，所以由正弦定理化得：，整理得：，即则由正弦定理得：.3．（两元积的求值问题）若的内角、、所对应的边、、满足,且,则的值为()A． B． C． D．答案：C【解析】的边，满足，又，由余弦定理得，，故选C.4．（三元商的求值问题）在中，分别是角的对边,若,且，则的值为()A．2 B． C． D．4答案：A【解析】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，则，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，故选A．5．（两元和的最值问题）已知的三个内角，，的对边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.答案：（1）；（2）.【解析】（1）因为，故，由正弦定理可得，，由余弦定理得，，又因为，故.（2）因为，，则有，，其中，故的最大值为.6．（两元和的范围问题）设锐角三角形的内角，，的对边分别为（1）求B的大小；（2）求的取值范围.答案：（1）；（2）【解析】（1）由，根据正弦定理得，所以，由△ABC为锐角的三角形得（2）由△ABC为锐角的三角形知，，所以，，，由此有，所以的取值范围为（三元和的范围问题）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin2C－sin2B＝sin2A－eq\r(3)sinAsinB.(1)求角C的大小；(2)求sinA＋cosB＋tanC的取值范围．【解析】(1)因为sin2C－sin2B＝sin2A－eq\r(3)sinAsinB，由正弦定理得c2－b2＝a2－eq\r(3)ab，所以a2＋b2－c2＝eq\r(3)ab,由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2)，因为0<C<eq\f(π,2)，所以C＝eq\f(π,6).(2)因为在锐角△ABC中，C＝eq\f(π,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2)，,0<B<\f(π,2)，,A＋B＝\f(5π,6)，))得eq\f(π,3)<B<eq\f(π,2)，sinA＋cosB＋tanC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋C))＋cosB＋eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),2)sinB＋eq\f(3,2)cosB＋eq\f(\r(3),3)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),3)，因为eq\f(2π,3)<B＋eq\f(π,3)<eq\f(5π,6)，所以eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))<eq\f(\r(3),2)，即eq\f(5\r(3),6)<sinA＋cosB＋tanC<eq\f(3,2)＋eq\f(\r(3),3)，所求取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),6)，\f(3,2)＋\f(\r(3),3))).基本方法：(1)解决三角形中的某个量的范围问题，除了利用基本不等式外，再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解．(2)利用三角函数求解范围问题的关键是求三角函数中角的范围，此时要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形，三角形内角和为π等．类型六、多三角形问题基本题型：1．如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（）A． B． C． D．答案：D【解析】设，∴，，，在中，，因为为三角形的内角，∴.在中，由正弦定理知.2．在中，已知的平分线,则的面积（）A． B． C． D．答案：D【解析】，为角平分线，即，，则，。3、如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______，点为边上一点，且，则的面积为______.答案：10【解析】因为，，，由正弦定理可得：，所以，则；，，由余弦定理可得：，解可得（舍或，所以，．4．已知中，，是的中点，且，则______.答案：【解析】如图所示，已知，是的中点，且，设，则，，，在中，，，，由正弦定理得，解得.5.如图，在中，已知点在边上，，，，．ABCD（1）求的值；（2）求的长ABCD【解析】（1）在中，，，所以．同理可得，．所以．（2）在中，由正弦定理得，．又，所以．在中，由余弦定理得，．基本方法：多三角形背景解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．类型七、结构不良问题基本题型：1、（四边形中的结构不良问题）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，，，______，，求.【解析】选择①：所以；由余弦定理可得，所以。选择②：设，则，，在中，即，所以，在中，，即，所以.所以，解得，又，所以，所以.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＋b＝1且满足条件________．(1)求C；(2)求c的取值范围．请从下列两个条件：①S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)；②eq\r(3)tanAtanB－tanA－tanB＝eq\r(3)中选一个条件补充到横线上并解决问题．【解析】(1)补充①S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)．由余弦定理可知2abcosC＝a2＋b2－c2，则S＝eq\f(\r(3),4)·2abcosC＝eq\f(\r(3),2)·abcosC，又S＝eq\f(1,2)absinC，故可得tanC＝eq\r(3)，所以C＝eq\f(π,3).补充②eq\r(3)tanAtanB－tanA－tanB＝eq\r(3).由②得eq\r(3)sinAsinB－sinAcosB－cosAsinB＝eq\r(3)cosAcosB，整理可得tan(A＋B)＝－eq\r(3)，故tanC＝eq\r(3)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC，又cosC＝eq\f(1,2)，a＋b＝1，∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3ab.又a＋b≥2eq\r(ab)，a>0，b>0，∴0<eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)≤1－3ab<1，即eq\f(1,4)≤c2<1，∴eq\f(1,2)≤c<1，∴c的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).3、在①a=2,②S=C2cosB，③C=π问题:在∆ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S，3bcosA=acosC+ccosA，b=1,____________，求c的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。【解析】在中，因为，所以根据正弦定理得所以,因为，所以选择①，由余弦定理得，解得选择②，，所以，所以，即，解得选择③，，因为，所以由得。新预测破高考1．若的内角、、所对应的边、、满足,且,则的值为()A． B． C． D．答案：C【解析】的边，满足，又，由余弦定理得，，故选C.2.某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形ABCD，AB＝2eq\r(3)，BC＝4(单位：百米)，CD＝AD，∠ADC＝60°，且拟在A，C两点间修建一条笔直的小路(路的宽度忽略不计)，则当草坪ABCD的面积最大时，AC＝()A．2eq\r(7)百米 B．2eq\r(10)百米C．2eq\r(13)百米 D．2eq\r(19)百米答案：C【解析】设∠ABC＝θ，0＜θ＜π，在△ABC中，AC2＝42＋(2eq\r(3))2－2×4×2eq\r(3)cosθ＝28－16eq\r(3)cosθ，由CD＝AD，∠ADC＝60°，所以△ADC为等边三角形，所以SABCD＝S△ABC＋S△DAC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)sinθ＋eq\f(\r(3),4)AC2＝4eq\r(3)sinθ＋eq\f(\r(3),4)(28－16eq\r(3)cosθ)＝7eq\r(3)＋8eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，当θ＝eq\f(5π,6)时，草坪ABCD的面积最大，此时AC＝eq\r(28＋24)＝2eq\r(13).3.在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A,2AD＝3BD，则cosA等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．0答案：C【解析】因为CD为角C的平分线，所以eq\f(AD,BD)＝eq\f(AC,BC)，因为2AD＝3BD，所以eq\f(AC,BC)＝eq\f(3,2)，所以不妨设AC＝3x，BC＝2x，因为在△ABC中，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，B＝2A，所以eq\f(AC,sin2A)＝eq\f(BC,sinA)⇒eq\f(3x,2sinAcosA)＝eq\f(2x,sinA)，因为在△ABC中，sinA≠0，x≠0，所以eq\f(3x,2sinAcosA)＝eq\f(2x,sinA)⇒eq\f(3,2cosA)＝2，所以cosA＝eq\f(3,4).4、（多选题），，分别为内角，，的对边.已知，且，则（）A． B．C．的周长为 D．的面积为答案：ABD【解析】∵，∴，∴.由余弦定理得，整理得，又，∴，.周长为.故的面积为.5.△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A＝eq\f(2π,3)，AC＝2eq\r(3)，CD＝3eq\r(2)，则BC＝()A．3eq\r(3) B．4C．4eq\r(2) D．6答案：D【解析】在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC＝eq\f(AC·sinA,CD)＝eq\f(2\r(3)×\f(\r(3),2),3\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，由∠ADC<∠A，所以∠ADC＝eq\f(π,4)，所以∠ACD＝π－eq\f(2π,3)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,12)，所以∠ACB＝eq\f(π,6)，则∠B＝eq\f(π,6)，所以AB＝AC＝2eq\r(3)，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝(2eq\r(3))2＋(2eq\r(3))2－2×2eq\r(3)×2eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝36，所以BC＝6.6．的三个内角，，所对边的长分别为，，，，则等于（）A．2 B．3 C．4 D．6答案：B【解析】因为，所以由正弦定理化得：，整理得：，即则由正弦定理得：.7、（多选题）在中，角，，所对的边分别为，，．若，角的角平分线交于点，，，以下结论正确的是A． B． C． D．的面积为答案：ACD【解析】：因为，由正弦定理可得，，所以，因为，所以即，，由角平分线定理可得，，设，，则，，中，由勾股定理可得，，解可得，即，，，所以．8．是边长为2的正三角形，D．E．F分别为AB，AC，BC上三点，且，，则当线段AD的长最小时，（）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，，当且仅当时取等号，因此当线段AD的长最小时，，9．在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（）A．或 B． C． D．或答案：D【解析】，，或当时，最大角为，则，当时，，由余弦定理可得：，，最大角为，，，综上所述：中最大角的正切值为或。10、在中，，为的平分线，，则___________．答案：【解析】原题图形如图所示：则：，设，则，又，解得：，。11．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长______．答案：【解析】在△ABD中，由余弦定理得BD=16，在△BCD中，由正弦定理得BC=。12．在中，，的角平分线交于点，若，，则______.答案：【解析】在△ABC中，由余弦定理得.所以.所以.在△ABD中，由正弦定理得.13．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．答案：（1）（2）【解析】（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsinA＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.从而由正弦定理得sinBsinC＝sinA×sinA＝sin2A＝×＝.14．已知中，内角所对边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若