高中数学选择性必修2课件：4 2 2 第二课时 等差数列前n项和的最值及应用(人教A版)

第二课时等差数列前n项和的最值及应用课标要求素养要求能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究公元前二千多年的巴比伦人就提出了等差数列问题，“十兄弟分银子”就是其中之一.有100两银子要分给10个兄弟，按年龄的不同分给不同的数量，老大要比老二多，老二要比老三多，依次类推，都相差一级，每一级相差数都一样，但不知是多少，只知道老八分到的银子是6两.问题每一级的差额是多少？提示设十兄弟所分得的银子从多到少依次为a1，a2，…，a10，易知其为等差数列，且a8＝6，2.等差数列前n项和的最值d的符号决定Sn有最大值还是最小值×2.若等差数列{an}的公差d>0，则{an}的前n项和一定有最小值.()√×[微训练]1.等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，则其最小值为________.答案－22.设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最________(填“大”或“小”)值为________.解析由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值.答案大262.设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最________(填“大”或“小”)值为________.解析由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值.答案大26[微思考]1.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＞0或a1＜0，d＜0时，Sn能否取得最值？

提示当a1＞0，d＞0时，Sn的最小值为a1，无最大值；当a1＜0，d＜0时，Sn的最大值为a1，无最小值.2.若数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则当n为何值时Sn取得最小值？

提示∵an＝2n－37，an＋1－an＝2＞0， ∴{an}为递增数列.由an＝2n－37≥0，

得n≥18.5.∴a18＜0，a19＞0，∴S18最小，

即当n＝18时，Sn取得最小值.题型一等差数列前n项和最值问题的判断【例1】

(多选题)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，则下列命题正确的是(

)A.若S3＝S11，则必有S14＝0B.若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项C.若S7>S8，则必有S8>S9D.若S7>S8，则必有S6>S9答案ABCDA.第1项 B.第8项C.第9项 D.第15项A.第1项 B.第8项C.第9项 D.第15项答案B(1)求Sn；(2)求Tn及Tn的最小值.解

(1)设数列{an}的公差为d.规律方法求等差数列前n项和的最值的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法，求使an≥0(an≤0)成立时最大的n即可.【训练2】已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？解

(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一

∵a1＝9，d＝－2，法二由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.∴当n＝5时，Sn取得最大值.题型三等差数列求和的实际应用【例3】

7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件. (1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？ (2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？解

(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件.∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.(2)设Sn是数列{an}的前n项和，∵S13＝273>200，∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an<20，得23≤n≤31，∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).规律方法应用等差数列解决实际问题的一般思路：【训练3】某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10. (1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； (2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？解

(1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400.从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，又b20＝390－10×19＝200，所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2200＋5900＝8100(人).一、素养落地1.通过学习等差数列前n项和最值的求法，提升数学运算素养，通过学习利用等差数列前n项和解决实际问题，提升数学建模素养.2.求等差数列前n项和最值的方法： (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.3.解决与等差数列有关的实际应用题时，要抓住其反映等差数列的特征，仔细审题，用心联想.要明确该问题是求an还是求Sn？要特别注意弄清项数是多少.二、素养训练1.设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为(

) A.4 B.5 C.4或5 D.5或6答案A2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝S12，则(

) A.S9最大 B.S10最大 C.S9与S10相等且最大 D.以上都不对

解析由于不能明确公差的符号，所以S9与S10相等可能是最大值也可能是最小值.

答案

D3.若在数列{an}中，an＝43－3n，则当Sn取最大值时，n＝(

) A.13 B.14 C.15 D.14或15答案B4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(

) A.35 B.32 C.23 D.38答案A5.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.备用工具&资料4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(

) A.35 B.32 C.23 D.38答案A2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝S12，则(

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