中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题二十五数列的概念和表示(原卷版+解析)

专题二十五数列的概念和表示思维导图知识要点知识要点1．数列的概念(1)数列的定义按一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．(2)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．注意：①不是所有的数列都有通项公式．如的不足近似值数列：1，1.4，1.41，1.414，….②有的数列的通项公式形式不一定唯一．例如，－1，1，－1，1，…，它的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝cosnπ.(3)数列可以看成是定义在正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数，可表示为an＝f(n)．(4)数列的前n项和在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列有限项数无穷数列无限项数按单调性分类

递增数列

an＋1＞an

其中n∈N*递减数列

an＋1＜an常数列

an＋1＝an摆动数列

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列按周期性分类对任意的n∈N*，存在正整数常数k，使得an＋k＝an3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝典例解析典例解析【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式．(1)－1，7，－13，19，…(2)…【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式．(3)，2，，8，，…(4)3，33，333，3333，…【变式训练1】已知等差数列2，，，，…，求数列{an}的通项公式．【例2】已知数列的前n项和为Sn＝2n2－1，则它的通项公式为________．【变式训练2】已知数列{an}的前n项和，求数列的通项公式．(1)Sn＝n2＋2n；(2)Sn＝n2－2n－1.【例3】16和45是否为数列{3n＋1}中的项，如果是，是第几项？【变式训练3】已知数列的通项公式为an＝n(n－1)，则56是这个数列的第________项．【例4】已知数列{an}的递推公式是an＋1＝，且a1＝2.求：(1)a2，a4的值；(2)数列{an}的通项公式．【变式训练4】已知数列{an}满足a1＝2，a2＝5，a3＝23，且an＋1＝αan＋β，则α，β的值分别为_______，_______.【例5】数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.(1)请问－60是否是{an}中的一项？(2)当n分别取何值时，an＝0，an>0，an<0?【变式训练5】设数列{an}满足a1＋＝2n(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．高考链接高考链接1．数列的通项公式为an＝cos，则数列的第四项为()A．1B．0C．－1D.2．已知数列：，…，按此规律到第七项为()A.B.C．D．3．设数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋1＋a，若{an}为等比数列，则常数a＝()A．3B．0C．－3D．－64．在数列{an}中，a1＝－1，a2＝0，an＋2＝an＋1＋an，则a5等于()A．0B．－1C．－2D．－3同步精练同步精练选择题1．下列四个数中，属于数列{n(n＋1)}中的一项的是()A．380B．39C．35D．232．下列说法正确的是()A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列0，2，4，6，…可记为{2n}C．数列...的通项公式为an＝D．数列的第k项为3．已知数列{an}的通项公式是an＝4n－3，则a2n等于()A．8n－3B．6n＋6C．8n＋3D．4n＋64．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则a5等于()A.B.C.D．305．数列…中的第6项是()A.B．C.D．6．已知非零数列{an}的递推公式为an＝·an－1(n>1)，则a4＝()A．3a1B．2a1C．4a1D．1填空题7．数列{an}的通项公式是an＝5n－1，则a9＝_______.8．数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，则16是它的第_______项．9．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为_______．10．数列，…的通项公式为．11．已知数列1，则是它的第_______项．解答题12．已知数列{an}的首项为2，且an＋1＝an＋3.求：(1)a2和a3的值；(2)数列{an}的通项公式．13．写出数列，…的一个通项公式．14．设数列{an}满足：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．专题二十五数列的概念和表示思维导图知识要点知识要点1．数列的概念(1)数列的定义按一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．(2)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．注意：①不是所有的数列都有通项公式．如的不足近似值数列：1，1.4，1.41，1.414，….②有的数列的通项公式形式不一定唯一．例如，－1，1，－1，1，…，它的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝cosnπ.(3)数列可以看成是定义在正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数，可表示为an＝f(n)．(4)数列的前n项和在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列有限项数无穷数列无限项数按单调性分类

递增数列

an＋1＞an

其中n∈N*递减数列

an＋1＜an常数列

an＋1＝an摆动数列

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列按周期性分类对任意的n∈N*，存在正整数常数k，使得an＋k＝an3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝典例解析典例解析【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式．(1)－1，7，－13，19，…(2)…答案：解：(1)an＝(－1)n(6n－5)．an＝【点评】根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【思路点拨】(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6.(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式．(3)，2，，8，，…(4)3，33，333，3333，…答案：解：(3)将数列的各项都统一化成分数，即，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．【思路点拨】(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1【变式训练1】已知等差数列2，，，，…，求数列{an}的通项公式．an＝(－1)n＋1【例2】已知数列的前n项和为Sn＝2n2－1，则它的通项公式为________．答案：an＝【思路点拨】根据数列前n项和Sn的定义．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－1)－[2(n－1)2－1]＝4n－2；当n＝1时，a1＝S1＝2×1－1＝1.故数列{an}的通项公式为an＝【变式训练2】已知数列{an}的前n项和，求数列的通项公式．(1)Sn＝n2＋2n；(2)Sn＝n2－2n－1.解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n)－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1＝3；经检验，当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，∴an＝2n＋1.解：(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n－1)－[(n－1)2－2(n－1)－1]＝2n－3；当n＝1时，a1＝S1＝12－2×1－1＝－2；经检验，当n＝1时，2n－3＝2×1－3＝－1≠－2，∴an＝【例3】16和45是否为数列{3n＋1}中的项，如果是，是第几项？答案：解：令3n＋1＝16，解得n＝5；令3n＋1＝45，解得n＝，∵n∈N*，∴16是数列{3n＋1}中的项，且为第5项；45不是数列{3n＋1}中的项．【思路点拨】将16和45分别代入通项公式3n＋1求解n，如果解出n为正整数，那么是其中的项，否则不是．【变式训练3】已知数列的通项公式为an＝n(n－1)，则56是这个数列的第___8_____项．【提示】an＝n(n－1)＝56，即n2－n－56＝0，得n＝8.【例4】已知数列{an}的递推公式是an＋1＝，且a1＝2.求：(1)a2，a4的值；(2)数列{an}的通项公式．答案：解：(1)∵数列{an}的递推公式是an＋1＝，且a1＝2，∴a2＝＝1，a3＝，a4＝，综上所述，a2＝1，a4＝(2)由an＋1＝得an＋1(an＋2)＝2an，则an＋1an＝2an－2an＋1，∴，即∴数列是首项为，公差为的等差数列．则，故【思路点拨】(1)根据公式代入数据即可．(2)由所给递推公式变形整理，寻找前后项之间的关系.【变式训练4】已知数列{an}满足a1＝2，a2＝5，a3＝23，且an＋1＝αan＋β，则α，β的值分别为___6_____，___-7_____.【提示】∵数列{an}满足a1＝2，a2＝5，a3＝23，且an＋1＝αan＋β，∴a2＝αa1＋β，a3＝αa2＋β，即，解得α＝6，β＝－7.【例5】数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.(1)请问－60是否是{an}中的一项？(2)当n分别取何值时，an＝0，an>0，an<0?答案：解：(1)假设－60是{an}中的一项，则－60＝30＋n－n2.解得n＝10或n＝－9(舍去)．∴－60是{an}的第10项．解：(2)分别令30＋n－n2＝0，30＋n－n2>0，30＋n－n2<0，解得n＝6，0<n<6，n>6，即n＝6时，an＝0；0<n<6时，an>0；n>6时，an<0.【思路点拨】(1)令an＝－60求解即可．(2)分别令an＝0，an>0，an<0求n的取值范围即可．【变式训练5】设数列{an}满足a1＋＝2n(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．解：(1)∵a1＋＝2n(n∈N*)①，∴当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，a1＋＝2(n－1)②，①－②得＝2.∴an＝2n.∵a1＝2，适合上式，∴an＝2n(n∈N*)．高考链接高考链接1．数列的通项公式为an＝cos，则数列的第四项为(C)A．1B．0C．－1D.2．已知数列：，…，按此规律到第七项为(B)A.B.C．D．【提示】设该数列为{cn}，易知分子和分母是等差数列，通项公式分别为an＝n＋1，bn＝n＋2，则cn＝×(－1)n＋1＝×(－1)n＋1，c7＝×(－1)7＋1＝3．设数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋1＋a，若{an}为等比数列，则常数a＝(C)A．3B．0C．－3D．－6【提示】∵Sn＝3n＋1＋a，∴Sn－1＝3n＋a，∴an＝Sn－Sn－1＝3n＋1＋a－3n－a＝2×3n，代入n＝1，a1＝6，且a1＝S1，∴S1＝6，解得a＝－3.4．在数列{an}中，a1＝－1，a2＝0，an＋2＝an＋1＋an，则a5等于(C)A．0B．－1C．－2D．－3【提示】∵an＋2＝an＋1＋an，∴a5＝a4＋a3＝a3＋a2＋a3＝a2＋a1＋a2＋a2＋a1，a5＝3a2＋2a1＝3×0＋2×(－1)＝－2.同步精练同步精练选择题1．下列四个数中，属于数列{n(n＋1)}中的一项的是(A)A．380B．39C．35D．23【提示】数列的递推公式为an＝n(n＋1)，令n(n＋1)＝380，解得n＝19或n＝－20(舍)．2．下列说法正确的是(D)A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列0，2，4，6，…可记为{2n}C．数列...的通项公式为an＝D．数列的第k项为3．已知数列{an}的通项公式是an＝4n－3，则a2n等于(A)A．8n－3B．6n＋6C．8n＋3D．4n＋64．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则a5等于(C)A.B.C.D．30【提示】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝∴a5＝5．数列…中的第6项是(A)A.B．C.D．6．已知非零数列{an}的递推公式为an＝·an－1(n>1)，则a4＝(C)A．3a1B．2a1C．4a1