新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业6向量数量积的运算律新人教A版必修第二册

课时分层作业(六)向量数量积的运算律一、选择题1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为()A．3 B．5C．3 D．52．已知平面对量a，b满意a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为()A．π6 B．C．2π3 D3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b,c与d垂直，则k的值为()A．－6 B．6C．3 D．－34．(2024·全国乙卷)已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·b＝()A．－2 B．－1C．1 D．25．(多选)设a，b，c是随意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是()A．a·c－b·c＝(a－b)·cB．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直C．|a|－|b|＜|a－b|D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2二、填空题6．已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝________．7．(2024·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为13，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________8．已知向量a，b满意|a|＝5，|b|＝3，且b⊥(a－b)，则a，b夹角的余弦值为________，设a在b方向上的投影向量为λb，则λ＝________．三、解答题9．已知平面对量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝7．(1)求a与b的夹角θ；(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|．10．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为()A．π6 B．C．2π3 D11．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则AE·EF＝()A．12 B．－C．32 D．－12．(多选)已知正△ABC的边长为2，设AB＝2a，BC＝b，则下列结论正确的是()A．|a＋b|＝1 B．a⊥bC．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－113．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满意3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________．14．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．15．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．课时分层作业(六)1．C[由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．]2．C[设向量a与b的夹角为θ．因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cosθ＝3，所以cosθ＝－12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π3．B[因为c与d垂直，所以c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6．]4．C[∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，又∵|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，∴a·b＝1．故选C．]5．ACD[依据向量数量积的支配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；D正确．故选ACD．]6．6[∵a·(a－2b)＝0，∴a2－2a·b＝0．∵|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝12∴|a＋b|＝a2+2a·b+7．11[设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为13，即cosθ＝13，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝1×3×13＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝8．351[∵b⊥(a－b)，∴b·(a－b)＝0⇒b·a－b2＝0⇒b·a＝b2∴cos〈a，b〉＝a·bab＝b2由a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝3，知a在b方向上的投影向量为3·bb即3·bb＝λb，解得λ＝1．9．解(1)由|a－b|＝7，得a2－2a·b＋b2＝7，所以1－2×1×2×cosθ＋4＝7，所以cosθ＝－12又θ∈[0，π]，所以θ＝2π(2)因为a⊥c，所以a·(ta＋b)＝0，所以ta2＋a·b＝0，所以t＋1×2×-12＝0，所以t＝所以c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×-12＋4＝3．所以|c|＝10．D[由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝3|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝a-b·ba-bb＝-b22a·3a＝－11．D[∵E，F是菱形ABCD中边BC，CD的中点，∴AE＝AB＋12AD，EF＝1又|AB|＝|AD|＝2，且〈AB，AD〉＝∴AE·EF＝AB+12＝14AB·AD＋14|AD|2－12＝14|AB|·|AD|·cos60°＋14×22－12＝－12．12．CD[分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B结论错误；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝3，故A结论错误；∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C结论正确；a·b＝1×2×cos120°＝－1，故D结论正确．]13．5或－8[因为3a＋mb＋7c＝0，所以3a＋mb＝－7c，所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，即9＋m2＋6ma·b＝49，又a·b＝|a||b|cos60°＝12所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8．]14．解因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，且a，b不共线，当a·b>0时，(3e1＋2e2)·(te1＋2e2)＝3te12+6+2te1·e2+4e22＝3当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以3=λt解得λ=1，t=3，所以当t≠3时，a，综上，t的取值范围为t>－74且t≠3即t的取值范围为-74，15．解(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos1