高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.5数列的综合应用(知识点讲解)(原卷版+解析)

专题7.5数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养．2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2023·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项（

）A． B． C． D．例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数，，．则数列的前n项和______．例3．(2023·上海·高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规．题型二：数列与不等式的综合例4.（2023·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.例5.（2023·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明例6.（2023·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用.题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】(2023·全国·高三专题练习）参加工作年的小郭，因工作需要向银行贷款万元购买一台小汽车，与银行约定：这万元银行贷款分年还清，贷款的年利率为，每年还款数为万元，则（

）A． B．小郭第年还款的现值为万元C．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法” D．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”例8.（2023·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金t万元（），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为万元.则（）A． B．C． D．当时，【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．(2023·全国·高三专题练习）对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为（

）A． B． C． D．例10．(2023·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：，，，…仿此，若的“分裂数”中有一个是1111，则m的值为（

）A．32 B．33 C．34 D．35例11.(2023·河南开封·高二期末（理））若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知，，记数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．例12.(2023·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；(2)若，求的前n项和，并证明：．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.题型五：数列与解析几何例12．（2023·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（

）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线例13．(2023山东，理19）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.题型六：数列与传统文化例14.(2023·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（

）A．10 B．14 C．23 D．26例15.(2023·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（

）A． B．7 C．13 D．26例16.(2023·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏【总结提升】理解题意，构造数列，应用数列模型解题．专题7.5数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养．2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2023·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：由奇偶性定义可判断出为偶函数，由此可确定唯一零点为，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到.【详解】，为偶函数，图象关于轴对称，的零点关于轴对称，又有唯一零点，的零点为，即，，即，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列为等比数列.例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数，，．则数列的前n项和______．答案：【解析】分析：由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再求.【详解】由题设，，所以，即且n≥2，当时，，当时，，所以，故答案为：.例3．(2023·上海·高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？答案：（1）935；（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案；（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析：（1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规．题型二：数列与不等式的综合例4.（2023·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.【解析】分析：（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当时，，，当时，由①，得②，①②得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以.【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.例5.（2023·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明答案：（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】分析：（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.例6.（2023·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．答案：（1），；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，，．设，

⑧则．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知，令，且，即，通过等式左右两边系数比对易得，所以．则，下同方法二．[方法四]：导函数法设，由于，则．又，所以，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用.题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】(2023·全国·高三专题练习）参加工作年的小郭，因工作需要向银行贷款万元购买一台小汽车，与银行约定：这万元银行贷款分年还清，贷款的年利率为，每年还款数为万元，则（

）A． B．小郭第年还款的现值为万元C．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法” D．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”答案：BD【解析】分析：因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前项和公式求出，再设小郭第3年还款的现值为，根据复利规则求出．【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D正确，C错误，设每年应还元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为，银行贷款元10年后的本利和为．，，即，故A错误．设小郭第三年还款的现值为，则，所以，故B正确；故选：BD例8.（2023·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金t万元（），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为万元.则（）A． B．C． D．当时，答案：BC【解析】先求得第一年年底剩余资金，第二年底剩余资金，即可判断A的正误；分析总结，可得与的关系，即可判断B的正误；根据题意，求得的表达式，利用作差法即可比较与的大小，即可判断C的正误，代入，即可求得，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】第一年年底剩余资金，第二年底剩余资金，故A错误；第三年底剩余资金，所以第n+1年年底剩余资金为，故B正确；因为==，所以，因为，所以，所以，即，故C正确；当时，，故D错误；故选：BC【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．(2023·全国·高三专题练习）对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根据与的关系求出，再根据等差数列的求和公式求出，将化为对任意的恒成立，分类讨论可求出结果.【详解】由，∴时,，∴，∴，时，也成立，∴，∴数列的前n项和为：，∵对任意的恒成立，∴，即，即，即，即，即对任意的恒成立，当时，对任意的恒成立，因为，∴，所以，当时，恒成立，，当时，对任意的恒成立，因为，∴，所以，综上可得：实数p的取值范围为．故选：A．例10．(2023·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：，，，…仿此，若的“分裂数”中有一个是1111，则m的值为（

）A．32 B．33 C．34 D．35答案：B【解析】分析：根据分裂数的定义，求出从到、从到分裂数个数，再根据所有分裂数成等差数列求出对应的位置，进而根据不等式求m值.【详解】由题意，对于，它们依次对应2、3、…、m个分裂数，则从到各分裂数个数的和为，从到各分裂数个数和为，又的分裂数，构成首项为3，公差为2的等差数列，所以，令，可得，所以，当时，不符合；当时，，符合；当时，不符合；综上，.故选：B例11.(2023·河南开封·高二期末（理））若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知，，记数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：分析可知对任意的，当，满足的项数为，即，满足条件的的个数为，进而可求得的值.【详解】因为，由题中定义，对任意的，当，满足的项数为，即，满足条件的的个数为，当时，，当时，，此时满足条件的的个数为，当时，，此时满足条件的的个数为，当时，，此时满足条件的的个数为，因此，.故选：A.例12.(2023·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；(2)若，求的前n项和，并证明：．答案：(1)，，(2)，证明见解析【解析】分析：(1)根据定义求出的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，由此归纳出，(2)由(1)化简，再由裂项相消法求其前项和，并完成证明.(1)由题意得，，，，，…，由等比数列的前n项和公式可得，，所以的通项公式．(2)由于，所以，则，因为，所以，所以，又随n的增大而减小，所以当时，取得最大值，故．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.题型五：数列与解析几何例12．（2023·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（

）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线答案：C【解析】分析：首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.例13．(2023山东，理19）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.答案：(I)（II）（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+=……+=1\*