高中数学选择性必修3课件：7 2 第一课时 离散型随机变量(人教A版)

7.2离散型随机变量及其分布列第一课时离散型随机变量通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念.课标要求素养要求通过研究离散型随机变量的概念，提升数学抽象及逻辑推理素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.随机变量定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.唯一2.离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用__________字母表示随机变量，用__________字母表示随机变量的取值.大写英文小写英文3.随机变量和函数的关系随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集.点睛离散型随机变量的特征：(1)可用数值表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值；(4)试验结果能一一列出.

1.思考辨析，判断正误 (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限可列个.(

) (2)离散型随机变量的取值是任意的实数.(

)

提示

取值是有限个或可以一一列举的随机变量才是离散型随机变量. (3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值.(

)

提示

离散型随机变量一定是某个区间内有限个或可以一一列举的值. (4)某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差是离散型随机变量.(

)

提示

实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.√×××2.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回地每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(

) A.1，2，…，6 B.1，2，…，7 C.1，2，…，11 D.1，2，3，…

解析可能第一次就取到白球，也可能把6个红球都取完后，才取得白球，故X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7.B2.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回地每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(

) A.1，2，…，6 B.1，2，…，7 C.1，2，…，11 D.1，2，3，…

解析可能第一次就取到白球，也可能把6个红球都取完后，才取得白球，故X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7.B3.10件产品中有3件次品，从中任取2件，下列可作为随机变量的是(

) A.取到产品的件数 B.取到正品的概率 C.取到次品的件数 D.取到次品的概率

解析对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量.C4.在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是____________________________.

解析当答对3道题时，X＝300；当答对2道题时，X＝100；当答对1道题时，X＝－100；当答对0道题时，X＝－300.300,100,－100,－300课堂互动题型剖析2题型一随机变量的概念【例1】判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数； (2)抛两枚骰子，出现的点数之和； (3)体积为8cm3的正方体的棱长.

解(1)被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量. (2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量. (3)正方体的棱长为定值，不是随机变量.解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值.思维升华解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值.思维升华【训练1】

指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由. (1)某人射击一次命中的环数； (2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数； (3)某个人的属相随年龄的变化.

解(1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0，1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量. (2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量. (3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量.【例2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由. (1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X； (2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X； (3)丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数.

解(1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，

是离散型随机变量. (2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量. (3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量.题型二离散型随机变量的判断判断离散型随机变量的方法(1)明确随机试验的所有可能结果.(2)将随机试验的结果数量化.(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.思维升华【训练2】

下列随机变量是离散型随机变量的个数是(

) ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在12：00至12：30到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数. A.1 B.2 C.3 D.4

解析①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来；②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来；④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来；③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足.C【例3】写出下列随机变量可能取的值，

并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)袋中有大小相同的红球10个，

白球5个，

从袋中每次任取1个球，

取后不放回，

直到取出的球是白球为止，

所需要的取球次数.题型三用随机变量表示事件的结果解设所需的取球次数为X,则X＝1，2，3，4，…，10，11.X＝1表示第1次就取到白球，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，

第i次取到白球，

这里i＝2，3，4，…，11.(2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，

所取卡片上的数字之和.解设所取卡片上的数字之和为X,则X＝3，4，5，…，11.X＝3,表示“取出标有1，2的两张卡片”；X＝4,表示“取出标有1，3的两张卡片”；X＝5,表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；X＝6,表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；X＝7,表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”；X＝8,表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”；X＝9,表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”；X＝10,表示“取出标有4，6的两张卡片”；X＝11,表示“取出标有5，6的两张卡片”.【迁移1】

(变条件)若本例(2)中条件不变，

所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y,请问Y有哪些取值？

其中Y＝4表示什么含义？

解Y的所有可能取值有：1，2，3，4，5. Y＝4表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片”.【迁移2】

(变条件，

变问法)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果.解根据题意可知X的可能取值为4，5，6，7.X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局.X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出.X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出.X＝7表示在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出.解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.思维升华【训练3】一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X所有可能的取值为_____________，其中X＝4表示的试验结果有__________种.3，4，5，631.牢记3个知识点 (1)随机变量的定义； (2)离散型随机变量的定义； (3)随机变量和函数的关系.2.掌握3种方法 (1)随机变量的判定方法； (2)离散型随机变量的判定方法； (3)解答用随机变量表示随机试验的结果问题的方法.3.注意2个易错点 (1)离散型随机变量的取值是可数的，高中阶段只研究有限个值的随机变量； (2)随机变量的所有取值可能是已知的，但每次试验的结果是不确定的.课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.给出下列四个命题： ①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量.

其中正确的个数是(

) A.1 B.2 C.3 D.4

解析由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的.D2.将一个骰子掷两次，不能作为随机变量的是(

) A.两次掷出的点数之和 B.两次掷出的最大点数 C.第一次与第二次掷出的点数之差 D.两次掷出的点数之和为7的概率

解析将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量.同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数之和为7的概率是一个定值.D3.下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数X； ②某森林树木的高度在(0，50](单位：m)这一范围内变化，测得某一树木的高度X； ③某人射击2次，击中目标的环数之和X.

其中离散型随机变量有(

) A.0个 B.1个

C.2个 D.3个

解析由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的，故均为离散型随机变量，而②中的随机变量可以取(0，50]内的任意值，无法一一列举，故它不是离散型随机变量.C4.袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的所有可能取值是(

) A.1，2，…，5 B.1，2，…，10 C.2，3，…，10 D.1，2，…，6

解析第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10.C5.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果为(

)A.第一枚6点，第二枚2点B.第一枚5点，第二枚1点C.第一枚1点，第二枚6点D.第一枚6点，第二枚1点解析由“X≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5.D二、填空题6.甲进行3次射击，记甲击中目标的次数为X，则X的可能取值为__________.

解析甲在3次射击中，可能一次未中，也可能中1次，2次，3次.0，1，2，37.在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为X，则“X<2”表示的试验结果是________________________________.

解析应分X＝0和X＝1两类.X＝0表示取到3件正品；X＝1表示取到1件次品2件正品.故“X<2”表示的试验结果为取到1件次品2件正品或取到3件正品.取到1件次品2件正品或取到3件正品8.一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是__________________.

解析可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品，故X的所有可能取值有0，1，2，3.0，1，2，3三、解答题9.某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值.解X的可能取值为0，1，2.X＝0表示在两天检查中均发现了次品.X＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品.X＝2表示在两天检查中没有发现次品.10.指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由. (1)在西安至成都的高铁线上，每隔500m有一电线铁塔，将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号X； (2)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.

解(1)是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始，可以一一列出. (2)不是离散型随机变量.因为水位在(0，29]范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.11.(多选题)下列所述中，X是离散型随机变量的是(

) A.某座大桥一天经过的车辆数X B.某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X C.一天之内的温度X D.一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分

解析A，B，D中的X可以取的值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，不能一一列出.ABD12.(多选题)对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为X，则X＝k表示的试验结果为(

) A.第k次检测到正品 B.第k＋1次检测到次品 C.前k－1次检测到正品 D.前k次检测到正品

解析由题意，得X＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品，故选BD.BD13.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；解X可取0，1，2.X＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0，1，2.(2)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.解Y的可能取值为2，3，4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则Y＝2表示(1，1)；Y＝3表示(1，2)，(2，1)；Y＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；Y＝5表示(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；Y＝6表示(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)；Y＝7表示(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)；Y＝8表示(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)；Y＝9表示(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)；Y＝10表示(4，6)，(5，5)，(6，4)；Y＝11表示(5，6)，(6，5)；Y＝12表示(6，6).14.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；

解

(1)ξ0123结果取得3个黑球取得1个白球2个黑球取得2个白球1个黑球取得3个白球(2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否是离散型随机变量.解

由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围是{0，1，2，3}，所以η对应的各值是：6，11，16，21.故η的可能取值为{6，11，16，21}，显然η为离散型随机变量.备用工具&资料14.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，